基本不等式(第一课时)

基本不等式教学设计（第一课时）阮 晓 锋一、教学目标1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。

2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。

探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号． （在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2； （2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41． 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。

2.2.1等式性质与不等式性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系；2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力；3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想.二、教学重难点1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小.三、教学过程1.用不等式（组）表示不等关系1.1创设情境，引发思考【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v)不小于第一宇宙速度(记作v2),且小于第二宇宙速度(记作v1).问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？（1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.【预设的答案】0 ＜v ≤40;{f≥ 2.5p≥ 2.3%;设△ABC的三条边为a，b，c，则a + b ＞c ，a – b＜c ;设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE.【设计意图】不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达.问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?【活动预设】（1）第一步：审题找出题中数量关系；（2）第二步：根据数量关系构建不等式或者不等式（组）.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题3：如何比较两个实数的大小关系？你能比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小关系吗？【活动预设】（1）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；（2）总结：实数大小的基本事实.教师讲授：如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a＜b.反过来也对.比较大小常用方法: 作差比较法由于(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=2>0，所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).【设计意图】在探究实数大小的基本事实的基础上，总结比较大小的常用方法“作差比大小”.1.2探究典例，理性分析典例1：用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值?【活动预设】感受在列不等式的过程中，变量的范围的重要性及不可缺少性.【设计意图】为加强不等式或不等式(组)中变量范围的限制.典例2：已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[变条件]将本例中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3－1与2x2－2x的大小？【活动预设】感受利用作差法比大小的过程中，变量的范围的重要性.【设计意图】为给学生贯彻分类讨论的数学思想.教师讲授：比较两个实数(代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.1.3具体感知，加强练习活动：观察2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.注:实际上这个图称为“弦图”,三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理.【活动要求】第一组每一排学生讨论在这个图案中含有怎样的几何图形；第二组相应排学生找出图案中的相等关系；第三组相应排学生找出图案中的不等关系.【活动预设】得出当a>0,b>0时，a2+b2≥2ab，引导学生思考“当a,b为任意实数时，上式仍成立”的合理性.【设计意图】在实践活动中进行认识, 在得出不等关系后，遵循从特殊到一般的思路，从外延的角度加深概念的理解，为基本不等式作铺.2.初步应用，理解概念例1 比较大小：(x−1)(x−2)与(x−2)的大小关系；【预设的答案】(x−1)(x−2)≥(x−2)【设计意图】进行简单的比较大小运算，熟悉作差法.例2 已知a>0,b>0,试比较√b +√a与√a+√b的大小；【预设的答案】√b +√a≥√a+√b【设计意图】（1）利用作差法概念以及变形方法,加深对作差法比大小的理解；（2）从这个例题中归纳概括出变形的方法：有理化.例3 已知a=√7−√6,b=√6−√5,则下列关系正确的是（）A. a>bB. a≤bC. a≥bD. a<b 【预设的答案】D【设计意图】在解题中加深对作差法中对差进行变形的灵活运用.例4 已知a>b , 证明：a>a+b2>b【预设的答案】∵a−a+b2=a−b2,a−b>0∴a−a−b2>0 即a>a+b2∵a+b2−b=a−b2,a−b>0∴a−b2−b>0 即a+b2>b综上，a>a+b2>b【设计意图】让学生掌握证明不等式的方法及书写格式3.归纳小结实际问题⇒不等关系⇒不等式⇒不等式性质数学抽象两个实数大小关系的基本事实(作差法)思考：对于Nalog，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？【设计意图】（1）梳理本节课对于对数的认知；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .四、课外作业高中教科书数学必修第一册第39页至第40页课后练习。

《2.2 基本不等式(第一课时)》教学设计1．理解基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0，b ＞0)，会利用不等式性质证明，发展逻辑推理素养； 2．了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；3．结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养．教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题．教学难点：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值．PPT 课件，及GEOGEBRA 制作的动画课件．一、创设情境★资源名称： 【情景演示】基本不等式引入★使用说明：本资源以欧拉智改羊圈的小故事为出发点，引出基本不等式的知识.注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：请同学们阅读课本第44页，说一说今天我们将要学习的内容是什么？在不等式中起着怎样的作用？师生活动：学生自主阅读课本，思考并回答，教师给予简单总结．预设的答案：基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石。

◆ 课前准备◆ 教学过程◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标师生活动：学生思考后回答．教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然×××成立”．设计意图：利用不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，提高学生逻辑推理的数学素养．3．基本不等式的几何解释问题4：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ，BC =b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：如图1，连接OD ，教师引导学生先寻找图中的不等关系，利用动画，观察从弦DE 长和圆的直径AB 这两个几何元素在变化中的不等关系，及半弦CD ≤OD ，并将此不等关系用符号表示．学生独立思考，并说出思路：半径OD 为2b a +，利用射影定理可得弦DE 长的一半CD 为ab ，由OD CD ≤ ，得到2b a ab +≤．教师评价并总结，基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释．当且仅当弦DE 过圆心时，二者相等．设计意图：让学生观察图形，先将图形中的不等关系找出来，再用代数语言表示，从而获得基本不等式的几何解释，提高学生数学直观的核心素养．★资源名称： 【数学探究】基本不等式a+b ≥2根号（ab ）★使用说明：本资源通过交互式动画展示了基本不等式的几何意义，运用本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”截图，如需使用资源，请于资源库调用．图1b a B A C DE O。