第四章 光的电磁理论
4－1计算由8(2)exp 610)i y t ??=-+++?????
E i 表示的平面波电矢量的振动方
向、传播方向、相位速度、振幅、频率、波长。 解：由题意：)
81063(2t y x i e
E x ?++-= )
81063(32t y x i e E y ?++=
∴
3-=x
y E E ∴振动方向为：j i
3+-
由平面波电矢量的表达式： 3=x k 1=y k ∴传播方向为：
j i +3
平面电磁波的相位速度为光速： 8
103?=c m/s 振幅：4)32()2(222
200=+-=+=
oy x E E E V/m
频率：8810321062?=?==π
ππωf Hz 波长：πλ==
f
c
m 4－2 一列平面光波从A 点传到B 点，今在AB 之间插入一透明薄片，薄片的厚度
mm h 2.0=，折射率n ＝1.5。假定光波的波长为5500=λnm ，试计算插入薄片前后B 点
光程和相位的变化。
解：设AB 两点间的距离为d ，未插入薄片时光束经过的光程为：d d n l ==01 插入薄片后光束经过的光程为：h n d nh h d n l )1()(02-+=+-= ∴光程差为：mm h n l l 1.02.05.0)1(12=?=-=-=? 则相位差为：ππ
λ
π
δ6.3631.010
550226
=??=
?=
-
4－3 试确定下列各组光波表示式所代表的偏振态：
（1）)sin(0kz t E E x -=ω，)cos(0kz t E E y -=ω
（2）)cos(0kz t E E x -=ω，)4/cos(0πω+-=kz t E E y （3）)sin(0kz t E E x -=ω，)sin(0kz t E E x --=ω 解：（1）∵)2
cos()sin(00π
ωω--=-=kz t E kz t E E x
∴2
π
???=
-=x y
∴ 为右旋圆偏振光。 （2）4
π
???=
-=x y
∴ 为右旋椭圆偏振光，椭圆长轴沿y ＝x （3）0=-=x y ???
∴ 为线偏振光，振动方向沿y ＝－x
4－4 光束以30°角入射到空气和火石玻璃（n 2＝1.7）界面，试求电矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系数s r 和p r 。 解：入射角?=301θ，由折射定律：294.0sin sin 2
1
2==
n θθ ∴?=1.172θ ∴305.01.47sin 9.12sin )sin()sin(2121-=?
?
-=+--
=θθθθs r
213.01.47tan 9.12tan )tan()tan(2121=?
?
=+-=
θθθθp r
4－5 一束振动方位角为45°的线偏振光入射到两种介质的界面上，第一介质和第二介质的折射率分别为n 1＝1和n 2＝1.5。当入射角为50°时，试求反射光的振动方位角。 解：?=501θ，由折射定律：51.0sin sin 2
1
2==
n θθ ∴?=7.301θ ∴335.07.80sin 3.19sin )sin()sin(2121-=?
?
-=+--
=θθθθs r
057.07.80tan 3.19tan )tan()tan(2121=?
?
=+-=
θθθθp r
∴877.545tan 057
.0335.0tan tan -=?-==
i p s r r r αα ∴反射光的振动方位角为：?-=34.80r α
4－6 光波在折射率分别为n 1和n 2的二介质界面上反射和折射，当入射角为1θ时（折射角为2θ），s 波和p 波的反射系数分别为s r 和p r ，透射系数分别为s t 和p t 。若光波反过来从n 2介质入射到n 1介质，且当入射角为2θ时（折射角为1θ），s 波和p 波的反射系数分别为'
s
r 和'p r ，透射系数分别为's t 和'p t 。试利用菲涅耳公式证明：（1）'-=s s r r ；（2）'
-=p p r r ；（3）s s s T t t ='；（4）p p p T t t ='
证明： （1）)
sin()
sin(2121θθθθ+--
=s r
s s r r -=+-=+--
='
)
sin()
sin()sin()sin(21211212θθθθθθθθ
（2）)
tan()
tan(2121θθθθ+-=
p r
p p r r -=+--=+-=
'
)
tan()
tan()tan()tan(21211212θθθθθθθθ
（3）)sin(cos sin 22112θθθθ+=
s t )
sin(cos sin 2212
1θθθθ+='s t
∴)
(sin cos sin 4cos sin cos sin )sin(cos sin 2)sin(cos sin 22121
222122*********θθθθθθθθθθθθθθθθ+?
