黑龙江省哈尔滨市六中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

2015-2016学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1．（5.00分）若1∈{2+x，x2}，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．02．（5.00分）sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（）A．B．C．D．3．（5.00分）若sin x•tan x＜0，则角x的终边位于（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限4．（5.00分）化简的结果是（）A．﹣cos20°B．cos20°C．±cos20°D．±|cos20°|5．（5.00分）函数的定义域为（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x＜2或2＜x＜3}D．{x|1≤x＜2}6．（5.00分）已知，则sinαcosα=（）A．B．C．或D．7．（5.00分）已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．（5.00分）将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A．B．C．（）D．（）9．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣610．（5.00分）若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5.00分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z12．（5.00分）（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）的值是（）A．16 B．8 C．4 D．2二、填空题（每题5分）13．（5.00分）半径为2cm，圆心角为120°的扇形面积为．14．（5.00分）已知sin10°=k，则sin70°=．15．（5.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则tan（α+β）的值为．16．（5.00分）定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于．三、解答题17．（10.00分）求值sin2120°+cos180°+tan45°﹣cos2（﹣330°）+sin（﹣210°）18．（12.00分）已知函数．（1）求f（f（2））的值（2）画出此函数的图象．（3）若f（x）=2，求x的值．19．（12.00分）已知函数y=cos2x+sinxcosx+1，x∈R．（1）求它的振幅、周期和初相；（2）求函数的最大值，最小值以及取得最大最小值时的x的取值．20．（12.00分）已知tanα、tanβ是方程的两根，且，求α+β的值．21．（12.00分）已知函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=．（1）求当x＞0时f（x）的解析式；（2）设a≠0且a≠±1，证明：f（a）=﹣f（）．22．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：xy﹣1131﹣113（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．（2）根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为，当时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．2015-2016学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5.00分）若1∈{2+x，x2}，则x=（）A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0【解答】解：∵1∈{2+x，x2}，∴1=2+x，或1=x2，∴x=﹣1或x=1，若x=﹣1，则2+x=x2，与元素的互异性矛盾，若x=1，则2+x=3，x2=1，符合题意．∴x=1．故选：B．2．（5.00分）sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin60°=故选：B．3．（5.00分）若sin x•tan x＜0，则角x的终边位于（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【解答】解：∵sinx•tanx＜0，∴或，∴角x的终边位于第二、三象限，4．（5.00分）化简的结果是（）A．﹣cos20°B．cos20°C．±cos20°D．±|cos20°|【解答】解：原式===cos20°故选：B．5．（5.00分）函数的定义域为（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x＜2或2＜x＜3}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴解得1≤x＜3且x≠2，即1≤x＜2或2＜x＜3．∴函数的定义域为{x|1≤x＜2或2＜x＜3}．故选：C．6．（5.00分）已知，则sinαcosα=（）A．B．C．或D．【解答】解：∵sin（3π﹣α）=﹣2sin（+α），∴sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，∴sinαcosα====﹣，7．（5.00分）已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，故a＞c＞b，故选：B．8．（5.00分）将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A．B．C．（）D．（）【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．故选：A．9．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m 为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（）=﹣4故选：B．10．（5.00分）若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故选：C．11．（5.00分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．12．（5.00分）（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）的值是（）A．