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2008年福建省数学(理科)高考试卷及答案

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2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)考试说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

（2）请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，在草稿纸和试卷上答题视为无效。

（3）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄皱，不准使用涂改液和刮纸刀等用具。

第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数121,2z i z bi =+=+，若12z z 为纯虚数，则实数b = A ．2- B ．2 C ．1- D ． 12. 设，a b 都是非零向量，若函数()()()f x x x =+- a b a b (x ∈R )是偶函数，则必有 A ．⊥a bB ．a ∥bC ．||||=a bD ．||||≠a b3. 3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4.设函数()f x ={}{}(),()A x y f x B y y f x ====则右图中阴影部分表示的集合为A ．[0,3]B ．(0,3)C ．(5,0][3,4)-D ．[5,0)(3,4]- 5. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个 单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x6. 已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的假命题是A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交7．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A ．19B ．29 C ．718 D ．498．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100-C ．100D ．10200第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题）9．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．10．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 2cm .11．右图所示的算法流程图中，若3a =，则输出的T 值为 ；若输出的120T =，则a 的值为 *()a ∈N .12．已知()f x 是R 上的奇函数，2)1(=f ，且对任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，则(3)f = ； =)2009(f .（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.14．（不等式选讲选做题）设关于x 的不等式1x x a +-<(a ∈R ). 若2a =，则不等式的解集为 ；若不等式的解集为∅，则a 的取值范围是 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，圆M 与圆N 交于A B 、两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C D 、两点， 延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5BC =，10BD =，则AB =；CFDE= .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出详细文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)设向量(sin ,cos )x x =a，(sin )x x =b ，x ∈R ，函数()(2)f x =+a ab . (1) 求函数()f x 的最大值与单调递增区间；(2) 求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合.17．(本小题满分12分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版(1) 从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2) 若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机 变量ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且12PA AB AD CD ===，//AB CD ， 90ADC ∠=︒.(1) 在侧棱PC 上是否存在一点Q ，使//BQ 平面PAD ？证明你的结论；(2) 求证：平面PBC ⊥平面PCD ；(3) 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.19．(本小题满分14分)已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差 数列.(1) 求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 若()n n n b a f a =⋅，当k ={}n b 的前n 项和n S ；(3) 若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由.20．(本小题满分14分)如图，设F 是椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线l 为对应的准线，直线l 与x轴交于P 点，A PB CDQMN 为椭圆的长轴，已知8MN =，且||2||PM MF =．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求证：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； (3) 求三角形△ABF 面积的最大值．21．(本小题满分14分)设函数()ln f x x x =(0)x >.(1) 求函数()f x 的最小值；(2) 设2()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；(3) 斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 12()x x <两点，求证：121x x k<<.【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. A.【解析】12221(1)(2)(2)(2)244z i i bi b b iz bi b b++-++-===+++为纯虚数，得20b +=，即2b =-.【链接高考】本小题考查复数的概念和复数的基本运算，难度不大，属于送分题.2. C.