(北师版)初三上册期末复习 第二章一元二次方程达标练习题

北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。

北师大版九年级数学上册第2章《一元二次方程》章末综合测试一．选择题1．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．02．一元二次方程ax2+bx＝c的二次项系数为a，则常数项是（）A．0 B．b C．c D．﹣c3．一元二次方程x（x﹣2）＝3x根的情况是（）A．两个相等的实数根B．一个实数根C．两个不相等的实数根D．无实数根4．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣2 5．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±26．方程2x2＝1的解是（）A．B．C．D．7．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0 B．2x2﹣4x+1＝0 C．2x2﹣4x﹣1＝0 D．2x2+4x﹣1＝0 8．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k9．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．4810．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（）支队伍参加了比赛．A．5 B．6 C．7 D．8二．填空题11．将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是．12．m是方程2x2＝x﹣6的一个根，则代数式4m2﹣2m的值是．13．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2＝0的两根，且，则k＝．14．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝．15．方程3x（2x+1）＝2x+1解为．16．关于x的方程kx2﹣4x＝0有两个实数根，则k的取值范围是．17．方程x2﹣x﹣6＝0的解为．18．一元二次方程x2﹣8x+a＝0，配方后为（x﹣4）2＝1，则a＝．三．解答题19．解下列方程（1）x2﹣3x＝0；（2）（x﹣1）2＝16；（3）2x2﹣5x﹣2＝x；（4）+1．20．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．21．张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是5000元，四月份的盈利达到7200元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？22．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，求剪去小正方形的边长．23．关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．24．某汽车销售公司2017年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2018年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B DC A C B A C B C 11．x2﹣2x﹣15＝0；1；﹣2；﹣1512．﹣1213．314．15．x1＝﹣，x2＝16．k≥﹣6且k≠017．x＝2或x＝18．1519．解：（1）分解因式得：x（x﹣3）＝0，可得x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3；（2）开方得：x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，解得：x1＝5，x2＝﹣3；（3）方程整理得：x2﹣3x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∵△＝9+4＝13＞0，∴x＝，解得：x1＝，x2＝；（4）方程整理得：3x2+3＝8x﹣2+6，即3x2﹣8x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣8，c＝﹣1，∵△＝64+12＝76＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．20．解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）不存在．∵x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2，而x1+x2和x1x2互为相反数，∴﹣（2k﹣1）+k2＝0，解得k1＝k2＝1，∵k≤，∴不存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数．21．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意，舍去），答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640（元），答：按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到8640元．22．解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．整理得：（x﹣5）（x﹣30）＝0．解得：x1＝30（舍去），x2＝5，答：剪去小正方形的边长是5cm．23．（1）解：由题意，4﹣2m+m﹣2＝0，解得m＝2，∴方程为x2+2x＝0，解得x＝2或0，∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（3）由根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，由若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，则有（x1+x2）2﹣2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，∴m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝m2+1，整理得m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或1．24．解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，根据题意得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．答：11月份和12月份的平均增长率为50%．（2）根据题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，解得：a≥53．∵a为整数，∴a≥54．∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．。

