高考数学分类汇编 推理与证明创新题

专题10 推理与证明、算法、复数一、选择题1. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知,为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（ ）A ．B ．2C ．-2D ．0 【答案】B【解析】复数为纯虚数，则,解得x=2,故选B.4. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】在复平面内，复数2332i z i-++对应的点的坐标为()2,2-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D5. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A ．20200B ．5268.5-C ．5050D ．5151-【答案】C【解析】由题意得：，则输出的S=5050.故选：C6. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】因为复数，所以，复数的实部是，虚部是，故选A.7.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样。

如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的a （）A．66 B．12 C．36 D．198【答案】A8.【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知复数 (为虚数单位),若复数的共轭复数的虚部为, 则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A。

2023届高考复习数学专项（复数及推理与证明）好题练习1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()A.二的实部是2B.=的虚部是2iC.乞=1-2i2.已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD.z在复平而上对应点在第四象限3.下面四个命题中的真命题为（）1A.若复数z满足-ER,则zERB.若复数z满足/ER,则zERC.若复数Z1,Z2满足z亿2ER,则z1=D.若复数zE R,则豆ER Z2D.lzl=✓S4.已知复数二满足i2k+1z=2+i,-(kE z), 则z在复平面内对应的点可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.若z2�o.则z是实数B.若z2<o,则z是虚数C.若z是虚数，则z2�oo.若z是纯虚数，则z2<o6.已知Z1与Z-2是共枙虚数，以下四个命题一定正确的是（）2 2A. Z l <i z2B. zi z2=z Z2C.z1+z2E Rz+l.7设复数z满足——=i,则下列说法错误的是（）A.z为纯虚数B.z的虚部为一-i2C.在复平而内，z对应的点位千第二象限D.z=-—ZtD .• —ERZ28.某大学进行自主招生测试，盂要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ） A ．22a b aba b+≥+B ．2a b +≤C ．22a b a b b a+≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快参考答案1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()D.lzl=✓S A. 二的实部是2 B.=的虚部是2i C.乞=1-2i【参考答案】CD3 +i(3 +i)(l +i) 2 + 4i—= = = 1+2i,【答宋解析】z=l—1 2 2即二的实部是1,虚部是2'故A错误，B铅误，又亏=1—2i,121 =✓1三了-= Js'故C,D均正确故选CD2. 已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD. z在复平面上对应点在第四象限【参考答案】ABD【答案解析】:;=3-4i, 则仁l=F五二正=5.故A正确；�=3+4i, 故B正确；二的虚部为4,故C铅误；二在复平面上对应点的坐标为(3,-4), 在第四象限，故D正确．:．命题中正确的个数为3.故选ABD.3.下而四个命题中的真命题为（）1A. 若复数z满足-E R,则zE RB.若复数z满足/E R,则zE RC. 若复数Z1,Z2满足z亿2R,则z=22D.若复数zE R,则�E R【参考答案】AD1【答案解析】若复数二满足-E R,则二E R,故命题A为真命题；复数z ＝i 满足z 2＝﹣1∈R ，则z ∉R ，故命题B 为假命题； 若复数z 1＝i ，z 2＝2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠，故命题C 为假命题；若复数z ∈R ，则＝z ∈R ，故命题D 为真命题． 故选：AD ．4.已知复数z 满足212k i z i +=+，()k z ∈，则z 在复平面内对应的点可能位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【参考答案】BD【答案解析】212k i z i +=+ ，212k iz i ++∴=15i i i === ，37i i i ===-当k 为奇数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-+--⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第二象限； 当k 为偶数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第四象限；故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限. 故选BD5．设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0 【参考答案】ABD【答案解析】设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，z 2＝a 2﹣b 2+2abi ， 对于A ，z 2≥0，则b ＝0，所以z 是实数，真命题；对于B ，z 2＜0，则a ＝0，且b ≠0，⇒z 是虚数；所以B 为真命题； 对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2≥0是假命题．对于D ，z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，所以z 2＜0是真命题；故选ABD．6．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）A．z12＜|z2|2B．z1z2＝|z1z2| C．z1+z2∈R D．∈R【参考答案】BC【答案解析】解：z1与z2是共轭虚数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R）．