【解析】222()()()()()f x x x x x =+-=-+-+ a b a b a b a b a b 为偶函数，得()()f x f x -=恒成立，故220-=a b ，即22=a b ，故||||=a b .【链接高考】本小题考查偶函数的定义和向量的基本运算，体现了在知识网络的交汇处命题的指导思想，属于小综合的基础题. 3．C.【解析】当3a =时，直线3290x y ++=和直线324x y +=-平行；反之，若两直线平行，则它们 的斜率相等，得321a a -=--，解得：3a =或2a =-. 但检验知，当2a =-时，直线2260x y -+-=和直线339x y -=-重合. 故3a =是这两直线平行的充要条件.【链接高考】本小题考查解析几何中两直线平行关系的判定和充要条件的概念，考生容易错选A ，忽略了斜率相等时两直线除平行以外还可能重合，这提醒我们在解决这类问题时考虑要细致，要注意检验！ 4．D.【解析】由22150x x --+≥即22150x x +-≤，得53x -≤≤，故[5,3]A =-.由()[0,4]f x ==，得[0,4]B =. 从而[5,4]A B =- ，[0,3]A B = .阴影部分表示由在A B 内且不在A B 内的元素构成的集合，故答案选D.【链接高考】本小题考查集合的概念、函数的定义域和值域等知识，并通过韦恩图“隐性”考查集合的交、并、补等基本运算，题目设置巧妙，令人耳目一新. 审题时，要注意集合A 和B 是不同的，分别表示函数()f x 的定义域和值域. 5．A.【解析】)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数s i n(2)6y x π=+；再将图象向右平移3π个单位，得函数sin[2()]sin(2)362y x x πππ=-+=-，2π-=x 是其图象的一条对称轴方程.【链接高考】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质. 图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视. 一般地，sin()y A x ωϕ=+的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值. 6．D.【解析】若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面，故D 为假命题.【链接高考】本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系，解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定理和性质定理，并借助空间想象寻找反例，判断命题的真假，这种类型的问题在高考选择题中非常普遍. 选项A 、B 易证是真命题，选项C 可用反证法证之. 7．D.【解析】任意找两人玩这个游戏，共有6636⨯=中猜字结果，其中满足1a b -≤的有如下情形： ① 若1a =，则1,2b =；② 若2a =，则1,2,3b =；③ 若3a =，则2,3,4b =；④ 若4a =，则3,4,5b =；⑤ 若5a =，则4,5,6b =；⑥ 若6a =，则5,6b =，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为164369P ==.【链接高考】本小题是古典概型问题，属于高考新增内容，解题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形. 8．B.【解析】2222(()cos()(1)()n n n f n n n n n n π⎧-⎪===-⋅⎨⎪⎩为奇数）为偶数， 由212221()(1)(1)(1)(1)(1)[(1)](1)(21)n n n n n a f n f n n n n n n ++=++=-⋅+-⋅+=--+=-⋅+，得1231003(5)7(9)199(201)50(2)100a a a a ++++=+-++-+++-=⨯-=- .【链接高考】本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能 力.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题） 9. 52.【解析】设该校其他教师有x 人，则16,522610456x x x =∴=++，故全校教师共有2610452182++=人.【链接高考】统计是高考的新增内容,要求不高,但概念要清晰. 10. 100π.【解析】设实心铁球的半径为R ，则32451033R ππ=⨯⨯，得5R =，故这个铁球的表面积为24100S R ππ==2cm .【链接高考】本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算，考查考生理解、解决实际问题的能力. 11. 2；6.【解析】若3a =，则输出的122T =⨯=，若输出的12012345T ==⨯⨯⨯⨯，则516n =+=， 故a 的值为6 .【链接高考】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的广东高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视. 12. 0；2-.【解析】 在(6)()(3)f x f x f +=+中，令3x =-，得(3)(3)(3)f f f =-+，即(3)0f -=，又()f x 是R 上的奇函数，故(3)0f =，故(6)()f x f x +=，知()f x 是周期为6的周期函数，从而2)1()1()5()53346()2009(-=-=-==+⨯=f f f f f .【链接高考】本题是一道抽象函数问题，题目的设计“小而巧”，解题的关键是巧妙的赋值，利用其奇偶性得到函数的周期性，再利用周期性求函数值.“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法.（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） 13. 10m >或0m <.【解析】曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）的普通方程是22(1)(2)1x y -++=圆心()1,2-到直线340x y m ++=的距离55m d -==，令515m ->，得10m >或0m <.【链接高考】本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆位置关系的有关知识,以及转化与化归的思想方法. 14. 13(,)22-；(,1]-∞. 【解析】2a =时，不等式12x x +-<化为012x x x ≤⎧⎨-+-<⎩或0112x x x <<⎧⎨+-<⎩或112x x x ≥⎧⎨+-<⎩，解得102x -<≤或01x <<或312x ≤<，即1322x -<<，故不等式的解集为13(,)22-；因为1(1)1x x x x +-≥--=，所以若不等式1x x a +-<的解集为∅，则a 的取值范围是1a ≤.【链接高考】本小题主要考查含绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质. 这类问题是高考选做题中的常规题，解题方法要熟练掌握.15. 1.【解析】根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，故ΔABC ∽ΔDBA ，则AB BCDB BA=，故250,AB BC BD AB =⋅==根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=⋅（*）.