北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.1.1 一元二次方程同步练习题1．(3分)下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2－1＝yB ．6x 2＝5C ．x 2＝1xD ．3x 3－4x 2－1＝0 2．若关于x 的方程(k ＋1)x 2＋2kx －3＝0是一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．任意实数B ．k ≠－1C ．k ＞－1D ．k ＞03. 将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化为一元二次方程的一般形式，正确的是( )A ．4x 2－4x ＋5＝0B ．3x 2－8x －10＝0C ．4x 2＋4x －5＝0D ．3x 2＋8x ＋10＝04. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A ．x(5＋x)＝6B ．x(5－x)＝6C ．x(10－x)＝6D ．x(10－2x)＝65. 下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是( )A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．x －1x ＝0 C ．2x ＋3＝2x(x －1) D ．x 2＋2x ＝x 2－1 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是( )A ．100(1＋x)2＝81B ．100(1－x)2＝81C ．100(1－x%)2＝81D ．100x 2＝817．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为( )A ．x(x ＋1)＝253B ．x(x －1)＝253C ．2x(x －1)＝253D ．x(x －1)＝253×28. 若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．9. 若一元二次方程2x2＋mx＝3x＋2中不含x的一次项，则m＝________．10. 方程x2＋1＝－2(1－3x)化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．11. 两个连续奇数的平方和为2890.设这两个奇数中较小的一个数为x，则可列方程为．12. 若ax2－5x＋3＝0是关于x的一元二次方程，则不等式3a＋6＞0的解集是______________．13．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为零，则m的值为________．14．现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意可列出方程为．15. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)3x2＝5x－1；(2)(x＋2)(x－1)＝6；(3)4－7x2＝0.16. 关于x的方程(m2－9)x2＋(m－3)x＋2m＝0.(1)当m为何值时，它是一元一次方程？并求出一元一次方程的解；(2)当m为何值时，它是一元二次方程？17. 如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，请列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．18. 某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为加快资金周转，超市采取降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？(列方程，并化为一般形式，不解答)19. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．(1) 如果一个直角三角形的两条直角边边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长；(2) 有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数；(3) 如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽．答案：1—7 BBBBC BD8. 29. 310. 1 －6 311. x 2＋(x ＋2)2＝289012. a>－2且a≠013. －114. (80－2x)(60－2x)＝150015. (1)化成一般形式为3x 2－5x ＋1＝0，二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为1(2)化成一般形式为x 2＋x －8＝0，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为－8(3)化成一般形式为－7x 2＋4＝0，二次项系数为－7，一次项系数为0，常数项为416. (1)当m ＝－3时，原方程是一元一次方程，方程的解为x ＝－1；(2)当m≠±3时，原方程是一元二次方程．17. 解：根据题意，可以列出方程(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为： x 2－39x ＋74＝0.18. 解：设每件童装应降价x 元，则每天销售童装的件数为(30＋3x)件，每件利润为(40－x)元．则有(30＋3x)(40－x)＝1 000，化成一般形式为3x 2－90x －200＝0.19. (1)设其中一条直角边的长为x cm ，另一条直角边的长为(14－x) cm ，则12x(14－x)＝24，化成一般形式为x2－14x＋48＝0；(2)设十位数字为x，个位数字为x＋3，百位数字为x＋2，则9[x2＋(x＋3)2＋(x ＋2)2]＝100(x＋2)＋10x＋(x＋3)－20，化成一般形式为9x2－7x－22＝0；(3)设金色纸边的宽为x cm，则挂图的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，则(80＋2x)(50＋2x)＝5400，化成一般形式为x2＋65x－350＝0.。

