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排列组合与概率(新)

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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 1 专题三： 排列、组合及二项式定理

一、排列、组合与二项式定理 【基础知识】 1.分类计数原理（加法原理）12nNmmm. 2.分步计数原理（乘法原理）12nNmmm.

3.排列数公式 mnA=)1()1(mnnn=！！)(mnn.(n，m∈N*，且m≤n)．

4.组合数公式 mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！！！)(mnmn(n，m∈N*，且m≤n). 5.组合数的两个性质： (1) mnC=mnnC ; (2) mnC+1mnC=mnC1 （3）1121rnrnrrrrrrCCCCC. 6.排列数与组合数的关系是：mmnnAmC！ . 7.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 二项展开式的通项公式：rrnrnrbaCT1)210(nr，，，. 【题例分析】 例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？

解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有44A种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C（44A－33A）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C（44A－233A＋22A）种，故共有252种．

点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．

解：(1)先取后排,有13452335CCCC种,后排有55A种,共有5513452335)(ACCC（C＝5400种．

(2)除去该女生后先取后排：8404447AC种． 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 2 (3)先取后排,但先安排该男生：3360441447ACC种．

(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C种,再安排该男生有13C种,其余3人全排有33A种,共331336ACC=360种． 例3、、有6本不同的书 （1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ （2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ （3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？ （5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ （6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？ 解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，

共有90222426CCC（种）。

（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了33A倍，故共有15332426ACC（种）。 （3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有60332516CCC（种）

（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有36033332516ACCC（种）。

（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有15221516ACC（种）。 （6）本题即为6本书放在6个位置上，共有72066A（种）。 例4、如果在nxx421 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(nn，

由题意得：2×2n=1+8)1(nn得n=8。 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 3 设第r+1项为有理项，43168121rrrrxcT，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。 有理项为295412561,835,xTxTxT。 【巩固训练】 一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内. 1、设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是 A 10 B 40 C 50 D 80. 2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 A 3种 B 4种 C 5种 D 6种. 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上. 3、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）

4、设9922105433321xaxaxaaxx

则286420aaaaa―297531aaaaa 三.解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤) 5、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？

6、若432x=44332210xaxaxaxaa，求（1）2420aaa―2

31aa

的值。（2）3210aaaa的值。

二、等可能事件的概率 【基础知识】 等可能性事件的概率()mPAn. 【题例分析】 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 4 例1、 某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2

人，求这两人血型不相同的概率. 解:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A型)＋P(两人血型均为B型)＋P(两人血型均为AB

型)＋P(两人血型均为O型)＝45112362628210212CCCCC.

所以，P(两人血型不同)＝1－45344511. 点拨:从四种血型中抽出2种有C24＝6种，依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便. 例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,

如果选得同性委员的概率等于21，求男、女相差几名？

解：设男生有x名，则女生有36－x名，选得2名委员都是男性的概率为2362CCx＝3536)1(xx.选

得两名委员都是女性的概率为236236CCx＝3536)35)(36(xx. 以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和. 依题意3536)1(xx＋3536)35)(36(xx＝21.解得x＝15或x＝21. 即该班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，总之，男女相差6名. 例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n个红色，5个蓝色,10个黄色，其余为白色，求： (1)如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？

(2)如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球（不含白色）的概率是40613，且n≥2，计算红球有几个？ (3)根据(2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？ 解：(1)将5个黄球排成一排共有A55种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有A36种排法.∴所求的排法为A55·A36＝14400（种）. （2）取3个球的种数为C330＝4060，设“3个球全是红色”为事件A，“3个球全是蓝色”

为事件B.“3个球都是黄色”为事件C，则P(B)＝40601033035CC，P(C)＝4060120330310CC. ∵A、B、C彼此互斥，∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)， 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 5 即40613＝P(A)＋4060120406010.∴P(A)＝0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2. 又∵n≥2，故n＝2. （3）记“3个球至少有一个是红球”为事件D，则D为“3个球中没有红球”，则

P(D)＝1－P(D)＝1－330328CC＝14528. 例4、一种电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试. （1）求前两次取出都是二等品的概率； （2）求第二次取出的是二等品的概率；

解：（1）四件产品逐一取出方式共有A44种不同方式.

前两次取出都是二等品的方式共有A22·A22种不同方式.

所以前两次取出都是二等品的概率为： 61442222AAA （2）第二次取出是二等品共有：3312AC， 所以第二次取出是二等品的概率是：21443312AAC 【巩固训练】 一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内.

1、数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位

数字之和等于9的概率为（ ）

12519D12518C12516B12513A、 、 、 、

2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是

(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216 二.填空题：把正确答案填写在题中的横线上. 3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .

