2024年高三年级试题数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足i 13i z =−，则z =（ ）A.B.C. 5D. 10【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法化简，然后由复数模公式可得.【详解】因为i 13i z =−，所以3i z =−−，所以z =故选：B2. 已知集合{}{}22|340,|30,Z A x xx Bx xx x =+−<=+<∈，则A B = （ ）A. ()3,1−B. ()3,0−C. {}1,2−−D. {}0,1,2−−【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的解法，分别求得{|41}Ax x =−<<和{|2,1}A x =−−，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式2340x x +−<，解得41x −<<，所以{|41}Ax x =−<<， 又由不等式230,Z x x x +<∈，解得30x −<<且Z x ∈，所以{|2,1}A x =−−， 则{}1,2A B =−− .故选：C.3. 62x − 展开式中的常数项为（ ） A. 160 B. 60C. 40D. 15【答案】B 【解析】【分析】先得到二项式展开式的的通项公式，再令x 的指数为0得到r 的值，从而得到常数项大小．【详解】62x的二项展开式的通项公式为，()()66362216662C C 22C rr rrr r rr r r r T x x x x −−−−+ =−=⋅⋅−⋅=−⋅⋅， 令630r −=，解得2r =，所以62x 的二项展开式常数项为()2262C 60−⋅=. 故选：B.4. 若等差数列{}n a 满足141n n a a n ++=+，则1a =（ ）A. 3B. 32C. 1D.12【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由通项公式写出1(1)n a a n d =+−和11n a a nd +=+，都代入141n n a a n ++=+中，化简即可求出1a .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+−，11n a a nd +=+， 因为141nn a a n ++=+，可得()11122122n n a a a n d a d nd ++=+−=−+，所以有12124a d d −= = ，解得1322a d= = ，故选：B.5. 已知2πsin2,0,34αα=∈，则πsin 4α += （ ）A.B.56C.D.【答案】C 【解析】【分析】由余弦的二倍角公式求解． 【详解】∵π0,4α ∈，∴πππ(,)442α+∈，πsin 04α+>， 又2sin 23α=，则2π2πcos(2)sin 212sin ()234ααα+=−=−=−+，所以πsin()4α+， 故选：C ．6. 若正六边形123456PP P P P P 的边长为1，则)1232,3,4,5,6i PP P P i ⋅<= 的概率为（ ） A.15B.14C.13D.25【答案】D 【解析】.【详解】因为122312231cos 602PP P P PP P P ⋅=⋅=<，132313233cos302PP P P PP P P ⋅=⋅=>，14231423cos 02PP P P PP P P ⋅=⋅=>152315233cos302PP P P PP P P ⋅=⋅=>162316231cos 602PP P P PP P P ⋅=⋅=<， 所以23456P P P P P ，，，，五个点中有两个点满足题意，所以概率25. 故选：D.7. 已知拋物线2:4C y x =，过点()2,0E 的直线与直线4y x =+交于点P ，与C 交于,A B 两点（点A 在第一象限）.若线段PB 恰被点E 平分，则PB =（ ）A.B.C.D.为【答案】B 【解析】【分析】设出P 点坐标，由中点得出B 点坐标，代入抛物线方程后求得参数值，然后由两点间距离公式计算． 【详解】由题意设(,4)P a a +，由于(2,0)E 是PB 中点，则(4,4)B a a −−−，B 在第四象限，则4040a a −−<−> ，解得44a −<<，又B 在抛物线24y x =上，∴2(4)4(4)a a −−=−，解得0a =（12a =−舍去）， 因此有(0,4),(4,4)P B −，∴PB ==， 故选：B ．8. 对球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，所得三弧围成的球面部分称为“球面三角形”，这三个弧叫做球面三角形的边.若半径为2的球的球面上有一个各边长均为π的球面三角形，则该球面三角形的面积为（ ） A. 2π B. 4πC.D.【答案】A 【解析】【分析】确定球面三角形与球表面积的关系，可求球面三角形的面积. 【详解】设球面三角形ABC .因为球的半径为2，所以大圆周长为4π，求的表面积为24π216π×=. 因为球面三角形各边长均为π，所以90AOB AOC BOC ∠=∠=∠=°. 以O 为球心，建立如图空间直角坐标系：的则球面三角形ABC 的面积就是球面在第一卦限内的部分，根据对称性，球面三角形ABC 的面积为球面面积的18，为214π22π8××=. 故选：A【点睛】关键点点睛：确定90AOB AOC BOC ∠=∠=∠=°后，关键是弄清楚球面三角形的面积和整个球的表面积之间的数量关系.