z12＜|z2|2；＝a2﹣b2+2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2+b2，B正确；z1+z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝+i不一定是实数，因此D不一定正确．故选：BC．7.设复数z满足，则下列说法错误的是（ ）A．z为纯虚数B．z的虚部为C．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【参考答案】ABC【答案解析】∵z+1＝zi，设z＝a+bi，则（a+1）+bi＝﹣b+ai，∴，解得．∴z＝．∴|z|＝，复数z的虚部为，8．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【参考答案】AC【答案解析】根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前, 他的阅读表达成绩排名靠后.故选AC.9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ）A ．22a b aba b+≥+ B ．2a b +≤C ．22a b a b b a +≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 【参考答案】ABD 【答案解析】选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+ ,故本选项是正确的；选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤,因此本选项是正确的； 选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab +---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()(()6a b c a b cb c a a b c+++++=+++++≥++=（当且仅当1a b c===时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b cb c a+++至少有一个不小于2,故本选项是正确的.故选：ABD10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【参考答案】ABD【答案解析】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.故选ABD.。

第二十一单元推理证明、算法初步、复数考点一算法初步1.(2017年全国Ⅰ卷)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入().A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2【解析】因为题目要求的是“满足3n-2n>1000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A≤1000”.故选D.【答案】D2.(2017年全国Ⅱ卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,那么输出的S=().A.2B.3C.4D.5【解析】当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6,输出S=3.结束循环.故选B.【答案】B3.(2017年全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为().A.5B.4C.3D.2【解析】假设N=2,程序执行过程如下:t=1,M=100,S=0,=-10,t=2;1≤2,S=0+100=100,M=-10010=1,t=3;2≤2,S=100-10=90,M=--10103>2,输出S=90<91,符合题意.∴N=2成立,显然2是最小值.故选D.【答案】D4.(2016年全国Ⅰ卷)执行如图所示的程序框图,若输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足().A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x【解析】输入x=0,y=1,n=1,运行第一次,x=0,y=1,不满足x2+y2≥36;,y=2,不满足x2+y2≥36;运行第二次,x=12,y=6,满足x2+y2≥36.运行第三次,x=32,y=6.输出x=32由于点(3,6)在直线y=4x上,故选C.2【答案】C5.(2016年全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图所示的是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的s=( ).A .7B .12C .17D .34【解析】因为输入的x=2,n=2,所以当k=3时循环结束,输出s.根据程序框图可得循环体中a ,s ,k 的值依次为2,2,1(第一次循环);2,6,2(第二次循环);5,17,3(第三次循环).所以输出的s=17.【答案】C考点二 复数6.(2017年全国Ⅱ卷)3+i1+i=( ).A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】3+i 1+i =(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=3−3i+i+12=2-i .故选D .【答案】D7.(2017年全国Ⅲ卷)设复数z 满足(1+i )z=2i ,则|z|=( ).A .12B .√22C .√2D .2【解析】由(1+i )z=2i ,得z=2i1+i=1+i ,∴|z|=√2.故选C .【答案】C8.(2016年全国Ⅰ卷)设(1+i )x=1+y i ,其中x ,y 是实数,则|x+y i |=( ).A.1B.√2C.√3D.2【解析】∵(1+i)x=1+y i,∴x+x i=1+y i.又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1.∴|x+y i|=|1+i|=√2.故选B.【答案】B考点三推理证明9.(2017年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则().A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【解析】由甲说:“我还是不知道我的成绩”可知甲看到乙、丙的成绩为“一个优秀、一个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,当丙为“优秀”时,乙为“良好”;当丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,当甲为“优秀”时,丁为“良好”;当甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.