由ΔABC ∽ΔDBA ，得A C A B D A D B ==，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*）得1CFDE=. 【链接高考】 本小题主要考查圆的切线及有关知识，如弦切角定理和切割线定理，以及分析问题与解决问题的能力、转化与化归的思想方法.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解： (1)2()(2)2f x =+=+ a a b a a b 222sin cos 2(sin cos )x x x x x =++ …………2分111cos 2222(sin 2cos 2)22x x x x =+-+=+-⋅ …………4分22(sin 2coscos 2sin )22sin(2)666x x x πππ=+-=+-. (5)分∴当si n (2)16x π-=时，()f x 取得最大值4. …………6分由222262k x k πππππ-≤-≤+，得63k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+()k ∈Z . …………8分 (2)由()22sin(2)6f x x π=+-，得()4c o s (26f x x π'=-. (9)分 由()2f x '≥，得1co s(2)62x π-≥，则222363k x k πππππ-≤-≤+， …………11分即124k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z . ∴使不等式()2f x '≥成立的x的取值集合为,124x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . …………12分【链接高考】向量、导数都是数学解题的重要工具，同时又是新旧知识的一个重要的交汇点. 解决本题的关键是，利用两个向量数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数问题来处理，其中三角降幂公式和合一变换公式是三角变换中最常用的公式，一定要熟练记忆. 另外对()f x 求导要注意是复合函数求导.17. 解：(1)从50名教师随机选出2名的方法数为2501225C =， …………1分选出2人使用版本相同的方法数为22222015510350C C C C +++=， …………3分故2人使用版本相同的概率为350212257P ==. …………5分 (2) ξ的所有可能取值为0，1，2. …………6分173C C )0(235215===ξP ，…………7分112015235C 60(1)C 119C P ξ===，…………8分11938C C )2(235220===ξP .…………9分∴ξ的分布列为…………10分∴360381368012171191191197E ξ=⨯+⨯+⨯==. …………12分【链接高考】概率统计的综合题，一般考察概率与期望的计算，在高考中占有极其重要的地位，几乎每年高考都有一道大题，大都属于比较基础的中档题，因此是历年高考的“兵家必争之地”.18. (1) 解：当Q 为侧棱PC 中点时，有//BQ 平面PAD .证明如下：如图，取PD 的中点E ，连AE 、EQ .Q 为PC 中点，则EQ 为PCD ∆的中位线，∴//EQ CD 且12EQ CD =.//AB CD 且12AB CD =，∴//EQ AB 且EQ AB =， ∴四边形ABQE 为平行四边形，则//BQ AE . ∵BQ ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴//BQ 平面PAD . …………4分 (2) 证：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥.∵AD CD ⊥，PA AD A = ，∴CD ⊥平面PAD . ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥.∵PA AD =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥. ∵CD PD D = ，∴AE ⊥平面PCD . ∵//BQ AE ，∴BQ ⊥平面PCD .∵BQ ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD . …………9分 (3) 解法一：设平面PAD 平面PBC l =.∵//BQ 平面PAD ，BQ ⊂平面PBC ，∴//BQ l .∵BQ ⊥平面PCD ，∴l ⊥平面PCD ，∴,l PD l PC ⊥⊥.故DPC ∠就是平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角. …………12分∵CD ⊥平面PAD ，∴CD PD ⊥.设12PA AB AD CD a ====，则PD ==，PC ==，故cos 3PD DPC PC ∠==. ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为3. …………14分 解法二：如图建立直角坐标系，设1,2PA AB AD CD ====，则(0,0,0)A ,(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1)B C P -，则(0,1,1)PB =- ，(1,1,0)BC =-.设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则 由0n PB n BC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 00y z x y z x y -=⎧⇒==⎨-+=⎩，取(1,1,1)n =. …………11分由CD ⊥平面PAD ，//AB CD ，知AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(0,1,0)AB =. …………12分设所求锐二面角的大小为θ，则cos AB n AB n θ===⋅ ∴所求锐二面角的的余弦值为. …………14分 【链接高考】本题主要考查四棱锥的有关知识，涉及线面、面面位置关系的判定与证明，还有二面角的计算. 高考立体几何综合题大都以棱柱和棱锥为载体，综合考查空间想象能力和分析、解决问题的能力.空间角的计算一般有传统法和坐标向量法两种基本方法，前者着重思维，后者重在向量的坐标运算，各有优点，解题时既要具体问题具体分析，又要考虑到考生本人对这两种方法掌握的熟练程度而定. 19. (1) 证：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+， …………1分 ∴22n n a k +=，∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==. …………2分 ∵常数0k >且1k ≠，∴2k 为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列. …………3分 (2) 解：由(1)知，22()(22)n nn n b a f a k n +==⋅+，当k =时，12(22)2(1)2n n n b n n ++=+⋅=+⋅. …………4分∴25432)1(242322+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n S ， ①2n S =452322322(1)2n n n n ++⋅+⋅++⋅++⋅ .