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数()πtan 4f x x=+，则（ ） A. ()f x 的最小正周期为πB. 7π12f=C. ()f x 的图象关于点π,04对称 D. 直线4πy x =−是曲线()y f x =的一条切线 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数tan y x =的性质即可判断AC ，代入计算即可判断B ，根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】因为函数tan y x =的周期为π，所以()f x 的最小正周期为π，故A 正确；7π5(π)126f f==，故B 正确； 令πππ42x k +=+，则π4x k π=+，所以()f x 的图象关于点π,04对称，故C 正确；因为()πtan 4f x x=+，所以21()cos ()4πf x x ′=+， 令()1f x ′=，所以ππ()4x k k =−+∈Z ， 则tan()tan 4ππππ04y k k =−+=+=，所以切点坐标为)ππ,0()(4k k −∈Z ， 因为直线4πy x =−为切线，所以切点必在直线上，因为)0πππ(44k k =−−∈Z 不存在整数解，所以直线4πy x =−不是曲线()y f x =的一条切线，故D 错误. 故选：ABC.10. 已知随机事件,,A B C 两两独立，且()()()111,,234P A P B P C ===，则下列说法正确的是（ ） A. ()16P AB =B. ()12P B C ∪=C. 若()12P C AB =，则()124P ABC =D. 若()16P AB C =，则A 与BC 相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】利用条件概率公式及独立事件的定义逐项分析即可. 【详解】对于A ，因为,A B 相互独立，所以()()()111236P AB P A P B ==×=，故A 正确； 对于B ，因为,B C 相互独立，所以()()()2131141P BC P B P C ==×=，()()()()111134122P B C P B P C P BC =+−=+−= ，故B 正确；对于C ，()()()12P ABC P C AB P AB ==， 所以()()111122126P ABC P AB =×=×=，故C 错误；对于D ，()()()16P ABC PAB C P C ==，所以()()111164624P ABC P C =×=×=， 又因为()12P A =，()112P BC =，所以()()()P ABC P A P BC =，所以A 与BC 相互独立，故D 正确. 故选：ABD.11. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 在线段1BD 上，过P 作垂直于1BD 的平面α，记平面α与正方体1111ABCD A B C D −的截面多边形的周长为L ，面积为S ，设(,BP x x =∈，则（ ）A. 截面可能为四边形B. ()L x 和()S x 的图象有相同的对称轴C. ()L x 在 上单调递增，在上单调递减D. ()S x 在 上单调递增，在上单调递减 【答案】BD 【解析】【分析】运用正方体的对角线的性质和对称性，得到截面为正三角性或正六边形，再计算得到周长和面积关于x .【详解】如图示，111,A C D AB C 的等边三角形，由正方体的结构知：BD AC ⊥，且1DD ⊥面ABCD ，又AC ⊂面ABCD ，则1DD AC ⊥， 又1BD DD D = 且都在面1BDD 上，则AC ⊥面1BDD ，1BD ⊂面1BDD ，所以1AC BD ⊥，同理有11⊥AB BD ，而1AC AB A ∩=且都在面1AB C 上， 所以1BD ⊥面1AB C ，同理可证1BD ⊥面11A C D ，又11//AC AC ，AC ⊂面1AB C ，11AC ⊄面1AB C ，故11//A C 面1AB C ，同理得1//AD 面1AB C ， 由1111AC A D A ∩=且都在面11A C D 上，所以面11//A C D 面1AB C ， 结合示意图知：当P 在面11A C D 与1BD 交点与1D 之间（含端点），或面1AB C 与1BD 交点与B 之间（含端点）时，截面为等边三角形；当P 在面11A C D 与面1AB C 与1BD 的两个交点之间时，截面为六边形， 所以不可能出现四边形截面，A 错；若P 在面1AB C 与1BD 交点与B 之间（含端点），截面等边三角形， 令其边长为m，且01<≤，即0m <≤，所以22111332x =×，则m =，且0x <≤， 此时，()3L x m ==，()22S x x =，0x <≤； 根据对称性，P 在面11A C D 与1BD 交点与1D 之间（含端点）x ≤< 此时，()3)L x m x ==−，()22)S x m x =−x ≤<； 当P 在面11A C D 与面1AB C 与1BD 的两个交点之间，而截面过相关棱中点所得正六边形为界，其两侧所截得六边形对称，讨论所截六边形为靠顶点Bx <≤，且两组三条不相邻的边长相等， 如下图，截面补全为一个正三角形，作为以顶点B 的正三棱锥的底面，，1−，−=−， 此时()L x =())222163214S x x x−−=−−， 为x<≤，根据对称性，所截六边形为靠顶点1D一侧，此时()L x=())()222163224S x x x−−=−−−，2x<≤，综上，,0()xL x xx x<≤=<≤<≤，())222,014x xS x x xx x<≤=−−−<≤<≤，由上所得解析式知：C错，D对.