【答案】D10.(2016年全国Ⅱ卷)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和311.(2014年全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.乙说:我没去过C城市.丙说:我们三个去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.【解析】由丙说可知,乙至少去过A ,B ,C 三个城市中的一个.由甲说可知,甲去过A ,C 城市且比乙去过的城市多,故乙只去过一个城市.又乙没去过C 城市,故乙只去过A 城市.【答案】A12.(2017年浙江卷)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n+1+ln (1+x n+1)(n ∈N *).证明:当n ∈N *时,(1)0<x n+1<x n ; (2)2x n+1-x n ≤x n x n+12; (3)12n -1≤x n ≤12n -2.【解析】(1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n=1时,x 1=1>0. 假设n=k 时,x k >0, 那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k =x k+1+ln (1+x k+1)≤0,矛盾, 故x k+1>0. 因此x n >0(n ∈N *).所以x n =x n+1+ln (1+x n+1)>x n+1. 因此0<x n+1<x n (n ∈N *).(2)由x n =x n+1+ln (1+x n+1), 得x n x n+1-4x n+1+2x n=x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln (1+x n+1).记函数f (x )=x 2-2x+(x+2)ln (1+x )(x ≥0),令f'(x )=2x 2+xx+1+ln (1+x )>0(x>0), 则函数f (x )在[0,+∞)上单调递增, 所以f (x )≥f (0)=0,因此x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln (1+x n+1)=f (x n+1)≥0,故2x n+1-x n ≤x n x n+12(n ∈N *).(3)因为x n=x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n≥12n-1.由x n x n+12≥2x n+1-x n,得1x n+1-12≥2(1x n-12)>0,所以1x n -12≥2(1x n-1-12)≥…≥2n-1(1x1-12)=2n-2,故x n≤12n-2.综上,12n-1≤x n≤12n-2(n∈N*).高频考点:利用循环结构表示分段函数,求分段函数的值域,程序框图的完善,合情推理与演绎推理,直接证明与间接证明,数学归纳法,复数的概念,复数的几何意义,复数的四则运算,等等.命题特点:1.从近几年的高考试题看,综合法、分析法及反证法是高考常考内容,主要与数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识交汇命题,在证明过程中应注意步骤的规范化.2.由近三年的高考命题形式可以看出,算法初步主要掌握算法概念和程序框图,理解算法的基本结构、基本算法语句,理解古代算法案例,体会蕴含的算法思想,增强有条理的思考与表达能力,提高逻辑思维能力,等等.而高考命题主要集中在算法的三种基本逻辑结构的框图表示,程序框图与其他知识结合是新的热点.3.从近几年高考命题看,复数往往有一道选择题或填空题,属于容易题.主要考查的方向有两个,一是复数的概念及运算,如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算;二是复数的几何意义及其应用,如复数对应的点的位置(坐标)、复数与方程的综合问题等.§21.1合情推理与演绎推理一合情推理类型定义特点归纳推理 由某类事物的 对象具有某些特征,推出该类事物的对象都具有这些特征的推理 由部分到 、 由 到一般类比推理由两类对象具有某些和其中一类对象的某些已知 ,推出另一类对象也具有这些 的推理由特殊到合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 ,然后提出 的推理二 演绎推理1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到 的推理.2.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提——已知的 ; (2)小前提——所研究的 ;(3)结论——根据 ,对特殊情况做出的判断.☞ 左学右考已知数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,a n =a n-1+2n-1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( ).A.a n =3n-1B.a n =4n-3C.a n =n 2D.a n =3n-1根据图中的数构成的规律,得a 表示的数是( ).A.12B.48C.60D.144知识清单一、部分全部整体个别类似特征特征特征特殊类比猜想二、1.特殊2.(1)一般原理(2)特殊情况(3)一般原理基础训练1.【解析】由a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想a n=n2.【答案】C2.【解析】由图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数的乘积.所以a=12×12=144.【答案】D题型一归纳推理【例1】如图所示的是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10……依此类推,则第99个等式为().20+21=320+22=521+22=620+23=921+23=1022+23=1220+24=1721+24=1822+24=2023+24=24……A.27+213=8320B.27+214=16512C.28+214=16640D.28+213=8448【解析】依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);….又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左至右的第8个位置,即为27+214=16512,故选B.【答案】B归纳推理是依据特殊现象推出一般现象,因而在进行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数(式)的变【变式训练1】有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321…591523…111725…1927…29……则第30行从左到右第3个数是.