1 《两条直线平行与垂直的判定》教学设计
一、教材分析
本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节，介绍的是平面解析几何的知识。从本章开始学生初步、系统地了解平面解析几何的知识，在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。通过本章知识的学习可以让学生从新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。同时在本章中，学生初步尝试从新的观念来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程的理解，从而使知识规律化、系统化、网络化。这种学习方式的过程和方法一经掌握，可以轻松地学习第四章圆的方程的内容。
本节内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系。只有掌握了两条直线的位置关系，才能更进一步的来学习直线方程，教材利用两条直线的倾斜角和斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系这一节课的知识结构非常系统，有利于学生形成规律性的知识网络。
二、知识结构分析
以上的简要教材分析，可从这一章的知识结构的思维导图中得以充分体现。
倾斜角与斜率 两直线平行
两直线相交 两直线垂直
位 置 关 系 两直线相交
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三、课标的分析
《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：
将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。
从课标中这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代。在欧氏几何里，我们直接依据图形中点、直线、平面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。可以让学生既对几何产生兴趣，又让学生可以轻松的学习几何。在教学中应注意引导学生将所学知识与现实实际联系，提高学生解决问题的能力。
空间几何的平行与垂直判定
空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到直线、平面、点等概念的研究。其中，平行和垂直是空间几何中常见的关系，本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。
一、平行的判定方法
在空间几何中，平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。下面将介绍几种常见的平行判定方法。
1. 直线的平行判定
给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定l1与l2平行。即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且k1≠k2时，则l1和l2平行。
2. 平面的平行判定
对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量相等或平行，则可以判定P1与P2平行。
二、垂直的判定方法
在空间几何中，垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。下面将介绍几种常见的垂直判定方法。
1. 直线的垂直判定 给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率互为倒数且不相交，则可以判定l1与l2垂直。即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并且k1·k2=-1时，则l1和l2垂直。
2. 平面的垂直判定
对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量互为倒数且不平行，则可以判定P1与P2垂直。
三、平行与垂直的应用举例
平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。以下是几个应用举例。
1. 平行线与垂直线的交点问题
当两条平行线相交时，它们的交点无穷多个；而当两条垂直线相交时，它们的交点只有一个。这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。
2. 平行四边形及其性质
平行四边形是指具有两对平行边的四边形。它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。平行四边形的性质在建筑设计等领域有广泛应用。
3. 垂直投影与三视图
在工程绘图中，垂直投影是指将物体在垂直方向上的投影。根据垂直投影可以得到物体的平面图、前视图、左视图、右视图等，这些视图通常用于工程设计、建筑规划等领域。
4. 共线与共面条件 若一条直线与一个平面相交，那么这条直线上的任意一点与该平面上的任意一点以及该平面上的任意一条直线都共线。这一性质在解析几何和物理学中有广泛应用。
平行线与垂直线的认识知识点总结
平行线和垂直线是几何学中常见的两种线性关系，它们在我们的日常生活和数学研究中都起到重要的作用。本文将对平行线和垂直线的概念、性质和应用进行总结，以帮助读者更好地理解和运用这两种线性关系。
一、平行线的概念和性质
1. 平行线的定义：两条直线在平面内不相交，并且它们的所有点到另一直线的距离相等，则称这两条直线为平行线。
2. 平行线的判定：有以下几种方法可以判定两条直线是否平行：
- 通过观察直线的方程是否满足平行线的定义；
- 通过观察直线的斜率是否相等；
- 通过观察直线的平行关系是否可以推导出等比例关系。
3. 平行线的性质：
- 平行线之间不存在交点；
- 平行线的斜率相等；
- 平行线的夹角为180度；
- 平行线之间的距离在平面上保持不变。
二、垂直线的概念和性质 1. 垂直线的定义：两条直线相交，且相交的角度为90度，则称这两条直线为垂直线。
2. 垂直线的判定：有以下几种方法可以判定两条直线是否垂直：
- 通过观察直线的方程是否满足垂直线的定义；
- 通过观察直线的斜率之积是否为-1；
- 通过观察直线之间的角度是否为90度。
3. 垂直线的性质：
- 垂直线之间存在交点；
- 垂直线的斜率之积为-1；
- 垂直线之间的角度为90度；
- 垂直线的斜率为正无穷和负无穷。
三、平行线和垂直线的应用
1. 平行线的应用：
- 在建筑设计中，平行线的概念被广泛运用于保持建筑物的平衡和稳定性；
- 在地理测量中，通过观察地平线和水平线的关系，可以判断两条线是否平行；
- 在艺术创作中，平行线的运用可以帮助构建透视效果。 2. 垂直线的应用：
- 在建筑施工中，垂直线的运用可以保证建筑物的结构稳定；
- 在地理测量中，通过使用测量仪器可以确定地表的垂直线；
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1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定
教学目标
一、知识与技能
掌握用直线的斜率判定直线平行与垂直的方法
二、过程与方法
利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法，即1212//llkk.又利用两直线垂直是，倾斜角的关系“2190”得到了直线垂直的判定方法，即12121llkk，并且对特殊情况进行研究.
三、情感态度和价值观
1、通过本节课的学习，可以培养我们用“联系”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的联系，培养学生学好数学的信心；
2、通过教学，注意解析几何思想方法，尤其是数形结合思想的渗透.同时，注意思考的严密性，表述的规范性。培养学生探索能力和概括能力.
教学重点和难点
重点：理解与掌握两条直线平行与垂直的判定条件；
难点：斜率不存在时，两条直线平行与垂直情况的讨论；两条直线垂直判定条件的推导.
教学过程
（一）引入
设计意图：让学生知道为了表示直角坐标系内直线的倾斜程度，引入直线的倾斜角和斜率，是将几何问题转化为代数问题；反之，若已知直线的斜率，能不能判定两直线的位置关系，即从代数角度出发来研究几何问题，引出课题.体现数形结合解析几何的思想.
1、倾斜角和斜率的概念及两者之间的关系；
2、计算斜率的公式
3、探究对于两条直线的斜率已知，能否根据其斜率；来判定两条直线的位置关系？
（说明“两条直线”是指不重合条件下的平行与垂直关系---初中已学；两条直线的斜率存在）板书课题
（二）新授
1、探究一：若直线12//ll，那么两直线的斜率12,kk满足什么关系？
设计意图：由两条直线平行的位置关系出发，作出图象，让学生自主探究两直线平行时，通过倾斜角的关系，两直线斜率的关系；反之，也进行验证.
由此，推导出两直线平行的判定方法，即1212//llkk
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