故选：BD.【点睛】关键点点睛：利用线面垂直的判定以及平面基本性质确定截面的形状，讨论x范围求出()L x、()S x解析式为关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某产品的广告费支出x与销售量y之间有如下对应数据：x/元 2 4 5 68y/元30 40 60 50 70x与y具有线性相关关系，线性回归方程为 6.5ˆˆy x a=+，则ˆa的值________．【答案】17.5【解析】【分析】计算数据中心点，代入线性回归方程得到答案. 【详解】2456855x++++=，3040605070505y++++=，将中心点()5,50代入回归方程得到： 50 6.55a=×+，解得 17.5a =. 故答案为：175..【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力，计算中心点是解题的关键.13. 若函数()1,0e ,0x a x x f x xa x−−> = − 有两个零点，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】(]1,00,14−∪【解析】【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a 分类讨论并结合函数图象即可求解.【详解】①当0a =时，1,0()e ,0xx x f x x − = ≤ ＞，由于0x ≤时0e 1x <≤，0x >时11x −>−，此时()f x 只有一个零点，所以0a =不符合题意；②当0a ＜时，1,0()e (),0x a x x f x xa x −+− = +−≤ ＞，函数()f x 的大概图象如图所示， ，由于0x ≤时，e ()0x a +−＞，x ＞0时，111a x x −+−≥−=−，当且仅当a x x −=，即x =此时在()0,∞+上有()min 1f x =，要使()f x 有两个零点，只需()min 10f x =−＜，即104a −＜＜； ③当0a ＞时，1,0()e ,0x a x x f x x a x −− =−≤ ＞，函数()f x 的大概图象如图所示， ，由于函数1ay x x=−−在()0,∞+上是增函数，0,(),,()x f x x f x →→−∞→+∞→+∞故与x 轴有且只有一个交点，要使()f x 有两个零点，只需函数e (0)x y a x =−≤有一个零点即可， 当01a ≤＜时，e (0)x y a x =−≤恰好只有一个零点. 综上所述，实数a的取值范围是](0,1∪. 故答案为：](1,00,14−∪. 14. 设()22,F x y Ax By Cxy Dx Ey F +++++.若曲线(),0F x y =上一点()00,x y 不满足000002222C D C E Ax y x By ++=++=，则曲线(),0F x y =在点()00,x y 处的切线方程为()()00000002222C D CE x x Ax y y y x By −+++−++=.则曲线2210x y xy +−−=过点()0,2的切线方程为__________.【答案】220x y −+=和20x y +−= 【解析】【分析】由已知条件表示出曲线(),0F x y =在点()00,x y 处切线方程，代入()0,2结合曲线方程求出00,x y ，得切线方程.【详解】()22,F x y Ax By Cxy Dx Ey F +++++，若()22,1F x y x y xy =+−−，则1A B ==，1C =−，0DE ==，1F =−， 点()00,x y 在曲线2210x y xy +−−=上，有22000010x y x y +−−=， 由题意可知，若()00,x y 满足000001122x y x y −=−+=时，则000,0x y ==，则220000110x y x y +−−=−≠， 若()00,x y 不满足000011022x y x y −=−+=，则曲线2210x y xy +−−=在点()00,x y 处的切线方程为()()00000011022x x x y y y x y−−+−−+=， 切线过点()0,2，则有()000000112022x x y y x y−−+−−+=， 即()2200000020x y x y x y −+−−+=，得00120x y −−+=， 由2200000010120x y x y x y +−−= −−+=，解得0010x y =− = 或0011x y = = ，两组解都不满足000001122x y x y −=−+=，符合题意， 把两组解代入()()00000011022x x x y y y x y−−+−−+= ， 得切线方程为220x y −+=和20x y +−=. 故答案为：220x y −+=和20x y +−=. 【点睛】方法点睛：“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，需要读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移.在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()22ln f x x x x m =+−+，m ∈R .