【解析】先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每行的第1个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.【答案】1051题型二类比推理【例2】给出下列三个类比结论:①(ab)n=a n b n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n;②log a(xy)=log a x+log a y与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β;③(a+b )2=a 2+2ab+b 2与(a+b )2类比,则有(a+b )2=a 2+2a ·b+b 2.其中正确结论的个数是( ).A.0B.1C.2D.3 【解析】(a+b )n≠a n+b n(n ≠1,a ·b ≠0),故①错误.sin (α+β)=sin αsin β不恒成立,如α=30°,β=60°,sin 90°=1,sin 30°·sin 60°=√34,故②错误.由向量的运算公式知③正确. 【答案】B在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对【变式训练2】若数列{a n }是等差数列,则数列{b n }(b n =a 1+a 2+⋯+a nn)也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,则{d n }也是等比数列,且d n 的表达式应为( ).A.d n =c 1+c 2+⋯+c n n B.d n =c 1·c 2·…·cn nC.d n =√c 1n +c 2n +⋯+c nn nnD.d n =√c 1·c 2·…·c n n【解析】(法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数类比几何平均数,故d n 的表达式为d n =√c 1·c 2·…·c n n .(法二)若{a n }是等差数列,则a 1+a 2+…+a n =na 1+n(n -1)2d , ∴b n =a 1+(n -1)2d=d 2n+a 1-d2,即{b n }是等差数列. 若{c n }是等比数列,则c 1·c 2·…·c n =c 1n·q1+2+…+(n-1)=c 1n·qn(n -1)2,∴d n =√c 1·c 2·…·c n n =c 1·q n -12,即{d n }是等比数列.【答案】D题型三 演绎推理【例3】已知函数f(x)=-√aa x+√a(a>0,且a≠1).(1)证明:函数f(x)的图象关于点(12,-12)对称.(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.任取函数f(x)图象上一点(x,f(x)),它关于点(12,-12)对称的点的坐标为(1-x,-1-f(x)).由已知f(x)=-√aa x+√a ,-1-f(x)=-1+√aa x+√a=-axa x+√a.又因为f(1-x)=-√aa1−x+√a=-√a=-√a·xa+√a·a x =-xa x+√a,所以-1-f(x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于点(12,-12)对称.(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.故f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.因此f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.【变式训练3】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并把最终的推理过程用简略的形式表示出来)【解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)所以四边形AFDE是平行四边形.(结论)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的推理过程可简略地写成:⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.{∠BFD=∠A∠DF∥EA,DE∥BA方法一归纳推理的一般步骤1.观察:通过观察个别事物发现某些相同特征.2.概括、归纳:从已知的相同特征中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题.3.猜测一般性结论.【突破训练1】观察下列各等式:,sin260°+cos290°+sin 60°cos 90°=34,sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=34sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45°=34.分析上述各等式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性做出判断,并证明. 【解析】猜想:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=34.上式正确.证明:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=1−cos2α2+1+cos(2α+60°)2+sin(2α+30°)−sin30°2=1+cos(2α+60°)−cos2α2+12sin (2α+30°)-14=34-12sin (30°+2α)+12sin (2α+30°)=34.所以sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos (α+30°)=34成立.方法二 类比推理的一般步骤1.找出两类事物之间的相似性或一致性.2.用一类事物的某些已知特征、性质去推测另一类事物也具有类似的特征、性质,得出一个明确的命题(或猜想).3.检验这个猜想.一般情况下,如果类比的两类事物的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.类比得出的结论既可能为真,也可能为假.类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程,具有十分重要的实用价值.【突破训练2】已知△ABC 的边长分别为a ,b ,c ,内切圆半径为r ,用S △ABC 表示△ABC 的面积,则S △ABC =12r (a+b+c ).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD 的内切球半径为R ,则三棱锥的体积V A-BCD = .【解析】内切圆半径r 内切球半径R ;三角形的周长:a+b+c三棱锥的表面积:S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD ;三角形面积公式的系数12三棱锥体积公式的系数13.∴三棱锥的体积V A-BCD =13R (S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD ).【答案】13R (S △ABC +S △ACD +S △BCD +S △ABD )方法三 演绎推理的规律方法1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来.2.判断演绎推理是否正确的方法:(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件. (3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提的范围之内. (4)看推理过程是否正确,即看由大前提、小前提得到的结论是否正确. 【突破训练3】证明:f (x )=1x2在(0,+∞)上为减函数.【解析】∵f'(x )=(1x 2)'=-2x3,x ∈(0,+∞),∴f'(x )<0,∴f (x )在(0,+∞)上是减函数.1.(2017西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( ).A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)【解析】依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n 组共有n 个“整数对”,这样的前n 组一共有n(n+1)2个“整数对”,注意到10×(10+1)2<60<11×(11+1)2,因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7).故选B .【答案】B2.(2017新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( ).A.2011B.2012C.2013D.2014【解析】根据题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数的和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2012,得a=212是自然数.【答案】B3.(2017宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是().A.两条直线平行,同旁内角互补,若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有的班的人数均超过50C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{a n}中,a1=1,a n=12(a n-1+1a n-1)(n≥2),由此归纳出{a n}的通项公式【解析】A选项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D选项是归纳推理,C选项是类比推理.【答案】A4.(2017重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年这种树的分枝数为().A.21B.34C.52D.55【解析】因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年这种树的分枝数为21+34=55.【答案】D5.(2017河南信阳、三门峡一模)如图,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……由上述事实,请推测第n个式子为.【解析】由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……归纳可得:等式左边是一个以8为公差,4为首项的等差数列,等式右边是正偶数的平方,故第n个式子为4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).【答案】4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)6.(2017湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷,搭建如图①所示的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要根钢管.【解析】由题意可知,图①的单顶帐篷需要(17+0×11)根钢管,图②的帐篷需要(17+1×11)根钢管,图③的帐篷需要(17+2×11)根钢管,……所以串7顶这样的帐篷需要17+6×11=83根钢管.【答案】837.(2017成都模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,线段两两夹角的线段,且这两条线段为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13与原线段两两夹角为120°,……依此规律得到n级分形图.(1)n级分形图中共有条线段.(2)n 级分形图中所有线段长度之和为 .【解析】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有(3×2-3)=3条线段,二级分形图有(3×22-3)=9条线段,三级分形图中有(3×23-3)=21条线段,按此规律n 级分形图中的线段条数为3×2n-3(n ∈N *).(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,所以n 级分形图中第n 级的所有线段的长度为b n =3×(23)n -1(n ∈N *),所以n 级分形图中所有线段长度之和为S n =3×(23)0+3×(23)1+…+3×(23)n -1=3×1−(23)n1−23=9-9×(23)n.【答案】(1)3×2n-3(n ∈N *) (2)9-9×(23)n8.(2017襄阳模拟)在平行四边形ABCD 中,有AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,有A C 12+B D 12+C A 12+D B 12= .【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形, 因此,在平行四边形ABCD 中,AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2), ①在平行四边形ACC 1A 1中,C A 12+A C 12=2(AC 2+A A 12), ②在平行四边形BDD 1B 1中,D B 12+B D 12=2(BD 2+B B 12), ③由②+③,得C A 12+A C 12+D B 12+B D 12=2(AC 2+A A 12)+2(BD 2+B B 12), ④将①代入④,再结合AA 1=BB 1,得A C 12+B 1D 2+C A 12+B D 12=4(AB 2+AD 2+A A 12).【答案】4(AB 2+AD 2+A A 12)9.(2017揭阳模拟)对于正实数a ,M a 为满足下述条件的函数f (x )构成的集合:∀x 1,x 2∈R 且x 2>x 1,有-a (x 2-x 1)<f (x 2)-f (x 1)<a (x 2-x 1),下列结论中正确的是( ).A.