② …………5分②－①，得3452322222(1)2n n n S n ++=-⋅----++⋅3345232(2222)(1)2n n n ++=--++++++⋅∴3332(12)2(1)212n n n S n +-=--++⋅-32n n +=⋅ . …………8分(3) 解：由(1)知，22lg (22)lg n n n n c a a n k k +==+⋅，要使1n n c c +<对一切*n ∈N 成立，即2(1)lg (2)lg n k n k k+<+⋅⋅对一切*n ∈N 成立. …………9分① 当1k >时，l g 0k >，21(2)n n k +<+对一切*n ∈N恒成立； …………10分② 当01k <<时，l g 0k <，21(2)n n k +>+对一切*n ∈N 恒成立，只需2m i n12n k n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭， 11分∵11122n n n +=-++单调递增，∴当1n =时，m i n1223n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭. …………12分 ∴223k <，且01k <<，∴03k <<. …………13分综上所述，存在实数(0,)(1,)3k ∈+∞ 满足条件. …………14分【链接高考】本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力，以及分类讨论和化归、转化的思想方法. 错位相减法是数列求和的一种重要方法，备考复习中要引起重视.20. (1) 解：∵8MN =，∴4a =，又∵||2||PM MF =，∴12e =， ∴2222,12c b a c ==-=，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=． …………3分 (2) 证：当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB 方程为8x my =-，代入椭圆方程整理得：22(34)481440m y my +-+=．2576(4)m ∆=-，24834A B m y y m +=+，214434A B y y m =+．则22A B AF BF A B y y k k x x +=+++(6)(6)66(6)(6)A B A B B A A B A B y y y my y my my my my my -+-=+=---- 26()(6)(6)A B A B A B my y y y my my -+=--，而221444826()2603434A B A B mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++ ∴0AF BF k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线PAB，恒有AF M ∠=∠． …………8分 (3)解：12ABF PBF PAFB A S S S PF y y ∆∆∆=-=⋅-=即：2723(4)16ABFS m ∆==≤=-+当且仅当=，即m =（此时适合于0>∆的条件）取到等号．∴△ABF面积的最大值是33． …………14分【链接高考】解析几何的综合题，基本上是每年都有一道大题，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.其中字母运算能力和综合分析、解决问题的能力是考生最薄弱的一环. 本题中的第二、第三问都突出体现了解析几何中化归、转化的思想方法，以达到化繁为简的目的，值得我们深思.21. (1) 解：()ln 1f x x '=+(0)x >，令()0f x '=，得1x e=. …………2分∵当1(0,)x e∈时，()f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()f x '>， …………3分∴当1x e=时，min 111()ln f x e e e==-. …………4分(2) 2()ln 1F x ax x =++(0)x >，2121()2(0)ax F x ax x x x+'=+=>. …………5分① 当0≥a 时，恒有()0F x '>，()F x 在),0(+∞上是增函数； …………6分② 当0<a 时，令()0F x '>，得221ax +>，解得0x << …………7分 令()0F x '<，得2210ax +<，解得x > …………8分 综上，当0≥a 时，()F x 在),0(+∞上是增函数； 当0<a 时，()F x在上单调递增，在)+∞上单调递减. …………9分 (3) 证：21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--. 要证121x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-，等价于证21221111ln x x x x x x -<<，令21xt x =， 则只要证11ln t t t-<<，由1t >知ln 0t >，故等价于证ln 1ln (1)t t t t t <-<> (*). ① 设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t'=-≥≥，故()g t 在[1,)+∞上是增函数，∴ 当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>.② 设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()l n 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞上是增函数，∴ 当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>.由①②知(*)成立，得证. …………14分【链接高考】自从导数走进高考，就一直和函数、方程与不等式形影不离，并且经常扮演高考压轴题的重要角色，预计未来的高考，导数还会继续发挥其巨大的工具功能，与其它知识紧密结合，展示其独特的魅力. 本题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查达到了相当的高度.。

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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.文)含详解