16 B．8 C．4 D．2【解答】解：根据tan45°=tan（21°+24°）==1得到tan21°+tan24°=1﹣tan21°tan24°，可得tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1同理得到tan22°+tan23°=1﹣tan22°tan23°，tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1；（1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）=[（1+tan21°）（1+tan24°）][（1+tan22°）（1+tan23°）]=（1+tan24°+tan21°+tan24°tan21°）（1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°）=（1+1﹣tan24°tan21°+tan24°tan21°）（1+1﹣tan22°tan23°+tan22°tan23°）=4故选：C．二、填空题（每题5分）13．（5.00分）半径为2cm，圆心角为120°的扇形面积为．【解答】解：根据题意，120°为，S扇形=××4=cm2．故答案为：．14．（5.00分）已知sin10°=k，则sin70°=1﹣2k2．【解答】解：sin10°=k，则sin70°=cos20°=1﹣2sin210°=1﹣2k2．故答案为：1﹣2k2．15．（5.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则tan（α+β）的值为3．【解答】解：根据题意得：A（，），B（，），∴tanα=2，tanβ=，则tan（α+β）===3．故答案为：316．（5.00分）定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于．【解答】解：作出f（x）的图象如图：设t=f（x），由图象知当t=1时，方程t=f（x）有3个根，当0＜t＜1或t＞1时，方程t=f（x）有2个根，则方程f2（x）+bf（x）+c=0等价为t2+bt+c=0，则方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则等价为方程t2+bt+c=0有两个根t1=1或0＜t2＜1或t2＞1，可得这5个根x1，x2，…，x5 也关于直线x=2对称，∴x1+x2+…+x5 =10，∴f（x1+x2+…+x5）=f（10）==，故答案为：三、解答题17．（10.00分）求值sin2120°+cos180°+tan45°﹣cos2（﹣330°）+sin（﹣210°）【解答】解：sin2120°+cos180°+tan45°﹣cos2（﹣330°）+sin（﹣210°）=（）2﹣1+1﹣cos230°﹣sin210°=﹣（）2+sin30°=sin30°=．故答案为．18．（12.00分）已知函数．（1）求f（f（2））的值（2）画出此函数的图象．（3）若f（x）=2，求x的值．【解答】解：（1）：f（2）=×2=1，f（1）=1，∴f（f（2））=1，（2）如图所示，（3）当由图象可知，x2=2，解得x=，或x=2，解得x=4．故f（x）=2事，x的值为，419．（12.00分）已知函数y=cos2x+sinxcosx+1，x∈R．（1）求它的振幅、周期和初相；（2）求函数的最大值，最小值以及取得最大最小值时的x的取值．【解答】解：y=cos2x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+…（2分）=sin（2x+）+…（4分）（1）函数的振幅为A=，周期为T==π，初相为φ=…（8分）（2）函数的最大值是+=，此时2x+=+2kπ，x=+kπ，k∈Z…（10分）函数的最小值是+=，此时2x+=+2kπ，x=+kπ，k∈Z…（12分）20．（12.00分）已知tanα、tanβ是方程的两根，且，求α+β的值．【解答】解：依题意得tanα+tanβ=﹣3 ＜0，tanα•tanβ=4＞0，∴tan（α+β）===．易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（﹣，），∴α∈（﹣，0），β∈（﹣，0），∴α+β∈（﹣π，0），∴α+β=﹣．21．（12.00分）已知函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=．（1）求当x＞0时f（x）的解析式；（2）设a≠0且a≠±1，证明：f（a）=﹣f（）．【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，x≤0时，f（x）=，∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）∴f（x）=f（﹣x）=，即当x＞0时f（x）=．（2）f（x）=，①a＞0时，f（a）=，﹣f（）=﹣==f（a），②a＜0时，f（a）=，﹣f（）=﹣=﹣=f（a），综上：a≠0且a≠±1，f（a）=﹣f（）．22．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：xy﹣1131﹣113（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．（2）根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为，当时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，得，由，得ω=1，又，解得令，即，解得，∴．（2）∵函数的周期为，又k＞0，∴k=3，令，∵，∴，如图，sint=s在上有两个不同的解，则，∴方程f（kx）=m在时恰好有两个不同的解，则，即实数m的取值范围是．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．yxo②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高一下期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：151分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：①；②；③使的最大值为12；④数列中的最大项为；⑤，其中正确命题的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．12、定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( )A ．B ．C ．D ．3、中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，,则等于（ ）A ．B ．1C ．D ．4、向量满足，，,, 则=（ ）A ．B ．C ．D ．