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倍角公式和半角公式及三角恒等变换

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倍角公式和半角公式及三角恒等变换

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题6分，共48分)

1．(2011·辽宁理，7)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )

A．－79 B．－19

C.19 D.79

【答案】 A

【解析】 sin(π4＋θ)＝13，则22sinθ＋22cosθ＝13，

∴sinθ＋cosθ＝23，

∴1＋2sinθcosθ＝29，

∴sin2θ＝－79.

故选A.

2．(2011·湖北理，3)已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为( )

A．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z}

B．{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z}

C．{x|kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈Z}

D．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z} 【答案】 B

【解析】 本题考查三角变换公式及三角不等式的解法．

∵f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)，∵f(x)≥1，

∴sin(x－π6)≥12.

∴2kπ＋π6≤x－π6≤2kπ＋5π6，∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z.

3．(2012·山师大附中模考)设函数f(x)＝cos2(x＋π4)－sin2(x＋π4)，x∈R，则函数f(x)是( )

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为π2的奇函数

D．最小正周期为π2的偶函数

【答案】 A

【解析】 f(x)＝cos(2x＋π2)＝－sin2x为奇函数，周期T＝2π2＝π.

4．(2012·浙江金华十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈π4，π，若a·b＝25，则tanα＋π4的值为( )

A.13 B.27

C.17 D.23

【答案】 C

【解析】 a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝25，∴sinα＝35，

∵π4<α<π，∴cosα＝－45，∴tanα＝－34，

∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝17.

5．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°的值是( )

A．0 B.12

C．－1 D.12＋2cos20°

【答案】 B

【解析】 原式＝12＋2cos100°cos60°＋cos80°

＝12＋cos100°＋cos80°＝12＋2cos90°cos10°＝12.

6．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )

A．－1 B．1

C．－2 D．2

【答案】 B

【解析】 tan70°cos10°(1－3tan20°)

＝sin70°·cos10°cos20°－3sin20°cos70°cos20°

＝sin70°cos10°·2cos80°sin20°sin70°＝2cos10°·sin10°sin20°＝1.故应选B.

7．(2012·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sinα＋1－sinα等于( )

A．－2cosα2 B．2cosα2 C．－2sinα2 D．2sinα2

【答案】 C

【解析】 ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.

∴1＋sinα＋1－sinα

＝1＋2sinα2cosα2＋1－2sinα2cosα2

＝sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22

＝－(sinα2＋cosα2)－(sinα2－cosα2)＝－2sinα2.

8．已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)的值为( )

A．－1

B．1

C.3 D．不存在

【答案】 B

【解析】 tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα＝1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α，

∵π4－α，β∈－π2，π2且y＝tanx在－π2，π2上是单调增函数，

∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tanπ4＝1.

二、填空题(每小题6分，共18分)

9．函数f(x)＝cosx－12cos2x(x∈R)的最大值等于________．

【答案】 34 【解析】 f(x)＝cosx－12cos2x＝cosx－12(2cos2x－1)

＝－cos2x＋cosx＋12＝－(cosx－12)2＋34，

∴f(x)max＝34.

10．(2011·海南五校联考)设函数f(x)＝sinx＋cosx，f ′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f ′(x)，则sin2x－sin2xcos2x＝________.

【答案】 －59

【解析】 f ′(x)＝cosx－sinx，

∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，

∴3sinx＝cosx，

∴sin2x－sin2xcos2x＝sin2x－2sinx·3sinx3sinx2＝－5sin2x9sin2x＝－59.

11．已知f(x)＝sin(π4x＋π3)－3cos(π4x＋π3)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＋f(2011)＋f(2012)＝________.

【答案】 2＋22

【解析】 f(x)＝sinπ4xcosπ3＋cosπ4xsinπ3－

3cosπ4xcosπ3＋3sinπ4xsinπ3

＝2sinπ4x，

∴T＝2ππ4＝8，

而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝2＋2＋2＋0＋(－2)＋(－2)＋(－2)＋0＝0，

∴原式＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋22.

三、解答题(共34分)

12．(11分)已知sinx＋cosx＝－15(135°

求2sinxcosx－sinx－cos3x＋sin3x的值．

【解析】 ∵sinx＋cosx＝－15，∴1＋2sinxcosx＝125.

即1＋sin2x＝125，∴sin2x＝－2425.

又∵270°<2x<360°，∴cos2x＝725.

∴原式＝2sinxcos2x－x－sin2x－x－cos2x＋x＋sin2x＋x

＝2sinx2sin2x·sinx＋2cos2x·sinx＝1sin2x＋cos2x＝－2517.

13．(11分)(2012·福建龙岩质检)已知a＝(1，cosx)，b＝(sinx，－1)，函数f(x)＝a·b(x∈R)．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最大值．

【解析】 (1)f(x)＝a·b＝sinx－cosx＝2sinx－π4.

由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ(k∈Z)，

∴f(x)的单调递增区间是－π4＋2kπ，34π＋2kπ(k∈Z)． (2)f(x)＝2sinx－π4，∵x∈[0，π]，

∴x－π4∈－π4，3π4，

∴当x－π4＝π2，即x＝3π4时，f(x)max＝2.

14．(12分)求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

【解析】 y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x

＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)

＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x

＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，

由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，

故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，

当sin2x＝1时，y取得最小值6.

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高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式课堂导学案新人教B版必修4201

高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式课堂导学案新人教B版必修4201

3.2.1 倍角公式

课堂导学

三点剖析

一、运用倍角公式求值

对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在

于“变角”,使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定,则应分情况讨论. 12

13 【例 1】 已知 cosα=- ,α∈(π, 3

2 ),求 sin2α,cos2α 和 tan2α 的值.