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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（福建.文）含详解数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合A ={x |x 2-x ＜0},B={x |0＜x ＜3},则A ∩B 等于 A.{x |0＜x ＜1} B.{x |0＜x ＜3} C.{x |1＜x ＜3} D.￠ （2）“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）设|a n |是等左数列，若a 2=3,a 1=13,则数列{a n }前8项的和为 A.128 B.80 C.64 D.56 （4）函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R)，若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 A.12125 B.16125 C.48125 D.96125(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为A.3 B.23 C.4D.13（7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x(8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b ,则角B 的值为 A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞) （11）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么 导函数y=f (x )的图象可能是（12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） （14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 . （15，则其外接球的表面积是 . （16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、ab∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. （18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,,543且他们是否破译出密码互不影响.(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD 底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC=2，O 为AD 中点. (Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PCD 的距离. （20）（本小题满分12分）已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1. (21)（本小题满分12分）已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值. (22)（本小题满分14分）如图，椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合A ={x |x 2-x ＜0},B={x |0＜x ＜3},则A ∩B 等于 A.{x |0＜x ＜1} B.{x |0＜x ＜3} C.{x |1＜x ＜3} D.∅ 解：A ={x |0<x<1}∴A ∩B={x |0＜x ＜1} （2）“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若00x y x ay +=-=与互相垂直，则0x ay -=的斜率必定为1，1a =，反之显然 （3）：设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==,则数列{}n a 前8项的和为 A.128 B.80 C.64 D.56 解：因为{}n a 是等差数列，278313886422a a ++=⨯=⨯=∴S（4）函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =,则()f a -的值为A.3B.0C.-1D.-2解：3()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=故()11f a --=-即()0f a -=.(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 A.12125 B.16125 C.48125 D.96125解：独立重复实验服从二项分布4(3,)5B ，21234148(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为AB.23D.13解：连11AC ,则11AC A ∠为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角.112AB BC AC AC ==⇒==11AA= 1111113sin 3AA AC AC A AC =⇒∠==∴ （7）函数cos ()y x x R =∈的图象向左平移2π个单位后，得到函数()y g x =的图象，则()g x 的解析式为A.sin x -B. sin xC.cos x -D.cos x 解：()cos()sin 2y g x x x π==+=-(8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若222a cb +-=，则角B 的值为 A.6πB.3π C.6π或56π D.3π或23π解：由222a +c -b得222(a +c -b )2ac即cos = B 6B π⇒=(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48解：6人中选4人的方案4615C =种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种(10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞) 解：由题设1y x ≥+，所以11y x x ≥+，又01211x y <≤-≤-=，因此2y x≥ 又yx可看做可行域中的点与原点构成直线的斜率，画出可行域也可得出答案。

2008年福建省高考数学理科试卷评析(三) 化归与转化思想的考查分析

2008年福建省高考数学理科试卷评析(三) 化归与转化思想的考查分析

2008年福建省高考数学理科试卷评析(三) 化归与转化思想的
考查分析
佚名
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2008(000)006
【摘要】化归与转化思想是指在解决数学问题时,采用某种手段将问题进行转化,使问题得以解决的数学思想.随着高考试题的命制由知识立意转向能力立
【总页数】2页(P5-6)
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷福建文含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷福建文含详解

数学(文史类)第I卷(选择题共60分)、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•(1)若集合A={x|x-x v 0},B={ x|0v x v3},则A A B 等于A.{ x|0v x v 1}B.{ x|0v x v 3}C.{ x|1 v x v 3}D. C(2)“ a=1”是"直线x+y =0和直线x-ay=0互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3 )设a n|是等左数列，若a2=3,a i=13,则数列｛a n｝前8项的和为A.128B.80C.64D.56(4)函数f(x)=x +sinx+1(x€ R)，若f(a)=2,则f(-a)的值为41粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率512A.12548C.-125⑹如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC =2, AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为2、2 2 2 1A. B. C. D.