5、某船开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ） A ．B ．C ．D ．km6、如果数列中，满足是首项为1公比为3的等比数列，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．7、中，，，，则的形状一定为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形8、在等比数列中，若，则的值为（ ）A ．B ．1C ．2D ．39、设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则=（）A． B． C． D．10、在中，角所对的边分别为，若，,,则（）A．2 B． C． D．111、在中，角所对的边分别为，，则的值为（）A． B． C． D．12、设，向量，，且，则＝（）A． B． C．2 D．10第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、给出下列命题：①;②是等比数列，则也为等比数列；③在数列中,如果前项和，则此数列是一个公差为的等差数列；④是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；则上述命题中正确的有（填上所有正确命题的序号）14、已知如图，在△中，，，，，，，则的值为_______．15、已知是等差数列的前项和，，，若，则的值为16、已知点，，，，则向量在方向上的投影为三、解答题（题型注释）17、已知各项都是正数的数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，，数列的前项和，求证：；（3） 若对任意恒成立，求的取值范围.18、在中,内角对应的边长分别为,已知,,（1）求角； （2）若,求的取值范围．19、已知函数，数列满足：，，数列满足：（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式和它的前项和.20、设向量，，函数（1）求的单调增区间，并求在区间上的最小值.（2）在中分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求边长.21、中，角、、所对应的边分别为、、，若. （1）求角；（2）设的最大值.22、已知等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式和前项和；（2）若数列满足：，求的前项和．参考答案1、B2、C3、C4、D5、A6、C7、D8、D9、D10、A11、D12、B13、①④14、15、1216、17、（1）；（2）证明见解析；（3）．18、（1）；（2）．19、（1）证明见解析，；（2）20、（1）单调增区间，；（2）．21、（1）；（2）．22、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：∵，∴，，，因此；；；，而，因此满足的最大值为12；由于，，数列中的最大项为．所以④错，①②③⑤正确，故选B．考点：等差数列的性质．【名师点睛】1．等差数列的性质（1）项的性质：在等差数列{a n}中，a m－a n＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，a n)，(m，a m)所在直线的斜率等于等差数列的公差．（2）和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；②S2n－1＝(2n－1)a n.2．求等差数列前n项和S n最值的两种方法（1）函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S n＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．（2）邻项变号法：①a1>0，d<0时，满足的项数m使得S n取得最大值为S m；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得S n取得最小值为S m.2、试题分析：由题意，所以，，当时，，也适合此式，所以，，则，．故选C．考点：新定义，已知求数列的通项公式，裂项相消法求和．【名师点睛】1．本题考查新定义问题，实质是把数列的前项和给出另一种说法，解这类问题关键是理解新定义，把新定义进行转化．2．已知数列{a n}的前n项和S n，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．3、试题分析：∵是中点，所以，又共线，所以，同理，相加可得．故选C．考点：三点共线．平面向量的基本定理．【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，解题时一般选取两个不共线向量为基底，把其他向量用基底表示，利用平面向量基本定理，若，则共线的充要条件是．由向量的线性运算本题还可这样解：是的重心，则，又，所以，则．4、试题分析：由已知，∵，∴，即，所以，又∵，所以，所以．故选D．考点：向量的垂直，向量的数量积．5、试题分析：如图，是灯塔，是正南方向，由题意，，，故选A．考点：解三角形的应用．6、试题分析：由题意，，则．故选C．考点：等比数列的通项公式，连乘法求通项．7、试题分析：由正弦定理得，∵，∴，∴，时，，是直角三角形，时，，是等腰三角形．故选D．考点：三角形形状的判断，正弦定理．8、试题分析：∵是等比数列，∴，，所以．故选D．考点：等比数列的性质．9、试题分析：由题意，所以，解得．故选D．考点：等差数列的前项和，等比数列的性质．10、试题分析：因为，,，所以，由正弦定理得，故选A.考点：1、三角形内角和定理；2、正弦定理的应用.11、试题分析：由正弦定理得，设，则．故选D．考点：正弦定理，余弦定理．12、试题分析：∵，∴，，则，同理，所以，．故选B．考点：向量的模．13、试题分析：①，正确；②是等比数列，但当时，不是等比数列，错误；③时，，当时，，，不是等差数列，错误；④由正弦定理得，故可设，由，得，显然是平分线的方向向量，因此一定过的内心．正确．故正确命题为①④．考点：命题真假的判断．正弦定理，等比数列的性质，等差数列的判断，平面向量的线性运算．【名师点睛】（1）正弦定理中与没有必然联系，即它们之间既不是充分条件也不是必要条件，但若是三角形的内角时，由正弦定理联系起来，与之间是等价的；（2）要判断一个数列是否为等比数列，首先要满足必要条件：即数列的各项均不为0，其次由定义说明为常数；（3）是数列的前项和，则数列是等差数列．（4）平面上任意一点，若，则在的平分线上．14、试题分析：如图，以为轴建立坐标系，则，由题意，，，所以，．考点：向量的数量积．【名师点睛】用定义法求向量数量积时，要求出这两个向量的模和夹角，或者把这两个向量用基底表示出来再进行运算，本题建立坐标系，把向量用坐标表示，即把形的运算化为数的运算，可使问题大大简化．15、试题分析：，，所以，即，则，．考点：等差数列的性质．16、试题分析：，，则向量在方向上的投影为．考点：向量数量积的几何意义．