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,则f (x )·g (x )∈M a 1·a 2B.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,且g (x )≠0,则f(x)g(x)∈M a 1a2C.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,则f (x )+g (x )∈M a 1+a 2D.若f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2,且a 1>a 2,则f (x )-g (x )∈M a 1-a 2 【解析】由-a (x 2-x 1)<f (x 2)-f (x 1)<a (x 2-x 1), 得-a<f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1<a. 令k=f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1, 则-a<k<a ,又f (x )∈M a 1,g (x )∈M a 2, 所以-a 1<k f <a 1,-a 2<k g <a 2, 所以-a 1-a 2<k f +k g <a 1+a 2, 所以f (x )+g (x )∈M a 1+a 2. 【答案】C10.(2017郑州模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.其中正确的结论是( ).A.①②B.②③C.①④D.③④【解析】对于①,垂直于同一个平面的两条直线互相平行,故①正确.对于②,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能相交或异面,故②不正确.对于③,垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能相交,如墙角,故③不正确.对于④,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故④正确.【答案】C11.(2017淄博模拟)观察下列等式:1=12+13+16;1=12+14+16+112;1=12+15+16+112+120;……依此类推,1=12+16+17+1n +120+130+142,其中n ∈N *,则n= .【解析】由题意知1=12+16+17+1n +120+130+142=12+(12-13)+(13-14)+(14-15)+(15-16)+(16-17)+17,所以n=12.【答案】1212.(2017山西质量监测)命题p:已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,命题q:已知双曲线x2 a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OM∥F1Q且|OM|=12|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.【答案】内角平分线13.(2017保定模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=n+2nS n(n∈N*),证明:(1)数列{S nn}是等比数列;(2)S n+1=4a n.【解析】(1)因为a n+1=S n+1-S n,a n+1=n+2nS n,所以(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n.所以S n+1n+1=2·S nn.又因为S11=1≠0,(小前提)所以{S nn}是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知S n+1n+1=4·S n-1n-1(n≥2),所以S n+1=4(n+1)·S n-1n-1=4·n-1+2n-1·S n-1=4a n(n≥2),(小前提)又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)所以对于任意正整数n,都有S n+1=4a n.(结论)14.(2017合肥模拟)已知P (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px (p>0)图象上一点,且在点P 处的切线方程的斜率可通过如下方式求得:y 2=2px 的两边同时对x 求导,得2yy'=2p ,则y'=p y ,所以在点P 处的切线斜率k=py 0.试用上述方法求出双曲线x 2-y 22=1在点P (√2,√2)处的切线方程.【解析】用类比的方法对y 22=x 2-1两边同时对x 求导得,yy'=2x ,所以y'=2x y,所以在点P 处的切线斜率k=2x0y 0=2×√22=2,所以切线方程为y-√2=2(x-√2),即2x-y-√2=0.15.(2017惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数组成集合M :函数y=f (x )(x ∈D ),对任意x ,y ,x+y2∈D 均满足f (x+y 2)≥12[f (x )+f (y )],当且仅当x=y 时等号成立.(1)若定义在(0,+∞)上的函数f (x )∈M ,试比较f (3)+f (5)与2f (4)的大小. (2)设函数g (x )=-x 2,求证:g (x )∈M.【解析】(1)已知f (x+y 2)≥12[f (x )+f (y )], 令x=3,y=5,得f (3)+f (5)<2f (4). (2)因为g (x 1+x 22)-12[g (x 1)+g (x 2)] =-(x 1+x 2)24+x 12+x 222=(x 1-x 2)24≥0, 所以g (x 1+x 22)≥12[g (x 1)+g (x 2)], 所以g (x )∈M.§21.2 直接证明、间接证明与数学归纳法一 直接证明内容综合法分析法定义 从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从推导到 的思维方法 从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从 出发到得出这一结果的 的思维方法特点 从“ ”看“ ”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的 条件从“ ”看“ ”,逐步靠拢“ ”,其逐步推理,实际上是要寻找它的 条件二 间接证明——反证法要证明某一结论Q 是正确的,但不能直接证明,而是先 (即Q 的反面非Q 是正确的),经过正确的推理,最后得出 ,因此说明非Q 是 的,从而断定结论Q 是 的,这种证明方法叫作反证法.三 数学归纳法一般来说,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n 取 时命题成立:(2)(归纳递推)假设n=k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n= 时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.这种证明方法叫作数学归纳法.