-3 34 3(7) 函数y=cosx(x € R)的图象向左平移一个单位后，得到函数y=g(x)的图象，贝U g(x)的解2析式为A.-si nxB.si nxC.-cosxD.cosx(8) 在厶ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b23 ac,则角B的值为A.3B.0C.-1D.-2(5)某一批花生种子，如果每是16B.-12596D.-125(9) 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生, 那么不同的选派方案种数为'x- y +1 兰 0,(10)若实数x 、y 满足 X > 0, 则—的取值范围是xx — 2,2 2(12) 双曲线 笃-每=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|,a b则双曲线离心率的取值范围为 A. (1, 3) B. ( 1, 3)C. (3, +g)D. [3 , + g ]第H 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.1(13) ______________________________________ (x+丄)9展开式中x 2的系数是 .(用数字作答)x(14) 若直线3x+4y+m=0与圆x 2+y 2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数 m 的取值范围是 _________ (15 )若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 .3，则其外接球的表面积是 ________ . (16) 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b € P ,都有a+b 、a-b 、ab 、旦€bP (除数b z 0)则称P 是一个数域，例如有理数集 Q 是数域，有下列命题: ① 数域必含有0, 1两个数；Tt A.—6Tt B.—35亠2- C. 或D.—或6 6 3 3A.14B.24C.28D.48y|yr\1o rxB.（ 0，2） C.（2,+gD.[2 , +gA. (0, 2)(11)如果函数y=f(x)的图象如右图，那么 导函数y=f(x)的图象可能是② 整数集是数域；③ 若有理数集 Q M,则数集M 必为数域； ④ 数域必为无限集•其中正确的命题的序号是 ___________ .(把你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题：本大题共 6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)已知向量 m = (sin A,cos A), n = (1,一2)，且 mn = 0. (I )求tanA 的值;(n )求函数 f(x)二 cos2x ta n As in x(x ・ R )的值域. (18) (本小题满分12分)三人独立破译同一份密码 .已知三人各自破译出密码的概率分别为 出密码互不影响.(I )求恰有二人破译出密码的概率；(n )“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由 (19) (本小题满分12分)如图，在四棱锥 F — ABCD 中，侧面FAD 丄底面 ABCD ，侧棱FA = PD=2，底面ABCD 为直角梯 形，其中 BC // AD ,AB 丄 AD,AD=2AB=2BC=2 , O 为AD 中点.(I )求证：P0丄平面 ABCD ;(n )求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； (川)求点A 到平面PCD 的距离.(20) (本小题满分12分) 已知｛ a n ｝是正数组成的数列，a 1=1，且点(a n ,a n J (n ・N*)在函数y=x 2+1的图象上.(I )求数列｛ a n ｝的通项公式;a2(n )若列数｛ b n ｝满足 b 1 = 1,b n+1=b n + 2 n ，求证:b n • b n+2< b n+1. (21) (本小题满分12分)已知函数f(x)=x +mx +nx —2的图象过点(-1, -6),且函数g(x) = f "(x)+6x 的图象 关于y 轴对称.(I )求m 、n 的值及函数y=f(x)的单调区间；(n )若a > 0，求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1 )内的极值.1 1丄，丄，且他们是否破译(22) (本小题满分14 分)2 2x y如图，椭圆C:二(a > b> 0)的一个焦a b点为F(1,0)，且过点(2, 0).(I)求椭圆C的方程；(n)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M. (i )求证：点M恒在椭圆C上; (ii )求厶AMN面积的最大值.2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文史类)第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•(1)若集合A={X|X2-X V 0},B={ X|0V x v3},则A A B 等于A.{ x|0v x v 1}B.{ x|0v x v 3}C.{x|1v x v 3}D.-解：A={x|0<x<1}. A A B={x|0v x v 1}(2)“ a=1”是"直线x+y =0和直线x-ay=0互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若x • y = 0与x -ay二0互相垂直，则x -ay二0的斜率必定为1, a = 1，反之显然(3):设{a n}是等差数列，若a? =3® =13,则数列©}前8项的和为A.128B.80C.64D.56a +a3+13解：因为{a n}是等差数列，二S8二一78=——3 8=642 23(4)函数f (x) =x sin x • 1(x • R)，若f (a) =2，则f (-a)的值为A.3B.0C.-1D.-2解：f(x)T =x3sinx 为奇函数，又f(a) =2 f(a)「1 =1故f (-a) -1 二-1 即f (-a) =0.41粒发芽的概率为一，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率(5)某一批花生种子，如果每516 48 96B. C. D.-484 o ]■ 4 解：独立重复实验服从二项分布B(3, —), P(X =2)=C ；-5 -g (x)的解析式为(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生, 那么不同的选派方案种数为2 1 (4]门) 15八5(7)函数y =cosx(x ・R)的图象向左平移2125A. -sinxB. sinxJI 、C. -cosxD. cosx解: y =g(x)二cos(x ) - -sin x2(8)在厶ABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若 a 2 • c 2 - b 23ac ，则角 B 的值兀A.—6兀B.—3解: 由 a 2+c 2-b 2=\ 3ac 得(a +c b )= —3 2ac即cos B 二晅 2 2兀B 二—A.14B.24C.28D.48 得到函数 y =g(x)的图象，则个单位后,48解：6人中选4人的方案C； =15种，没有女生的方案只有一种,所以满足要求的方案总数有14种x - y 仁0,(10)若实数x、y满足x 0,[心，则丿的取值范围是xA.(0, 2)B.( 0，2)C.(2,+g)D.[2 , +g)解：由题设 y _x 1，所以 X _1-，又 0 ：：： x _ y -1 _ 2 -1 =1，因此-_ 2XXx又y 可看做可行域中的点与原点构成直线的斜率，画出可行域也可得出答案。