17、试题分析：（1）本小题是已知与的关系求通项公式的题型，方法是先由，求出，然后利用当时，得到与的关系，再求通项；（2）由已知得，已知前后项的差，因此可用累加法求得通项，即由得，从而用裂项求和法求出的前项和，并证得题设结论；（3）不等式恒成立，可变形为，为此只要求得的最大值即可，这可由基本不等式得到结论．试题解析：（1）时，是以为首项，为公差的等差数列（2），（3）由得，当且仅当时，有最大值，考点：已知与的关系求通项公式，累加法求通项，裂项相消法求和，数列与不等式的综合．18、试题分析：（1）由向量平行，可得，这个式子结合余弦定理可得，即得；（2）首先，其次可以把用角（或）表示，则可借助正弦定理得，从而，变形转化后由可得其范围．试题解析：（1）∵,由余弦定理得,∵,∴∵,∴（2）由正弦定理得,∴,∴；∵,∴,．所以考点：向量平行的坐标表示，余弦定理，正弦定理，两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质．【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，正弦函数的性质，解题时主要是应用正（余）弦定理建立边角间的关系或转化边角关系．在求的范围时，最简单的方法是应用余弦定理结合基本不等式得出结论，由得，即，解得，又由得．19、试题分析：（1）首先探求数列的递推关系，由知，即，结合要证结论，此式可变形为，计算，因此有是等比数列，由等比数列通项公式可得；（2）由（1）得，此式相当于已知数列的前项和，求通项的问题，因此只要再写出时，用代入后得，两式相减可得，由于可以看作是一个等差数列与等比数列相乘所得，因此其前项和采用错位相减法求得．试题解析：（1）是以2为首项，以2为公比的等比数列，（2），，，，符合上式，，，所以，所以考点：等比数列的判断，已知求通项，错位相减法．【名师点睛】（1）证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．20、试题分析：（1）首先由向量的数量积的定义求出的表达式，利用两角和与差的正弦公式化函数为形式，再由正弦函数的性质可得；（2）由（1）的表达式求得，从而求出，选取面积公式可求出，最后再用余弦定理可得．试题解析：（1），由得单调增区间为．当，（2），，，考点：向量的数量积，两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质，三角形面积，余弦定理．21、试题分析：（1）要求角，已知的边角关系，首先由正弦定理化正弦为边，得，而这正好与余弦定理联系可得，从而得；（2）求出，得，结合二次函数的性质可得最大值．试题解析：（1），，（2）当时，即时，考点：正弦定理，余弦定理，向量的数量积，二次函数的性质．22、试题分析：（1）本题已知是等差数列，因此可把已知条件用表示出来，解得，由公式可得通项和前项和；（2）由定义知，是一个等比数列，由等比数列前项和公式可得．试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得，解得（2）由，{b n}是首项为6，公比为2的等比数列，则考点：等差数列的通项公式，等差数列的前项和，等比数列的前项和．。

2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}，则A∩B=（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|0≤x＜3}C．{3}D．{3，4}2．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）cos（﹣）的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．3．（5分）（2016•揭阳一模）设f（x）是定义在R上的函数，则“f （x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）4．（5分）（2015•肥东县校级一模）已知sin（π+α）=，且α是第四象限的角，那么cos （α﹣2π）的值是（）A．B．﹣C．±D．5．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（23）+f（﹣14）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．（5分）（2012•东莞二模）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．（5分）（2016•宁城县模拟）已知a=log46，b=log40.2，c=log23，则三个数的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a8．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假9．（5分）（2015•广西校级一模）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣10．（5分）（2016•河南模拟）现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图，则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号正确的一组是（）A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①11．（5分）（2016•陕西校级模拟）已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A．B．（﹣3，2）C．（1，2）D．12．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（）A．（0，） B．（0，）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•石嘴山校级二模）已知函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则=．14．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为．15．（5分）（2016•河南一模）若函数为奇函数，则a=．16．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）定义在R上的偶函数f（x）满足：f（4）=f（﹣2）=0，在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，则不等式xf（x）＞0的解集为．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2015•温州二模）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．18．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．