=+?+='
s s t t s T n n =+?=)
(sin cos sin 4cos cos 212
1
2221122θθθθθθ （4）)cos()sin(cos sin 2212112θθθθθθ-+=
p t )cos()sin(cos sin 2121221θθθθθθ-+='
p t
∴)
cos()sin(cos sin 2)cos()sin(cos sin 212122
1212112θθθθθθθθθθθθ-+?-+=
'
p p t t
)(cos )(sin cos sin 4cos sin cos sin 1221221
2221221θθθθθθθθθθ-+?
= )
(cos )(sin cos sin 4cos cos 122
122
1
2221122θθθθθθθθ-+?=n n p T =
4－7 如图，M 1、M 2是两块平行放置的玻璃片（n ＝1.5），背面涂黑。一束自然光以布儒斯特角B θ入射到M 1上的A 点，反射至M 2上的B 点，再出射。试确定M 2以AB 为轴旋转一周时，出射光强的变化规律。
解：由于M 1、M 2是两块平行放置的玻璃片，因此两镜的入射角均为B θ，且有： ?===31.565.11
2
arctg n n arctg
B θ ?=-?=69.33902B θθ
由于两镜背面涂黑，所以不必考虑折射光的影响。 对于M 1：0=p R
1479.0)sin()sin(2
21212
=?????
?+-==θθθθs s r R
因为是自然光入射，p 、s 分量光强相等。设入射自然光光强为I 0，沿AB 的反射光强为I 1，则M 1的反射率为：0
1074.0)(21
I I R R R p s n ==+=
对于M 2，假设在绕AB 旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为θ，则将沿AB 的入
射光分解为p 分量和s 分量，其振幅分别为： θsin 1I E p = θcos 1I E s =
∵入射角为B θ
∴0=p r 3846.0)
sin()
sin(2121-=+--
=θθθθs r
∴出射光的振幅为：0='p E θcos 3846.01I E r E s s s -=='
∴最后的出射光强为：θ2
022cos
011.0)(I E I s ='
=
4－8 望远镜之物镜为一双胶合透镜，其单透镜的折射率分别为1.52和1.68，采用折射率为1.60的树脂胶合。问物镜胶合前后的反射光能损失分别为多少？（假设光束通过各反射面时接近正入射）
解：系统包括4个反射面，由于假设光束通过各反射面时接近正入射，则未
胶合时，各面的反射率为：
043.0152.1152.1112
2
11
1=???
??+-=???
?
??+-=n n R
1 1.68
1.60
1.52
043.0152.11152
.11112
2
222=??
???
?
??+-=?
??
?
??+-=n n R 064.0168.1168.1112
2
333=???
??+-=???? ??+-=n n R 064.0168.11168.11112
2
444=?????
?
??+-=?
??
?
??+-=n n R 设入射到系统的光能为W ，则通过该系统后的光能为：
W W W 8.0)064.01)(064.01)(043.01)(043.01(1=----= ∴光能损失为20％
同理，胶合后各面的反射率为：
043.01=R 00066.0152.16.1152
.16.1112
2
222=??
???
?
??+-=?
??
?
??+-=n n R 0006.016.168.116
.168.1112
2
333=??
???
?
??+-=?
??
?
??+-=n n R 064.04=R 通过该系统后的光能为：
W W W 895.0)064.01)(0006.01)(00066.01)(043.01(1=----= ∴光能损失为10.5％
4－9 如图，光束垂直入射到45°直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。若入射光强为I 0，问从棱镜透出的光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，
解：光束经过三个反射面，通过第一个反射面和第三个反射面时均为垂直入射，其反射率为：
043.0152.1152.1112
2
111=???
??+-=?
??
? ??+-=n n R
043.0152.11152
.11112
2
333=??
???
?
??+-=?
??
?
??+-=n n R 在第二个反射面即棱镜的斜面上，入射角为45°。全反射的临界角为：
?==14.4152
.11
arcsin
c θ ∴在棱镜斜面上发生全反射，反射光强等于入射光强。
∴从棱镜透出的光束的强度为：0210916.0)1)(1(I R R I I =--='
4－10 如图，玻璃块周围介质的折射率为1.4。若光束射向玻璃块的入射角为60°，问玻璃块的折射率至少应为多大才能使透入光束发生全发射？
解：设玻璃的折射率为n 2，则发生全发射的临界角为：2
4
.1arcsin
n c =θ ∴2
24.11cos ???