思路分析:本题旨在考查二倍角公式的应用,做题时应注意已知角与所求角间的倍数关系和角

的取值范围. 12 3 解：∵cosα=- ,α∈(π, ), 13 2 5 ∴sinα=

1 cos2

. 13 5 12 ∴sin2α=2sinα·cosα=2×(

)×(- 13 13 5 119

cos2α=1-2sin2α=1-2×( 2= ,

) 13 169 sin

2

120 tanα= . cos

2 119

温馨提示 120

169 )= ,

在解题过程中,要注意根据问题的具体特点,适当地加以变形,同时要注意挖掘题中的隐含

条件,特别是利用这些条件来确定某些三角函数值的符号,化简问题.

各个击破

类题演练 1 4 已知 sinα= ,求 sin2α,cos2α,tan2α 的值. 5 4 思路分析:∵sinα= >0且 α∈R,∴α 为第一、二象限角,解题时应分象限讨论. 5 4 解:∵α∈R且 sinα= >0,∴α 为第一象限或第二象限角. 5 24 7 24 ①当 α 为第一象限角时,sin2α= ,cos2α= ,tan2α= . 25 25 7 24 7 24 ②当 α 为第二象限角时,sin2α= ,cos2α= ,tan2α= . 25 25 7 变式提升 1 求 1 3 sin

50 cos

50 的值.

思路分析:仔细观察原式的结构,将原式通分后将有惊喜的发现.

1解:原式= cos 50 3 sin

50

sin

50cos

50

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案

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3.2 简单的三角恒等变换

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知识•巧学

一、半角的三角函数

1.在倍角公式cos2α=1-2sin2α=2cos2α-1中，以α代替2α，以2代替α，将得出sin2=±

2cos1，2cos12cos，cos1cos12tan，我们称之为半角公式，它们是用单角的余弦函数表示半角的弦函数与切函数的.其正负号的选取由2所在的象限确定.

2.对于半角的切函数，还可写成sincos1cos1sin2tan，我们可从同角的三角函数的商数关系出发，逆用二倍角公式去证明，即cos1sin2cos22cos22sin2cos2sin2tan2.

同理，可把2cos2sin2tan的分子、分母同乘以2sin2，即可化成sincos12tan.也可从半角的切函数cos1cos12tan2出发，把被开方数转化成一个完全平方的形式，通过开方求值.由于2222)cos1(sin)cos1()cos1)(cos1(cos1cos12tan，

∴|tan2|=cos1|sin|.∵sinα=2sin2cos2=2tan2²cos22，∴sinα与2tan同号.

又∵1+cosα>0，∴cos1sin2tan.

同理，若把cos1cos1的分子、分母同乘以1-cosα，可转化成sincos12tan.

我们也把cos1sin2tan，sincos12tan称之为半角公式，它是用单角的正、余弦函数表示半角的切函数的.

3.对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为2才是半角.如2α是4α的半角、23是3α的半角；反之，2、2α分别是4、α的倍角.正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.

高中数学三角恒等变换单元知识整合

高中数学三角恒等变换单元知识整合

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张喜林制

单元知识整合

二、本章知识整合1．和角公式

);(sinsincoscos)cos(C

);(sincoscossin)(Sms

)(tantan1tantan)tan(T

注意：公式T在2,2,2kkkT须满足），

Tk(2须满足），zk时成立，否则是不成立的．

．当)tan(/tan,tanh的值不存在时，不能使用

T公式，此时应改用诱导公式或其他方法来解，比如化简),2tan(因为2tan的值不存在，所以不能用

,T而应改用诱导公式cot)2tan(

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2．倍角公式和半角公式(1)倍角公式

);(cossin22sin2S

);(sin211cos2sincos2cos22222C

)(tan1tan22tan22T

(2)半角公式

;2cos12sin;2cos12cos

cos1sinsincos1cos1cos12tan

3．积化和差与和差化积公式

(1)积化和差公式

)];cos()[cos(21coscos

)];cos()[cos(21sinsin

)];sin()[sin(21cossin

)]sin()[sin(21sincos

(2)和差化积公式

;2cos2sin2sinms

;2sin2cos2sinsin

;2cos2cos2coscos

2sin2sin2coscos

三角恒等变换的常用技巧

三角恒等变换的常用技巧

三角恒等变换的常用技巧

三角恒等变换是一组用于变换三角函数的等式，它们可以用于简化和证明三角函数的性质和恒等关系。在解决三角函数方程和化简复杂的三角函数表达式时，常常需要运用三角恒等变换的技巧。以下是一些常用的三角恒等变换技巧。

1.用基本恒等变换开始：

角度的和差公式（sin(A±B)和cos(A±B)的展开式）

二倍角公式（sin(2A)和cos(2A)的展开式）

半角公式（sin(A/2)和cos(A/2)的展开式）

余角公式（sin(π/2 - A)和cos(π/2 - A)的展开式）

2.用倒数恒等变换：

sin(A) = 1/csc(A)

cos(A) = 1/sec(A)

tan(A) = 1/cot(A)

3.用商数恒等变换：

tan(A) = sin(A)/cos(A)

cot(A) = cos(A)/sin(A)

sec(A) = 1/cos(A)

csc(A) = 1/sin(A) 4.用三角函数的倒数、商数和平方的恒等变换：

sin(A)^2 + cos(A)^2 = 1

tan(A)^2 + 1 = sec(A)^2

cot(A)^2 + 1 = csc(A)^2

5.用平均根式恒等变换：

sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2

cos(A)cos(B) = (cos(A - B) + cos(A + B))/2

sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/2

sin(A)sin(B)sin(C) = (cos(A) - cos(B+C) + cos(B)cos(C))/2

6.用和差化积公式：

sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2

cos(A)cos(B) = (cos(A + B) + cos(A - B))/2

sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/2