19．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x0为f（x）的一个零点（0≤x0≤），求cos2x0的值．20．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣1，x∈R．（1）求证：f（x）≥﹣x2+x；（2）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）（2012•韶关二模）已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），其中k∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值．22．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，在x=0处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）已知点A（2，m），求过点A的曲线y=f（x）的切线条数．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}，则A∩B=（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|0≤x＜3}C．{3}D．{3，4}【分析】化简集合B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}={x|x≤﹣1或x≥3，x∈N}，所以A∩B={3}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）cos（﹣）的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：cos（﹣）=﹣cos（﹣+13π）=﹣cos（﹣）=﹣cos=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．3．（5分）（2016•揭阳一模）设f（x）是定义在R上的函数，则“f （x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）【分析】根据充分条件和必要条件的定义，进行判断即可．【解答】解：f （x）不是奇函数，则等价为∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）不成立，即∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0），故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据含有量词的命题的否定进行判断是解决本题的关键．4．（5分）（2015•肥东县校级一模）已知sin（π+α）=，且α是第四象限的角，那么cos （α﹣2π）的值是（）A．B．﹣C．±D．【分析】直接利用诱导公式化简已知条件，化简所求表达式，【解答】解：sin（π+α）=，可得sinα=﹣，α是第四象限的角，cosα==．cos（α﹣2π）=cosα=．故选：A．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．5．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（23）+f（﹣14）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】根据函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，∴f（23）+f（﹣14）=f（25﹣2）+f（﹣15+1）=f（﹣2）+f（1）=﹣f（2）+f（1）=﹣2+1=﹣1，故选：A【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性之间的关系进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2012•东莞二模）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．7．（5分）（2016•宁城县模拟）已知a=log46，b=log40.2，c=log23，则三个数的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数的性质、换底公式求解．【解答】解：∵a=log46＞b=log40.2，c=log23=log49＞a=log46，∴c＞a＞b．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质、换底公式的合理运用．8．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx是真命题，故￢q是假命题，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查三角函数问题，是一道基础题．9．（5分）（2015•广西校级一模）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x ﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．【解答】解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题．10．（5分）（2016•河南模拟）现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图，则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号正确的一组是（）A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①【分析】根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断．【解答】解：①y=xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx是奇函数，其图象关于原点对称；③y=x|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x＞0时，y≥0；④y=x•2x为非奇非偶函数，且当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；故选B．【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数值特点，属于基础题11．（5分）（2016•陕西校级模拟）已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A．B．（﹣3，2）C．（1，2）D．