?
??-=n c θ
由图中几何关系，折射角c θθ-?=902 由折射定律：2211sin sin θθn n =
∴2
2224.11)90sin(60sin 4.1????
??-=-?=??n n n c θ
∴85.12=n
4－11 产生圆偏振光的穆尼菱体如图所示，若菱体的折射率为1.65，求顶角A 。 解：光束经过两次全反射，每次反射后s 波和p 波之间的位相差为： 1
2
2
121sin sin cos arctan
2θθθ?n -=?
其中1θ是入射角，n 为相对折射率：606.065
.11
==n 出射后产生圆偏振光，则需要：2
2π
?=
?
∴
8
tan
sin 606.0sin cos 1
2
2
121π
θθθ=-
解得：?=7.591θ 或 ?=6.401θ
1
∵要发生两次全反射，则：A ≤β 由图中几何关系可知：1θ=A 190θβ-?= ∴?≥451θ ∴?=6.401θ不合题意 ∴顶角A 为?7.59
4－12 线偏振光在玻璃－空气界面上全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成一非零或π/2的角度。设玻璃的折射率n ＝1.5，问线偏振光以多大角度入射才能使反射光s 波和p 波的位相差等于40°？ 解：∵ 1
22
121sin sin cos arctan
2θθθ?n -=?
∴
?=?
?
?
??-20tan sin 5.11sin cos 1
2
2
121
θθθ ∴05.11sin 15.11sin )20tan 1(2
12
2142=??? ??+???
?????+??? ??-?+θθ
解得：?=47.601θ 或 ?=05.461θ
4－13 如图所示是一根直圆柱形光纤，光纤芯的折射率为
n 1，光纤包层的折射率为n 2，并且n 1 >n 2。（1）证明入射光的最大孔径角u 2满足：2
2
21sin n n u -=
；（2）若62.11=n ，52.12=n ，最大孔径角为多少？
解：（1）如图，为保证光线在光纤内的入射角大于临界角，必须使入射到光纤端面的光线限制在最大孔径角u 2范围内。由折射定律： c c n n u θθcos )90sin(sin 11=-?=
∵1
2arcsin n n
c =θ ∴2
121cos ???
? ??-=n n c θ ∴2
2212
12111cos sin n n n n n n u c -=???
? ??-==θ （2）当62.11=n ，52.12=n 时： 56.052.162.1sin 2
2
=-=u
∴最大孔径角为：?=682u
4－14 如图所示是一根弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为1n 和2n （21n n >），光纤芯的直径为D ，曲率半径为R 。（1）证明入射光的最大孔径角u 2满足：
2
22
21
21sin ??
? ??+-=R D n n u ；
（2）若62.11=n ，52.12=n ，m D μ70=，mm R 12=，则最大孔径
角为多少？
解：在AOB ?中，有：
2
cos 2)90sin(sin D R u D R u R
c +
'
=+?+'=θ
∴c c
R D R D
R u θθsin 21sin 2cos ??
? ??+=+
=
' ∴c c
R D R D
R u u θθ222
sin 211sin 2cos 1sin ??
? ??+-=+
=
'-=' ∵12sin n n c =θ ∴ 2
122
211sin ???
?
???
?
? ??
+-='n n R D u ∴ 2
22212
122
1121211sin sin ??
? ??+-=???? ????? ??+-='=R D n n n n R D n u n u （2）当62.11=n ，52.12=n ，m D μ70=，mm R 12=时： 548.012
21070152.162.1sin 2
3
22=???
? ?
?
??+
-=-u ∴最大孔径角为：?=47.662u
4－15 已知冕牌玻璃对0.3988μm 波长光的折射率为n ＝1.52546，126.0/-=λd dn μm －1
，求光在该玻璃中的相速和群速。
解：相速度：88
1096662.152546
.1103?=?=
=n c v m/s 群速度：
88109018.1)126.052546
.13988
.01(1096662.1)1(?=?-??=+
=λλd dn n v v g m/s