2008年全国各地高考数学试卷2008年(福建.文)含答案

2008年全国各地高考数学试卷2008年(福建.文)含答案

数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合A ={x |x 2-x ＜0},B={x |0＜x ＜3},则A ∩B 等于 A.{x |0＜x ＜1} B.{x |0＜x ＜3} C.{x |1＜x ＜3} D.￠ （2）“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）设|a n |是等左数列，若a 2=3,a 1=13,则数列{a n }前8项的和为 A.128 B.80 C.64 D.56 （4）函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R)，若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是A.12125 B.16125 C.48125 D.96125(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为A.3 B.23 C.4D.13（7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为A.-sin xB.sin xC.-cos xD.cos x(8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b ,则角B 的值为A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞) （11）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么 导函数y=f (x )的图象可能是（12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） （14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 . （15，则其外接球的表面积是 . （16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、a b∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. （18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,,543且他们是否破译出密码互不影响.(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD 底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC=2，O 为AD 中点.(Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PCD 的距离. （20）（本小题满分12分）已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1. (21)（本小题满分12分）已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值. (22)（本小题满分14分）如图，椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ， 直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）A （2）C (3)C (4)B (5)C (6)D （7）A （8）A (9)A (10)D (11)A (12)B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分. （13）84（14）(,0)(10,)-∞⋃+∞ （15）9π （16）①④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得 m ·n =sin A -2cos A =0,因为cos A ≠0,所以tan A =2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =时，f (x )有最大值32， 当sin x =-1时，f (x )有最小值-3， 所以所求函数f (x )的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.解：记“第i 个人破译出密码”为事件A 1(i =1,2,3)，依题意有123111(),(),(),54.3P A P A P A ===且A 1，A 2，A 3相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B ，则有B ＝A 1·A 2·3A ·A 1·2A ·A 3+1A ·A 2·A 3且A 1·A 2·3A ，A 1·2A ·A 3，1A ·A 2·A 3 彼此互斥于是P (B )=P (A 1·A 2·3A )+P （A 1·2A ·A 3）+P （1A ·A 2·A 3）＝314154314351324151⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ＝203.答：恰好二人破译出密码的概率为203. （Ⅱ）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D . D ＝1A ·2A ·3A ，且1A ，2A ，3A 互相独立，则有 P （D ）＝P （1A ）·P （2A ）·P （3A ）＝324354⨯⨯＝52. 而P （C ）＝1-P （D ）＝53，故P （C ）＞P （D ）. 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）证明：在△P AD 卡中P A ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD .又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ,AD =2AB =2BC ， 有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC.由（Ⅰ）知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2， 在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1， 在Rt △PBO 中，PB ＝322=+OB OP , cos ∠PBO =3632==PB OB , 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36. (Ⅲ)由（Ⅱ）得CD ＝OB ＝2， 在Rt △POC 中，PC ＝222=+OP OC ，所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=23. 