【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0化为1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1，解不等式组可得答案．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1）∵f（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x）∴函数f（x）为奇函数又∵f′（x）=+cosx＞0，∴函数在区间（﹣1，1）上为减函数，则不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0可化为：f（a﹣2）＜﹣f（a2﹣4）即f（a﹣2）＜f（4﹣a2），即1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1解得＜a＜2故关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（，2）．故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性的性质，解不等式，是函数图象和性质与不等式的综合应用，属于中档题．12．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（）A．（0，） B．（0，）C．（，+∞）D．（，+∞）【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：y=ax2的导数y′=2ax，y=lnx的导数为y′=，设与y=ax2相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2as==，又t=as2，n=lnm，即有2as=，整理得as2﹣ln（2as）﹣1=0设f（s）=as2﹣ln（2as）﹣1，所以f'（s）=2as﹣=，因为a＞0，s＞0，所以由f'（s）＞0得到当s＞时，f′（s）＞0，f（s）单调递增，当0＜s＜时，f′（s）＜0，f（s）单调递减．即有s=处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（）=，由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞，所以只要f（）＜0可得a的范围是a＞．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•石嘴山校级二模）已知函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则=10．【分析】根据函数图象过定点，由函数解析式确定出定点P坐标，进而利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，∴P坐标为（3，4），∵角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，∴sinα==，cosα==，则原式==10，故答案为：10【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为﹣3．【分析】利用二倍角公式对已知函数化简，f（x）=cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数的最小值【解答】解：∵f（x）=cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1=﹣2+∵﹣1≤sinx≤1当sinx=﹣1时，函数有最小值﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了二倍角公式及二次函数闭区间上的最值的求解，属于基础试题15．（5分）（2016•河南一模）若函数为奇函数，则a=﹣1．【分析】根据函数奇偶性的性质得到f（﹣x）=﹣f（x），从而得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：若函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣x﹣+2a+1+1=﹣f（x）=﹣x﹣﹣（2a+1）﹣1，∴2（2a+1）+2=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题．16．（5分）（2016春•哈尔滨校级期末）定义在R上的偶函数f（x）满足：f（4）=f（﹣2）=0，在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，则不等式xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4）．【分析】由题意可得函数的图象关于y轴对称，且f（4）=f（2）=f（﹣2）=f（﹣4），画出f（x）的单调性示意图，由不等式xf（x）＞0，可得①或②．，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足：f（4）=f（﹣2）=0，可得函数的图象关于y轴对称，且f（4）=f（2）=f（﹣2）=f（﹣4），在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，画出f（x）的单调性示意图，如图：则由不等式xf（x）＞0，可得①或②．解①求得2＜x＜4，解②求得x＜﹣4 或﹣2＜x＜0．综上可得，不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4）．【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性以及函数的零点，属于中档题．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2015•温州二模）已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）﹣1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期．（2）由x∈[﹣，]，可求2x+的范围，根据正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）的范围，从而可求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1，∴由三角函数的周期性及其求法可得函数f（x）的最小正周期T=．（2）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，π]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴y=f（x）=sin（2x+）﹣1∈[﹣2，]，∴函数y=f（x）在[﹣，]上的值域是：[﹣2，]．