☞ 左学右考要证:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只需证( ).A.2ab-1-a 2b 2≤0B.a 2+b 2-1-a 4+b 42≤0 C.(a+b)22-1-a 2b 2≤0 D.(a 2-1)(b 2-1)≥0①用反证法证明“已知p 3+q 3=2,求证p+q ≤2”时,可假设p+q ≥2;②用反证法证明“已知a ,b ∈R ,|a|+|b|<1,求证方程x 2+ax+b=0的两个根的绝对值都小于1”时,可假设方程有一个根x 1的绝对值大于或等于1,即假设|x 1|≥1.以下判断正确的是( ).A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确用数学归纳法证明2n>2n+1,n 的第一个取值应是( ).A.1B.2C.3D.4知识清单一、原因 结果 结果 原因 已知 可知 必要 未知 需知 已知 充分 二、假设Q 不成立 矛盾 错误 正确 三、(1)第一个值n 0(n 0∈N *) (2)k+1基础训练1.【解析】因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,所以选D.【答案】D2.【解析】反证法的实质是否定结论,对于①,其假设应是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.【答案】D3.【解析】当n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;当n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;当n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值应是3.【答案】C题型一直接证明【例1】已知实数a1,a2,…,a2017满足a1+a2+a3+…+a2017=0,且|a1-2a2|=|a2-2a3|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|,证明:a1=a2=a3=…=a2017=0.【解析】由条件知(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=-(a1+a2+a3+…+a2017)=0.①令|a1-2a2|=|a2-2a3|=|a3-2a4|=…=|a2016-2a2017|=|a2017-2a1|=m,则a1-2a2,a2-2a3,a3-2a4,…,a2016-2a2017,a2017-2a1中每个数或为m或为-m.设其中有k个m,(2017-k)个-m,则(a1-2a2)+(a2-2a3)+(a3-2a4)+…+(a2016-2a2017)+(a2017-2a1)=k×m+(2017-k)×(-m)=(2k-2017)m.②由①②知(2k-2017)m=0.③而2k-2017为奇数,不可能为0,所以m=0.于是知a1=2a2,a2=2a3,a3=2a4,…,a2016=2a2017,a2017=2a1.所以a1=22017·a1,即得a1=0.从而a1=a2=a3=…=a2017=0,命题得证.【变式训练1】设a,b,c为任意三角形的三边边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证:3S≤I2<4S.【解析】I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S.欲证3S≤I2<4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S<4S,只需证S≤a2+b2+c2<2S,即ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,只需证a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca 且a 2+b 2+c 2<2ab+2bc+2ca.先看a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ,只需证2a 2+2b 2+2c 2≥2ab+2bc+2ca ,即(a-b )2+(b-c )2+(c-a )2≥0,显然此式成立.再看a 2+b 2+c 2<2ab+2bc+2ca ,只需证a 2-ab-ac+b 2-ab-bc+c 2-bc-ca<0,只需证a (a-b-c )+b (b-a-c )+c (c-b-a )<0,只需证a<b+c 且b<c+a 且c<a+b ,由于a ,b ,c 为三角形的三边边长,显然结论成立. 故3S ≤I 2<4S.题型二 间接证明【例2】用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ).A.方程x 3+ax+b=0没有实根 B.方程 x 3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x 3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程x 3+ax+b=0 恰好有两个实根【解析】用反证法证明命题时,应先假设结论的否定成立,而“至少有一个实根”的否定是“没有实根”,故要做的假设是“方程x 3+ax+b=0没有实根”.【答案】A【变式训练2】已知x ∈R ,a=x 2+12,b=2-x ,c=x 2-x+1,试证明:a ,b ,c 至少有一个不小于1.【解析】假设a ,b ,c 均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=x 2+12+2-x+x 2-x+1=2x 2-2x+12+3=2(x -12)2+3≥3,两者矛盾,所以假设不成立.故a ,b ,c 至少有一个不小于1.题型三 数学归纳法【例3】已知f (n )=1+123+133+143+…+1n 3,g (n )=32-12n 2,n ∈N *.(1)当n=1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小关系; (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明. 【解析】(1)当n=1时,f (1)=1,g (1)=32-12×12=1,所以f (1)=g (1);当n=2时,f (2)=1+123=98,g (2)=32-12×22=118,所以f (2)<g (2);当n=3时,f (3)=1+123+133=251216,g (3)=32-12×32=139,所以f (3)<g (3).(2)由(1)猜想f (n )≤g (n ),下面用数学归纳法给出证明.①当n=1时,不等式显然成立. ②假设当n=k (k ∈N *)时不等式成立,即1+123+133+143+…+1k 3<32-12k 2,则当n=k+1时,f (k+1)=f (k )+1(k+1)3<32-12k2+1(k+1)3,因为12(k+1)2-[12k2-1(k+1)3]=k+32(k+1)3-12k2=-3k -12(k+1)3k 2<0,所以f (k+1)<32-12(k+1)2=g (k+1).