基本不等式第1课时

即 cd ＞0， 所以acdd＞－0bc＞0， 或acdd＜－0b，c＜0， 即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.

本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
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解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.

个不等式的符号保持不变.
当堂练习
1. 已知a < b，用“>”或“<”填空： （1）a +<12 b +12 ；
（2）b >-10 a -10 .
2. 把下列不等式化为x>a或x<a的 形式：
（1）5＞3+x； 解：x < 2
（2）2x＜x+6. 解：x < 6
课堂小结
三角形中，两边之差小于 第三边
用不等号填空： （1）5 > 3 ；
5+2 >
5-2 > 3-
3+2 ；
2.
（2）2 <
4；
2+1 < 4+1 ；
2-3 < 4-3 .
讲授新 课
一 不等式的基本性质1
水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨 和84kg苹果. 在卖出a kg梨和a kg苹果后，又分 别各请购用进“了>”b或k“g的<”梨填和空苹：果.
第4章 一元一次不 等4式.2 (不组等)式的基本性质
第1课时 不等式的基本性质1
学习目 1.理解并掌握不等标式的基本性质1;
2.通过实例操作，培养学生观察、分析、比 较的能力，会用
不等式的基本性质1进行不等式的变形. （重点、难点）
导入新 课
观察与 思考
我们在七年级上册已经学过等式的基
本性质，那么不等式具有哪些性质呢？
AB + BC > AC， BC + AC > AB， AC + A B > BC . 把上面的三个式子进行移项操作，你 会得到什么？
根据不等式基本性质1，我们可以把不等 式AB + BC > AC 中的BC 移到右边，于是得 到 AB > AC-BC，即AC-BC < AB.

2.2.1基本不等式（第1课时）1．下列结论正确的是( )．A ．当x R ∈时，12x x +≥ B ．当0x >2≥C ．当2x ≥时，1x x +的最小值为2D ．当02x <≤时，1x x -无最大值3．设0,1a b a b <<+=则221,,2,2b ab a b +中最大的是（ ）．A.B. C. D. 4．若63a -≤≤( )．A ．9 B.92C ．3D.25．设0x >，则133y x x=--的最大值是( )． A ．3 B．3- C．3- D ．1- 6．给出下列三个结论，其中正确的有 （填序号）．（1）∵,a b R +∈，∴a bb a+的最小值为2； （2）∵a R ∈，0a ≠，∴4a a+的最小值为4； （3）∵,a b R +∈，14a a ++的最小值为． 7．给出下列不等式：①12x x+≥； ②12x x +≥； ③222x y xy +≥； ④222x y xy +>；⑤2x y+≥. 其中正确的是________(写出序号即可)．8．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件． 9．已知4(0,0)ay x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a ＝________．10．已知0x ≠，当x 取什么值时，函数2281y x x=+的值最小？最小值是多少？11．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？12b 2ab 22a b +2-作业解析1.解析：B A 中，当x R ∈时，x 的正负不确定，∴12x x +≥或12x x+≤-；C 中，当x≥2时，min 152x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； D 中，当0<x≤2时，1y x x =-在(0,2]上递增，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选B. 2.解析：B a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a ＝1时，等号成立． 2．不等式212a a +≥中等号成立的条件是( )．A ．1a =±B ．1a =C ．1a =-D ．0a =3.解析：A 由能推出；反之则不然，因为平方不等式的条件是.4.解析：B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，(3)(6)922a a -++≤=即(－6≤a ≤3)的最大值为92. 5.解析：C11333(3)33y x x x x =--=-+≤--当且仅当13x x =，即x时取等号．6.解析：（1）； （1）∵,a b R +∈，∴,b aR a b+∈，符合基本不等式的条件，∴2a b b a +≥=（当且仅当时取等号）.（2）由,a R ∈不符合基本不等式的条件，∴44a a +≥=是错误的．（3）∵，∴，（当且仅当即时取等号）∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即． 7.解析：② 当x >0时，1x x +≥2；当x <0时，1x x +≤－2，①不正确；因为x 与1x同号，所以11=2x x x x++≥， 0a b >>222a b ab +<,a b R ∈a b =0a>11444244a a a a +=++-≥=-++144a a +=+413a a +==-，0a >3a =-124a a +>-+②正确；当x ，y 异号时，③不正确；当x ＝y 时，222x y +＝xy ，④不正确；当x ＝1，y ＝－1时，⑤不正确．8.解析：充分不必要 当0, 0a >b >时，由基本不等式，可得a b +≥，当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性是成立的；例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件．9.解析：3640,0)a y x x a x =+≥=>>，当且仅当4ax x=，即x时等号成立，此时y 取得最小值又由已知x ＝3时，y 的最小值为＝3，即a ＝36. 10.解析：∵，∴，∴228118y x x =+≥=（当且仅当即时，取等号） 故当时，的值最小为18. 11.解析：设购买x 张游泳卡，活动开支为y 元， 则488402403840.y x x⨯=⋅+≥（当且仅当x=8时取“=”） 此时每人最少交80元．所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充分条件； “120x x +>且120x x >”⇒“1>0x 且20x >”，所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的必要条件． 所以“1>0x 且20x >”是“120x x +>且120x x >”的充要条件．（2）根据不等式性质可得“12x >且22x >”⇒“124x x +>且124x x >”， 所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分条件；例如：121,5,x x ==满足“124x x +>且124x x >”，但是不满足“12x >且22x >”． “124x x +>且124x x >”不能推出“12x >且22x >”．所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的非必要条件． 所以“12x >且22x >”是“124x x +>且124x x >”的充分非必要条件． 故答案为：充要；充分非必要．0x ≠20x >2281x x =3x =±3x =±2281x x+。

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又 x>0,y>0,所以 x<y.
答案(dá àn):y>x
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5.设 a,b,c 都是正数,试证明不等式: b c + c a + a b ≥6.
解:因为 0<a<1,0<b<1,a≠b,所以 a+b>2 ab ,a2+b2>2ab;所以四个数中最大的应 从 a+b,a2+b2 中选择.而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又因为 0<a<1,0<b<1,所以 a(a-1)<0,b(b-1)<0,所以 a2+b2-(a+b)<0,即 a2+b2<a+b,所以 a+b 最大.
R=lg a b ,则 P,Q,R 的大小关系是
.
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解析:因为 a>b>1,所以 lg a>lg b>0,所以 Q= 1 (lg a+lg b)> lg a lgb =P; 2
Q= 1 (lg a+lg b)=lg a +lg b =lg ab <lg a b =R.所以 P<Q<R.
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答案(dá àn):P<Q<R
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题型三 利用基本(jīběn)不等式证明不等式
[例 3]已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c. b ca
规范解答:因为 a,b,c, a2 , b2 , c2 均大于 0,………………………………………2 分 b ca