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．【分析】（1）把已知条件平方可得sinα=，再由已知，可得cosα的值．（2）由条件可得﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=，再根据cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]，利用两角和差的余弦公式，运算求得结果．【解答】解：（1）由，平方可得1+sinα=，解得sinα=．再由已知，可得α=，∴cosα=﹣．（2）∵，，∴﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=．∴cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]=cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=+=﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．19．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x0为f（x）的一个零点（0≤x0≤），求cos2x0的值．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，根据正弦函数图象及性质即可求得f（x）的单调增区间；（2）由f（x0）=0，求得sin（2x0﹣）=﹣，由x0的取值范围，即可求得2x0﹣的取值范围，由同角三角函数的基本关系，求得cos（2x0﹣）的值，由2x0=（2x0﹣）+，根据两角和的余弦公式即可求得cos2x0的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），=sin2x+sin2x+（sinx+cosx）（sinx﹣cosx），=sin2x+sin2x+（sin2x﹣cos2x），=（1﹣cos2x）+sin2x﹣cos2x，=sin2x﹣cos2x+，=2sin（2x﹣）+，∵令，k∈Z，解得：，函数f（x）的单调递增区间：；…（6分）（2）由f（x0）=2sin（2x0﹣）+=0，得sin（2x0﹣）=﹣＜0，…（7分）又由0≤x0≤，得﹣≤2x0﹣≤，…（8分）∴﹣≤2x0﹣＜0，…（9分）∴cos（2x0﹣）==，…（10分）则cos2x0=cos[（2x0﹣）+]，=cos（2x0﹣）cos﹣sin（2x0﹣）sin…（11分）=×﹣（﹣）×，=，cos2x0=．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换的应用，考查二倍角公式、辅助角公式及两角和差的公式的综合运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣1，x∈R．（1）求证：f（x）≥﹣x2+x；（2）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而证明结论；（2）问题转化为对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】证明：（1）令g（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，由g'（x）=e x﹣1=0得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）min=g（0）=0，从而f（x）≥﹣x2+x；解：（2）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立⇔对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令，∴，由（1）可知当x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，令φ'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0得0＜x＜1，∴φ（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），φ（x）min=φ（1）=e﹣2，∴k＜φ（x）min=φ（1）=e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．21．（12分）（2012•韶关二模）已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），其中k∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值．【分析】（1）确定函数的定义域，利用导数，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；（2）利用导数，确定函数的单调性，分类讨论，确定函数的最值即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f'（x）=lnx+1．…（1分）令f'（x）≥0，得lnx≥﹣1=lne﹣1，；令f'（x）≤0，得．…（3分）∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，∴函数的极小值为，f（x）无极大值…（5分）（2）g（x）=xlnx﹣k（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣k，由g'（x）=0，得x=e k﹣1，所以，在区间（0，e k﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e k﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（8分）当e k﹣1≤1，即k≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以，g（x）最大值为g（e）=e﹣ke+k．…（10分）当1＜e k﹣1＜e，即1＜k＜2时，g（x）的最大值是g（1）或g（e）g（1）=g（e），得当时，g（e）=e﹣ek+k＞0=g（1），g（x）最大值为g（e）=e﹣ke+k当时，g（e）=e﹣ek+k＜0=g（1），g（x）最大值为g（1）=0…（12分）当e k﹣1≥e，即k≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最大值为g（1）=0．综上，当时，g（x）最大值为e﹣ke+k；当时，g（x）的最大值是0…（14分）【点评】本题考查了利用导数求函数的极值，考查闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的．22．