《对数与对数函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT(对数运算 对数运算法则)【完美版课件】

1幂函数、指数函数与对数函数

知识方法扫描

一、指数函数及其性质

形如y=ax(a>0,a≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R，值域为(0,+∞)．当0

是

减函数，当a>1时，y=ax

为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．

二、分数指数幂

a1

n=na,am

n

=n

am

,a-n=1

a

n,a-m

n=1

n

am

三、对数函数及其性质

对数函数y=log

ax(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R，图像过定点(1,0)．它是指数函数y=ax

(a>0,a≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0

ax为减函数，当a

>1时，y=log

ax为增函数．

四、对数的运算性质(M>0,N>0)

(1)alogMa=M(这是定义)；

(2)log

a(MN)=logM

a+log

aN；

(3)log

aM

N

=log

aM-log

aN；

(4)log

aMn=nlog

aM；

(5)log

ab=log

cb

log

ca(a,b,c>0,a,c≠1)(换底公式)．

由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：

1)log

ambn=n

mlog

ab；2)log

ab=1

log

ba．

典型例题剖析

1已知x

1是方程x+lgx=10的根，x

2是方程x+10x=10的根，求x

1+x

2的值．

【解法1】由题意得lgx

1=10-x

1

10x

2=10-x

2

，表明x

1是函数y=lgx与y=10-x的交点的横坐标，x

2是函数

y=10x

与y=10-x的交点的横坐标．因为y=lgx与y=10x

互为反函数，其图像关于y=x对称，由

y=10-x

y=x

得，x=5

y=5

，所以x

1+x

2

2=5，所以x

1+x

2=10．

【解法2】构造函数f(x)=x+lgx，由x

1+lgx

1=10知fx

1=10，x

2+10x

2=10即10x

2+lg10x

2=10，则

f10x

2=10，于是fx

1=f10x

2，又f(x)为(0,+∞)上的增函数，故x

1=10x

2，x

1+x

2=10x

对数运算课件

数运算是数学的基础，也是我们日常生活中经常使用的一种运算方法。在数运算中，对数运算是一种非常重要的运算方法。在这篇文章中，我们将探讨对数运算的基本概念、性质以及应用。

一、对数运算的基本概念

对数运算是指将指数运算转化为对数运算的过程。在对数运算中，我们常用的是以10为底的对数，即常用对数。对于一个正数a，我们用log a表示以10为底的对数，即log a = x，其中x是满足10^x = a的数。例如，log 100 = 2，因为10^2 = 100。

二、对数运算的性质

1. 对数的乘法性质：log (a*b) = log a + log b。这个性质说明，对数运算中的乘法可以转化为对数的加法运算。例如，log (100*1000) = log 100 + log 1000 = 2

+ 3 = 5。

2. 对数的除法性质：log (a/b) = log a - log b。这个性质说明，对数运算中的除法可以转化为对数的减法运算。例如，log (1000/100) = log 1000 - log 100 = 3

- 2 = 1。

3. 对数的幂运算性质：log (a^b) = b * log a。这个性质说明，对数运算中的幂运算可以转化为对数的乘法运算。例如，log (100^3) = 3 * log 100 = 3 * 2 = 6。

三、对数运算的应用

1. 对数运算在科学计算中的应用：在科学计算中，经常需要进行大量的乘法和除法运算。使用对数运算可以将这些复杂的运算简化为对数的加法和减法运算，从而提高计算的效率。 2. 对数运算在物理学中的应用：在物理学中，经常需要处理指数函数的运算。使用对数运算可以将指数函数转化为线性函数，从而简化问题的求解过程。

3. 对数运算在经济学中的应用：在经济学中，经常需要处理复利的计算问题。使用对数运算可以将复利问题转化为简单利息问题，从而方便计算和比较不同投资方案的收益率。

第 1 页 共 5 页 对数函数

一、对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果(01)xaNaa且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作logNax，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式 特点 记法

一般对数

底数为a0,1aa且 logNa

常用对数 底数为10 lgN

自然对数 底数为e lnN

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（0,1aa且）：

①1log0a，②log1aa，③logNaaN，④logNaaN。

（2）对数的重要公式：

①换底公式：

loglog(,1,0)logNNabbaabN均为大于零且不等于；

②1loglogbaab

（3）对数的运算法则：

①NMMNaaaloglog)(log；

②NMNMaaalogloglog；

③nMnMana(loglogR）；

④bmnbanamloglog。

3、对数函数的图象与性质

第 2 页 共 5 页 图象 1a 01a

性质 （1）定义域：（0,+）

（2）值域：R

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当01x时，(,0)y；

当1x时，(0,)y （4）当1x时，(,0)y；

当01x时，(0,)y

（5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

二、题型剖析

1．对数式的化简和运算

题组①指数式与对数式的互化

⑴将下列指数式改写成对数式；

27133； 205a； 45.021b

⑵将下列对数式改写成指数式；

3125log5；

23log31； 699.1lga

题组②计算：

（1）1log2log2aa； （2）33log18log2； （3）1lglg254；

高中数学《对数》课件

对数是高中数学中的一个重要概念，也是实际应用中经常遇到的一种数学工具。本文将对数的概念、运算法则、应用等方面进行详细的讲解和分析，帮助学生更好地理解和掌握对数知识。

首先，我们来了解一下对数的定义。对数是一个函数，其定义域为正实数，值域为实数。给定一个正实数a，都有一个唯一的实数x，使得a的x次方等于正实数e。这个实数x就是以a为底数的e的对数，记作log a(e)。其中，a称为底数，e是一个固定不变的常量，称为自然对数的底数。

接下来，我们来看一下对数的运算法则。对数的运算法则包括加减法、乘除法、幂运算等。具体地，如果有两个正实数a和b，那么log a(b)加上log a(c)等于log a(bc)，即对数的加法可以转化为乘法；log a(b)减去log a(c)等于log a(b/c)，即对数的减法可以转化为除法；log

a(b)乘以log a(c)等于log a(bc)，即对数的乘法可以转化为乘方；log a(b)除以log a(c)等于log a(b/c)，即对数的除法可以转化为指数。

除了运算法则，对数在实际应用中也有广泛的应用。例如，在物理学中，声波的传播速度可以用对数来表示；在化学中，溶液的酸碱度可以用对数来表示；在生物学中，细菌的生长速度可以用对数来表示。此外，在金融、经济等领域，对数也经常被用来进行数据分析。 最后，我们来看一下对数在解题中的应用。对于一些比较复杂的数学问题，通过对数进行转换和变形，可以使问题变得更加简单和易于解决。例如，对于一些高次幂的乘法或除法，可以通过对数转换成为加减法或指数运算，从而简化计算过程。

总之，对数是高中数学中的一个重要概念，也是实际应用中经常遇到的一种数学工具。通过对数的定义、运算法则、应用等方面的讲解和分析，可以帮助学生更好地理解和掌握对数知识，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

《数列》高中数学课件

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