第二章《一元二次方程》章末练习题-10一、选择题1. 已知三角形两边的长分别是 4 和 3，第三边的长是一元二次方程 x 2−8x +15=0 的一个实数根，则该三角形的面积是 ( ) A ． 6 B ． 12 C ． 6 或 2√5 D ． 12 或 2√52. 方程 x 2−4=0 的两个根是 ( )A ． x 1=2，x 2=−2B ． x =−2C ． x =2D ． x 1=2，x 2=03. 将方程 2x 2−4x −3=0 配方后所得的方程正确的是 ( ) A ． (2x −1)2=0 B ． (2x −1)2=4 C ． 2(x −1)2=1D ． 2(x −1)2=54. 下列各方程中，是一元二次方程的是 ( ) A ． 3x +2=3B ． x 3+2x +1=0C ． x 2=1D ． x 2+2y =05. 根据下面表格中的对应值：x3.24 3.25 3.26ax 2+bx +c−0.020.010.03判断关于 x 的方程 ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个解 x 的范围是 ( ) A ． x <3.24 B ． 3.24<x <3.25 C ． 3.25<x <3.26D ． x >3.266. 菱形的一条对角线长为 8，边长是方程 x 2−8x +15=0 的一个根，则该菱形的周长为 ( ) A ． 12 B ． 20 C ． 12 或 20 D ． 247. 从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 43米，竖着比城门高 23米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度．若设竹竿长 x 米，则可列方程为 ( ) A ． (x +43)2+(x +23)2=x 2B ． (x −43)2+(x −23)2=x 2C ． (x −43)2+(x +23)2=x 2D ． (x +43)2+(x −23)2=x 28. 如图，把一块长为 40 cm ，宽为 30 cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 600 cm 2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( )A．(30−2x)(40−x)=600B．(30−x)(40−x)=600C．(30−x)(40−2x)=600D．(30−2x)(40−2x)=6009.在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区2月份新冠肺炎确诊病例144例，4月份新冠肺炎确诊病例36例，设这两个月确诊病例平均毎月降低的百分率是x，则下列关于x的方程正确的是( )A．144(1−x)2=36B．144(1−2x)=36C．36(1+x)2=144D．144(1−x2)=3610.方程2x2−6x+3=0较小的根为p，方程2x2−2x−1=0较大的根为q，则p+q等于( )A．3B．2C．1D．2√3二、填空题11.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下，a∗b=a(a+b)，如：3∗2=3×(3+2)=15．若x∗4=12，则x的值是．12.若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解，则实数a的取值范围是．13.已知关于x的方程ax2−bx−c=0(a≠0)的系数满足4a−2b−c=0，且c−a−b=0，则该方程的根是．14.若两个连续正奇数的积是195，则这两个正奇数分别为．15.若关于x的一元二次方程(m−1)x2+5x+m2−3m+2=0的常数项为0，则m的值等于．16.若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为．17.若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实根，则k的取值范围是．三、解答题18.解下列方程：(1) x 2−6x =0； (2) x (x −2)=2−x ．19. 解下列方程．(1) x 2+4x −5=0． (2) (x −3)2=2(3−x )．20. 计算或解方程：(1) 计算：(12)−2−4sin60∘−tan45∘；(2) 3x 2−2x −1=0； (3) x 2+3x +1=0（配方法）； (4) (x +1)2−6(x +1)+5=0．21. 将下列一元二次方程化成 (x +a )2=b 的形式．(1) x 2+3x −4=0． (2) 2x 2−4x =1．22. 法国数学家佛郎索瓦 ⋅ 韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容如下：在一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0)，它的两根 α，β 有如下关系：α+β=−ba ，αβ=ca ．韦达定理还有逆定理，它的内容如下：如果两数 α 和 β 满足如下关系：α+β=−ba ，αβ=ca ，那么这两个数 α 和 β 是方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根，通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和积的关系构造一元二次方程，例如：m +n =−3，mn =2，那么 m 和 n 是方程 x 2+3x +2=0 的两根．请应用上述材料解决以下问题：(1) 已知 m ，n 是两个不相等的实数，且满足 m 2−2m =4，n 2−2n =4，求 1m +1n 的值． (2) 已知实数 x ，y 满足 xy +(x +y )=13，x 2y +xy 2=42，求 x 2+y 2 的值．23. 关于 x 的一元二次方程 x 2−4x +k =0 有实根．(1) 求 k 的最大整数值；(2) 当 k 取最大整数值时，方程的根满足 x 2+mx −1=0，求 m 的值．24. 解方程．(1) x2−6x−3=0；(2) x(x+2)=5x+10．25.已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2−1=0, ⋯⋯①x2+x−2=0, ⋯⋯②x2+2x−3=0, ⋯⋯③ ⋮ ⋮x2+(n−1)x−n=0. ⋯⋯ⓝ(1) 请解上述一元二次方程①，②，③，⋯，ⓝ；(2) 请你指出这n个方程的根具有什么共同点，写出一条即可．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】∵x2−8x+15=0，∴(x−5)(x−3)=0，∴x1=3，x2=5．当x1=3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高AD=√5，所以该三角形的面积是4×√5÷2=2√5；当x2=5时，与另两边组成直角三角形，即3，4，5符合直角三角形，∴该三角形的面积=3×4÷2=6．综上所述，该三角形的面积是2√5或6．【知识点】因式分解法2. 【答案】A【解析】移项得：x2=4，两边直接开方得：x=±2，则x1=2，x2=−2．【知识点】直接开平方法3. 【答案】D【解析】移项得，2x2−4x=3,二次项系数化为1，得x2−2x=32,配方得，x2−2x+1=32+1,得(x−1)2=52,即2(x−1)2=5.【知识点】配方法4. 【答案】C【解析】A、方程3x+2=3化简为3x−1=0，该方程为一元一次方程，故错误；B、方程x3+2x+1=0的最高次数是3，故错误；C、方程x2−1=0符合一元二次方程的一般形式，正确．D、方程x2+2y=0含有两个未知数，为二元二次方程，故错误．