（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当1m ≤时，证明：()0f x ≥.【答案】（1）410x y −−=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数的公式及运算法则求出在1x =时的导数，即得切线斜率，点斜式写出切线方程即可. （2）要证明的不等式含参时，且规定了参数的范围时，可以考虑先使用满参放缩，将含参的不等式转化为不含参的不等式来证明. 【小问1详解】当0m =时，()22ln f x x x x =+−，()141f x x x=+−′， 则()14f ′=，又因为()13f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()341y x −=−，即410x y −−=. 【小问2详解】当1m ≤时，有()()ln ln 1x m x +≤+，所以()()ln ln 1x m x −+≥−+，因为()()22ln f x x x x m =+−+， 所以()()22ln 1f x x x x ≥+−+.令()()22ln 1g x x x x =+−+()1x >−， 则()()24514541111x x x x g x x x x x ′++=+−==+++， 当10x −<<时，()0g x ′<，()g x 在()1,0−上单调递减；当0x >时，()0g x ′>，()g x 在()0,∞+上单调递增.所以()()00g x g ≥=. 故()()0f x g x ≥≥.16. 甲､乙两人进行某项比赛，采取5局3胜制，积分规则如下：比分为3:0或3:1时，胜者积3分，败者积0分；比分为3:2时，胜者积2分，败者积1分.设每局比赛甲取胜的概率均为(01)p p <<. （1）若甲以3:1取胜的概率大于以3:0取胜的概率，求p 的范围；（2）若23p =，求甲所得积分X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）20,3（2）分布列见解析，18481【解析】【分析】（1）根据题意结合独立重复性事件概率公式列式求解即可；（2）分析可知：X 的所有可能取值为0,1,2,3，求相应的概率，进而可得分布列和期望. 【小问1详解】甲以3:1取胜的概率为()22343C 133p p p p p −=−，甲以3:0取胜的概率为3p ，由题意可知：34333p p p −>，且01p <<， 可得230p −>，解得203p <<， 所以p 的取值范围为20,3. 【小问2详解】X 的所有可能取值为0,1,2,3，则有：()3313222101C 13339P X==−+××−= ， ()23242281C 13381P X==×−=， ()2224222162C 133381P X ==×−×=，()32232222163C 1333327P X ==+×−×= ， 所以X 的分布列为X 0 1 2 3数学期望()1816161840123981812781E X =×+×+×+×=. 17. 如图，在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()()3,sin sin sin a a b A B c b C =−+=−.连接ABC 的各边中点得111A B C △，再连接111A B C △的各边中点得222A B C 如此继续下去，记111222,,ABC A B C A B C 的面积分别为012,,S S S .（1）求0S 的最大值；（2）若012n S S S S ++++> n 的最小值.【答案】（1（2）5 【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得A 角，再结合基本不等式得0S 的最大值； （2）根据中位线性质得012,,S S S 是以0S 为首项，14为公比的等比数列，由等比数列前n 项和公式求和后，解不等式可得． 【小问1详解】由()()()sin sin sin a b A B c b C −+=−及正弦定理可得，()()()a b a b c b c −+=−，即222a b c bc −=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==，又()0,πA ∈，所以π3A =. 由222a b c bc −=−可知，2222a b c bc bc bc bc =+−≥−=，当且仅当b c =时，取等号.所以201sin 2S bc A =≤=故0S【小问2详解】由条件可知，012,,S S S 是以0S 为首项，14为公比的等比数列. 所以012021111444nn S S S S S ++++=++++100111414113414n n S S ++−=− − 要使n有最小值，141134n + −> 即112023142024n +−>，所以11142024n +<，即4506n >. 又454256506,41024506=<=>，故整数n 的最小值为5.18. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BADPAD ∠∠== ，2,,PA O E =分别为,AD PC 的中点.