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，在x=0处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）已知点A（2，m），求过点A的曲线y=f（x）的切线条数．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=f′（﹣1）=0，f′（0）=﹣3，解方程可得a，b，c，进而得到f（x）的解析式；（2）设切点为（t，t3﹣3t），求得f′（x）=3x2﹣3，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，代入A的坐标，整理可得m=﹣2t3+6t2﹣6．设g（t）=﹣2t3+6t2﹣6，求出导数，单调区间和极值，画出y=g（t）的图象，讨论m的范围，即可得到所求切线的条数．【解答】解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，由题意可得，解方程可得a=1，b=0，c=﹣3．所以f（x）=x3﹣3x．（2）设切点为（t，t3﹣3t），由（1）知f′（x）=3x2﹣3，所以切线斜率k=3t2﹣3，切线方程为y﹣（t3﹣3t）=（3t2﹣3）（x﹣t）．又切线过点A（2，m），代入得m﹣（t3﹣3t）=（3t2﹣3）（2﹣t），解得m=﹣2t3+6t2﹣6．设g（t）=﹣2t3+6t2﹣6，令g′（t）=0，即﹣6t2+12t=0，解得t=0或t=2．作出函数草图可知：①当m＞2或m＜﹣6时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6只有一解，即过点A只有一条切线；②当m=2或m=﹣6时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6恰有两解，即过点A有两条切线；③当﹣6＜m＜2时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6有三解，即过点A有三条切线．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及数形结合的思想方法，属于中档题．。

哈尔滨市第六中学2015-2016学年度下学期6月考试高二数学试题（理工类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1、已知集合2A={|log <1},B={x|0<<c}x x x ，若=A B B ，则c 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．[1,+)∞C ．(0,2]D ．[2,+)∞ 2、不等式|1||5|4x x +--<的解集为A 、（－∞，4）B 、（－∞，－4）C 、（4，＋∞）D 、（－4，＋∞）3、设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4、已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，21)(<'x f 恒成立，则不等式22lg 1(lg )22x f x <+的解集为（ ）A ．1(0,)10B ．1(0,)(10,)10+∞C ．1(,10)10D ．(10,)+∞ 5、己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a<b<c B ．c<a<b C ．a<c<b D ．c<b<a6、定义在[]2016,2016-上的函数()f x 满足：对于任意的[]2016,2016,-∈b a ，有()()()2012f a b f a f b +=+-，且0x >时，有()2012f x >，设()f x 的最大值和最小值分别为,M N ，则M N +的值为（ ）A. 2012-B. 2012C. 4024D. 40227、若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为 （ ）A ．13-B ．13+C ．232+D ．232-8、已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)()1,3,ln x f x x ∈=，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln3ln3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9、设2 (||1)() (||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是A 、]1,(-∞B 、),0[]1,(+∞⋃--∞C 、]1,(--∞D 、),0[+∞10、不等式组⎩⎨⎧≤-≥+421y x y x 的解集记为D ，有下面四个命题：22,),(:1-≥+∈∀y x D y x p ， 22,),(:2≥+∈∃y x D y x p ，32,),(:3≤+∈∀y x D y x p ， 12,),(:4-≤+∈∃y x D y x p .其中的真命题是( )A ．32,p pB ．21,p pC ．41,p pD ．31,p p11、已知函数()()32134,,a x a x t f x x x x t-+-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，无论t 为何值，函数()f x 在R 上总是不单调，则a 的取值范围是（ ）A 、12a ≤B 、2a ≥C 、112a ≤< D 、21>a 12、已知函数⎩⎨⎧<>-+=1),(1|,)1lg(|1)(x x g x x x f 的图象关于点P 对称，且函数(1)1y f x =+-为奇函数，则下列结论：①点P 的坐标为(1,1)；②当(,0)x ∈-∞时，1)(-≤x g 恒成立；③关于x 的方程(),f x a a R =∈有且只有两个实根，其中正确结论的个数为（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．计算：()11sin x dx -=⎰ .14．已知x 、y 为正实数,则22x y x y x ++的最小值为 ____________ 15、如果函数2()(31)(01)x x f x a a a a a =-->≠且在区间[0,)+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是____________．16、给出下列四个结论：① 命题"0,"2>-∈∃x x R x 的否定是"0,"2≤-∈∀x x R x ；② “若22bm am <，则b a <”的逆命题为真；③ 已知直线012:1=-+y ax l ，02:2=++by x l ，则1l ⊥2l 的充要条件是④ 对于任意实数x ，有)()(),()(x g x g x f x f =--=-且x >0时，0)(>'x f ，则x <0时，)()(x g x f '>'.其中正确结论的序号是 （填上所有正确结论的序号）。