【知识点】一元二次方程的概念5. 【答案】B【解析】∵x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，∴关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是3.24<x<3.25．故选：B．【知识点】一元二次方程的根6. 【答案】B【解析】解方程x2−8x+15=0，得x1=3，x2=5，即AB=3或5．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=DC=BC，当AD=DC=3，AC=8时，3+3<8不符合三角形三边关系定理；当AD=DC=5，AC=6时，5+5>8，符合三角形三边关系定理．∴菱形ABCD的周长是5×4=20．【知识点】菱形的性质、因式分解法7. 【答案】B【解析】用x表示出城门的边长，根据城门的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可．【知识点】几何问题8. 【答案】D【解析】设剪去小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为(40−2x)cm，宽为(30−2x)cm，根据题意得：(30−2x)(40−2x)=600．故选：D．【知识点】几何问题9. 【答案】A【解析】设这两个月确诊病例平均每月降低的百分率为x，由题意得144(1−x)2=36．【知识点】平均增长率10. 【答案】B【解析】2x2−6x+3=0，这里a=2，b=−6，c=3，∵Δ=36−24=12，∴x=6±2√34=3±√32，即p=3−√32；2x2−2x−1=0，这里a=2，b=−2，c=−1，∵Δ=4+8=12，∴x =2±2√34=1±√32， 即 q =1+√32；则 p +q =3−√32+1+√32=2．【知识点】公式法二、填空题11. 【答案】 −6 或 2【解析】根据题意，得 x (x +4)=12，即 x 2+4x −12=0， ∴(x +6)⋅(x −2)=0， ∴x +6=0 或 x −2=0， 解得 x =−6 或 x =2． 【知识点】因式分解法12. 【答案】 a ≥−1【解析】当 a =1 时，方程是一元一次方程，有实数根， 当 a ≠0 时，方程是一元二次方程，若关于 x 的方程 ax 2+2(a +2)x +a =0 有实数解，则 Δ=[2(a +2)]2−4a ⋅a ≥0， 解得：a ≥−1． 故答案为：a ≥−1．【知识点】一元二次方程根的判别式13. 【答案】 x 1=−1，x 2=2【解析】 ∵ax 2−bx −c =0(a ≠0)， 把 x =2 代入得：4a −2b −c =0， 即方程的一个解是 x =2，把 x =−1 代入得：c −a −b =0， 即方程的一个解是 x =−1． 【知识点】一元二次方程的根14. 【答案】 13 和 15【知识点】数字问题15. 【答案】 2【解析】因为方程 (m −1)x 2+5x +m 2−3m +2=0 是一元二次方程且常数项为 0， 所以 {m −1≠0,m 2−3m +2=0,解得：m =2．【知识点】一元二次方程的概念16. 【答案】2018【解析】由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1，∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018．【知识点】一元二次方程的根17. 【答案】k≤1且k≠0【解析】由题意可知一元二次方程中二次项系数k≠0，再∵一元二次方程有实根，∴Δ=(−2)2−4×k×1=4−4k≥0，∴解得k≤1．∴综上所述，k≤1且k≠0．【知识点】一元二次方程的概念、一元二次方程根的判别式三、解答题18. 【答案】(1) x2−6x=0.x(x−6)=0.∴x=0或x−6=0.∴x1=0,x2=6.(2) x(x−2)+(x−2)=0. (x+1)(x−2)=0.∴x+1=0或x−2=0.∴x1=−1,x2=2.【知识点】因式分解法19. 【答案】(1)x2+4x−5=0.(x+5)(x−1)=0.∴x+5=0或x−1=0.∴x1=−5,x2=1.(2)(x−3)2=2(3−x). (x−3)2−2(3−x)=0.(x−3)2+2(x−3)=0.(x−3)(x−3+2)=0.(x−3)(x−1)=0.∴x1=3,x2=1.【知识点】因式分解法20. 【答案】(1) 原式=4−4×√32−1=3−2√3.(2) 原方程变形为：(x −1)(3x +1)=0.解得：x 1=1,x 2=−13. (3) 原方程变形为：(x +32)2=54.解得：x 1=√5−32,x 2=−√5−32.(4) 原方程变形为：(x +1−5)(x +1−1)=0.解得：x 1=4,x 2=0.【知识点】特殊角的三角函数值、一元二次方程的解法、负指数幂运算、配方法21. 【答案】(1) (x +32)2=254．(2) (x −1)2=32． 【知识点】配方法22. 【答案】(1) ∵m 2−2m =4，n 2−2n =4，∴m ，n 可看作方程 x 2−2x −4=0 的两个不相等的实数根， 则 m +n =2，mn =−4， ∴1m+1n=m+n mn=2−4=−12．(2) ∵xy +(x +y )=13，x 2y +xy 2=xy (x +y )=42，∴xy ，x +y 看作一元二次方程 a 2−13a +42=0 的两个实数根， 解得：xy =6，x +y =7 或 xy =7，x +y =6，当 xy =6，x +y =7 时，x 2+y 2=(x +y )2−2xy =49−12=37； 当 xy =7，x +y =6 时，x 2+y 2=(x +y )2−2xy =36−14=22； 综上，x 2+y 2 的值为 22 或 37．【知识点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系23. 【答案】(1) 根据题意知 Δ=b 2−4ac =16−4k ≥0， 解得：k ≤4，∴k 的最大整数值为 4．(2) ∵k=4，∴方程为x2−4x+4=0则解得方程的根为x1=x2=2；把x=2代入方程x2+mx−1=0得4+2x−1=0，∴m=−32．【知识点】含参一元二次方程的解法、一元二次方程根的判别式24. 【答案】(1) ∵x2−6x=3,∴x2−6x+9=3+9.即(x−3)2=12.则x−3=±2√3.∴x=3±2√3.(2) ∵x(x+2)=5(x+2),∴x(x+2)−5(x+2)=0.∴(x+2)(x−5)=0.则x+2=0或x−5=0.解得：x=−2或x=5.【知识点】配方法、因式分解法、分式方程的解法25. 【答案】(1) ①原方程变形为(x+1)(x−1)=0,所以x1=−1,x2=1.②原方程变形为(x+2)(x−1)=0,所以x1=−2,x2=1.③原方程变形为(x+3)(x−1)=0,所以x1=−3,x2=1.⋯⋯ⓝ原方程变形为(x+n)(x−1)=0,所以x1=−n,x2=1.(2) 共同点：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数等．（写出一条即可）【知识点】因式分解法、一元二次方程的根。