（1）证明：DE 平面POB ； （2）证明：平面ADE ⊥平面PBC ；（3）若直线OE 与平面POB，求二面角E BD C −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3【解析】【分析】（1）结合已知通过证明四边形EFOD 是平行四边形可得OF DE ，结合线面平行的判定定理即可得证；（2）通过线面垂直的判定定理证明PB ⊥平面ADE ，进一步通过面面垂直的判定定理即可得证； （3）结合已知得出OF =，120POB ∠= ，建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合向量夹角的坐标公式即可得解. 【小问1详解】取PB 中点F ，连接,EF OF .又因为E 为PC 的中点，所以EF BC ，且12EF BC =. 在菱形ABCD 中，OD BC ，且12OD BC =， 所以EF OD ，且EF OD =，所以四边形EFOD 是平行四边形. 所以OF DE ，又OF ⊂平面,POB DE ⊄平面POB ，所以DE 平面POB .小问2详解】连接AF ，由（1）知，,,,A D E F 四点共面.在PAB 中，,PA AB F =为PB 的中点，所以⊥AF PB ， 因为60,BAD PAD PA AB AD ∠∠==== ，所以,PAD ABD 都是正三角形，在POB 中，PO OB =，所以OF PB ⊥，【又因为,,AF OF F AF OF ∩=⊂平面ADE ，所以PB ⊥平面ADE . 又因为PB ⊂平面PBC ，所以平面ADE ⊥平面PBC . 【小问3详解】由（2）知，,PAD ABD 都是正三角形，且O 为AD 的中点， 所以,AD OB AD OP ⊥⊥.由（1）知，EF AD ，所以,EF OB EF OP ⊥⊥，又,,OB OP O OB OP ∩=⊂平面POB ，所以EF ⊥平面POB . 所以EOF ∠即为直线OE 与平面POB 所成的角.因此EF OF =，得OF =. 在POB中，PO OB ==，可得120POB ∠= .以O 为原点，,OA OB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系O xyz −，则()()()3,1,0,0,0,,2B D P C−−.所以()33,,44E DE DB −==.设平面BDE 的一个法向量为(),,m x y z =则30,40,DE my z DB m x ⋅=+= ⋅=+=取x =m =− 是平面BDE 的一个法向量. 又()0,0,1n =是平面BDC 的一个法向量.所以cos ,m n m n m n⋅==⋅. 由图形可知，二面角E BD C −−. 19.已知椭圆222:1(08x y E b b+=<<的左､右焦点分别为12,F F .等轴双曲线W 的顶点是E 的焦点，焦点是E 的顶点.点P 在W 上，且位于第一象限，直线12,PF PF 与E 的交点分别为,A B 和,C D ，其中,A C 在x 轴上方.（1）求E 和W 的方程；（2）求证：11AB CD+为定值； （3）设点(),Q s t 满足直线PQ 的斜率为1，记,QAB QCD 的面积分别为12,S S .从下面两个条件中选一个，求12S S 的取值范围. ①2s t =；②2s t =−. 【答案】（1）22184x y +=，224x y −=（2）证明见解析 （3）选择条件①或②均为2∪【解析】【分析】（1）通过待定系数法可求出W 的方程，结合已知列出关于b 的方程，求出b 即可得E 的方程； （2）首先说明12,PF PF 的斜率互为倒数（显然1,P F 不重合，2,P F 不重合），设直线1PF 的方程为()2y k x =+，则直线2PF 的方程为()12y x k=−，分别将它们联立椭圆方程，结合弦长公式、同理表示出,AB CD 即可；（3）画出图形，分析得到12AB S S CD=，结合（2）中结论将所求转换为关于k 的式子的取值范围即可. 【小问1详解】的设W 的方程为222x y λ−=，则228λ=，所以24λ=，所以W 的方程为224x y −=. 所以W 的顶点为()()122,0,2,0F F −，则284b −=，所以24b =. 所以E 的方程为22184x y +=. 【小问2详解】设()00,P x y ，则22004x y −=，直线1PF 的斜率为002y x +，直线2PF 的斜率为002y x −，所以200020001224y y y x x x ⋅==+−−. 设直线1PF 的方程为()2y k x =+，则直线2PF 的方程为()12y x k=−， 联立()221,842,x y y k x += =+ 消去y 并整理得，()2222218880k x k x k +++−=， 设()()1122,,,A x y B x y ，0∆>，则22121222888,2121k k x x x x k k −+=−=++. 所以AB ===.同理可求得，CD =所以11AB CD += 故11AB CD +为定值第21页/共21页 【小问3详解】因为12111tan tan 0111k k QPF QPF k k∠∠−−−=−=++，所以12QPF QPF ∠=∠. 因此直线PQ 平分12F PF ∠.所以点Q 到直线AB 与CD 的距离相等. 所以12AB S S CD=.（注：选择条件①或②均可得此结果） 由（2）知，22221321242AB k CD k k +==+++.因为02x >且0x ≠， 所以(()000,222y k x ===∪+.所以122132242S S k =+∈∪ +.故12S S的取值范围为2 ∪. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是利用弦长公式、同理表示出,AB CD ，由此即可顺利得解.。