由①②可知,对一切n ∈N *,都有f (n )≤g (n )成立.【变式训练3】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n ,不等式(1+13)(1+15) (1)12n -1)>√2n+12均成立. 【解析】①当n=2时,左边=1+13=43;右边=√52.∵左边>右边,∴不等式成立.②假设当n=k (k ≥2,且k ∈N *)时不等式成立,即(1+13)(1+15) (1)12k -1)>√2k+12. 则当n=k+1时,(1+13)(1+15) (1)12k -1)·[1+12(k+1)−1]>√2k+12·2k+22k+1=2k+222k+1=√4k 2+8k+42√2k+1>√4k 2+8k+32√2k+1=√2k+3√2k+12√2k+1=√2(k+1)+12.∴当n=k+1时,不等式也成立.由①②知,对于一切大于1的自然数n ,不等式均成立.方法一 利用综合法进行证明综合法是从已知条件出发,逐步推导出结论.综合法的适用范围是:(1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式; (2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.【突破训练1】已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1=a n -a n2(n ∈N *). (1)证明:1<a n a n+1≤2(n ∈N *). (2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ,证明:12(n+2)<S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).【解析】(1)由题意得a n+1-a n =-a n 2<0,即a n+1<a n, 故a n ≤12. 由a n =(1-a n-1)a n-1,得a n =(1-a n-1)(1-a n-2)·…·(1-a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12,得a na n+1=a n a n -a n 2=11−a n ∈(1,2], 即1<a n a n+1≤2(n ∈N *). (2)由题意得a n 2=a n -a n+1,所以S n =a 1-a n+1. ① 由1a n+1-1a n=a nan+1和1<a na n+1≤2,得1<1a n+1-1a n≤2,所以n<1a n+1-1a 1≤2n ,因此12(n+1)≤a n+1<1n+2(n ∈N *). ②由①②,得12(n+2)<S n n ≤12(n+1)(n ∈N *).方法二 利用分析法进行证明分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法.特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.【突破训练2】已知m>0,a ,b ∈R ,求证:(a+mb 1+m )2≤a 2+mb 21+m .【解析】因为m>0,所以1+m>0, 所以要证(a+mb 1+m )2≤a 2+mb 21+m, 即证(a+mb )2≤(1+m )(a 2+mb 2),即证m (a 2-2ab+b 2)≥0,即证(a-b )2≥0,又(a-b )2≥0显然成立,所以(a+mb 1+m )2≤a 2+mb21+m.方法三 利用反证法进行证明【突破训练3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +S n =2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求证:数列{a n }中任意三项不可能按原来顺序成等差数列. 【解析】(1)当n=1时,a 1+S 1=2a 1=2,则a 1=1. 又a n +S n =2,所以a n+1+S n+1=2, 两式相减得a n+1=12a n ,所以{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,所以a n =12n -1.(2)假设{a n }中存在三项按原来顺序成等差数列,记这三项为a p+1,a q+1,a r+1(p<q<r ,且p ,q ,r ∈N *),则2·12q =12p +12r ,所以2·2r-q=2r-p+1. (*)又因为p<q<r , 所以r-q ,r-p ∈N *.所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证.方法四 利用数学归纳法进行证明【突破训练4】已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =a n 2+1a n-1,且a n >0,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,a 3,并猜想{a n }的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.【解析】(1)当n=1时,由已知得a 1=a 12+1a 1-1,即a 12+2a 1-2=0.∴a 1=√3-1(a 1=-√3-1<0,舍去).当n=2时,由已知得a 1+a 2=a 22+1a 2-1,将a 1=√3-1代入上式并整理,得a 22+2√3a 2-2=0.∴a 2=√5-√3(a 2=-√5-√3<0,舍去).同理可得a 3=√7-√5.猜想a n =√2n +1-√2n -1(n ∈N *).(2)由(1)知,当n=1时,通项公式成立. 假设当n=k (k ∈N *)时,通项公式成立,即a k =√2k +1-√2k -1.∵a k+1=S k+1-S k =a k+12+1a k+1-a k 2-1a k, 将a k =√2k +1-√2k -1代入上式并整理,得a k+12+2√2k +1a k+1-2=0,∴a k+1=√2k +3-√2k +1,即当n=k+1时通项公式也成立.综上可知,对任意n ∈N *,a n =√2n +1-√2n -1都成立.1.(2017广州调研)若a ,b ,c 为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是( ).A.ac 2<bc 2B.a 2>ab>b 2C.1a <1bD.b a >a b。

新数学《推理与证明》专题解析(1)一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．4．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.5．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 1231530132 10 20所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品 B ．D 作品 C ．B 作品 D ．A 作品 【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。