又S △=,121=∙AB AD 设点A 到平面PCD 的距离h ， 由V P-ACD =V A-PCD ，得31S △ACD ·OP ＝31S △PCD ·h ， 即31×1×1＝31×23×h ， 解得h ＝332. 解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O 为坐标原点，、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .则A （0，-1，0），B （1，-1，0），C （1，0，0）， D （0，1，0），P （0，0，1）. 所以＝（-1，1，0），＝（t ，-1，-1）， ∞〈PB 、CD 〉362311-∙--＝＝， 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36， （Ⅲ）设平面PCD 的法向量为n ＝（x 0,y 0,x 0）， 由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0）， 则n ·CP ＝0，所以 -x 0+ x 0=0,n ·CD ＝0， -x 0+ y 0=0，即x 0=y 0=x 0,取x 0=1，得平面的一个法向量为n =(1,1,1). 又=(1,1,0).从而点A 到平面PCD 的距离d .33232==（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）由已知得a n +1=a n +1、即a n +1-a n =1，又a 1=1, 所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故a n =1+(a -1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n =n 从而b n +1-b n =2n . b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+···+（b 2-b 1）+b 1 =2n -1+2n -2+···+2+1＝2121--n =2n -1. 因为b n ·b n +2-b 21+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n -1-1)2=(22n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2-2n +1-1)=-5·2n +4·2n =-2n ＜0,所以b n ·b n +2＜b 21+n , 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为b 2=1,b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1)- b 21+n=2n +1·b n -1-2n ·b n +1-2n ·2n +1＝2n （b n +1-2n +1） =2n （b n +2n -2n +1） =2n （b n -2n ） =…=2n （b 1-2） =-2n 〈0，所以b n -b n +2<b 2n +1（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. 解：（1）由函数f (x )图象过点（－1，－6），得m -n =-3, ……① 由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′（x ）=3x 2+2mx +n , 则g (x )=f ′(x )+6x =3x 2+(2m +6)x +n ; 而g (x )图象关于y 轴对称，所以－3262⨯+m ＝0，所以m =-3, 代入①得n =0.于是f ′(x )＝3x 2-6x =3x (x -2). 由f ′(x )>得x>2或x <0,故f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x )<0得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x )＝3x (x -2), 令f ′(x )＝0得x =0或x=2.当0<a <1时，f (x )在（a -1,a +1）内有极大值f (O )=-2,无极小值； 当a =1时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值；当1<a <3时，f (x )在（a -1,a +1）内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值.综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值.(22)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分, 解法一：（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为13422=+y x . (Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3422n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0， n (x -4)-(m -4)y =0.设M (x 0,y 0),则有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③由②，③得 x 0=523,52850-=--m ny m m .所以点M 恒在椭圆G 上.(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0. 1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(34222222222222222020=--+-=-+-=-+--=-+--=+m mm m n m m n m m m n m m y x 由于设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x |y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y令3t 2+4=λ(λ≥4),则 |y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341·3432λλλλλ 因为λ≥4，0<时，，＝，即＝所以当04411,41≤1=t λλλ |y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F . △AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=- 解法二：（Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0), .13422=+n m ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……② n (x -4)-(m -4)y =0, ……③ 由②，③得：当≠523,528525-=--=x yn x x m 时，. ……④ 由④代入①，得3422y x +=1（y ≠0）. 当x=52时，由②，③得：3(1)023(4)0,2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩解得0,0,n y =⎧⎨=⎩与a ≠0矛盾.所以点M 的轨迹方程为221(0),43x x y +=≠即点M 恒在锥圆C 上. （Ⅱ）同解法一.。