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利用排列组合计算概率问题

利用排列组合计算概率问题

利用排列组合计算概率问题概率是数学中一个重要的概念，用来描述某个事件发生的可能性。

在现实生活中，我们经常需要计算概率来做出决策或者预测结果。

而排列组合是概率计算中常用的方法之一，它可以帮助我们解决各种概率问题。

一、排列组合的基本概念排列和组合是数学中的两个概念，它们都是通过对一组元素进行选择和排列来计算概率。

排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序排列，形成不同的组合。

组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序，形成不同的组合。

二、排列的计算方法排列的计算方法比较简单，可以通过以下公式来计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的可能性，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。

例如，从5个人中选取3个人进行排列，可以计算为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5*4*3 = 60三、组合的计算方法组合的计算方法稍微复杂一些，可以通过以下公式来计算：C(n, m) = n! / (m!*(n-m)!)其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的可能性。

例如，从5个人中选取3个人进行组合，可以计算为：C(5, 3) = 5! / (3!*(5-3)!) = 5! / (3!*2!) = 5*4 / 2 = 10四、概率计算的实际应用排列组合可以应用于各种实际问题中，例如：1. 抽奖概率计算：假设有10个人参加抽奖活动，每个人的中奖概率相同，计算其中5个人同时中奖的概率。

解答：可以使用组合的方法计算，即从10个人中选取5个人进行组合，计算公式为：C(10, 5) = 10! / (5!*(10-5)!) = 10! / (5!*5!) = 252所以，其中5个人同时中奖的概率为1/252。

2. 生育概率计算：假设一个家庭有3个孩子，计算其中至少有2个女孩的概率。

排列组合与概率统计

排列组合与概率统计

三 排列组合，概率统计（一）排列组合1知识点 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有排列的个数m nA公式m nA=!()!n n m - 规定0！=13，组合组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数m nCm nC=!!()!n m n m -性质mnC =n m nC-11m m m n n n C C C -+=+2 排列组合题型总结 一 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。

掌握简单的排列组合和概率计算

掌握简单的排列组合和概率计算

掌握简单的排列组合和概率计算排列组合和概率计算是数学中非常重要的概念和方法，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍简单的排列组合和概率计算的概念、原理和应用，并提供一些练习题供读者巩固所学知识。

1. 排列的概念和计算方法排列是指从给定的一组对象中，选取若干个对象按照一定的顺序排列组合的方式。

在排列中，每个对象只能使用一次。

例如，有3个不同的字母A、B、C，从中选取2个字母排列，可以得到以下6种排列：AB、AC、BA、BC、CA、CB。

计算排列的方式为：使用阶乘的方法，即对于给定的n个对象中，选取r个对象排列，计算公式为P(n, r) = n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。

2. 组合的概念和计算方法组合是指从给定的一组对象中，选取若干个对象按照任意顺序排列组合的方式。

在组合中，每个对象只能使用一次。

例如，有3个不同的字母A、B、C，从中选取2个字母组合，可以得到以下3种组合：AB、AC、BC。

计算组合的方式为：使用阶乘的方法，即对于给定的n个对象中，选取r个对象组合，计算公式为C(n, r) = n!/(r!(n-r)!)。

3. 概率的概念和计算方法概率是指某个事件发生的可能性大小。

概率的计算方法可以通过排列组合的方式得到。

对于一个随机事件A，其概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的总数/总的可能发生的事件数。

例如，从一副扑克牌中取出5张牌，计算其中4张是红心牌的概率。

首先计算红心牌的总数，扑克牌中共有52张牌，其中红心总数为13张，因此红心牌的总数为C(13, 4)。

然后计算总的可能取牌的事件数，即从52张牌中取出5张牌，其计算公式为C(52, 5)。

最后，将红心牌的总数除以总的可能取牌的事件数即可得到概率。

4. 应用案例排列组合和概率计算在现实生活中有许多应用。

以下是几个常见的案例：a. 彩票中奖概率计算：彩票中奖概率的计算就是应用了排列组合和概率计算的原理。

通过计算选中的号码在所有可能的号码组合中所占的比例，得到中奖的概率大小。

排列组合与概率

排列组合与概率

第86课时:第十章排列、组合与概率——随机事件的概率一.课题:随机事件的概率二.教学目标:1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念;2.掌握等可能事件的概率公式,并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题;三.教学重点:等可能事件的概率的计算.四.教学过程:(一)主要知识:1.随机事件概率的范围 ;2.等可能事件的概率计算公式 ;(二)主要方法:1.概率就是对大量重复试验来说存在的一种规律性,但对单次试验而言,事件的发生就是随机的;2.等可能事件的概率()mP An=,其中n就是试验中所有等可能出现的结果(基本事件)的个数,m就是所研究事件A中所包含的等可能出现的结果(基本事件)个数,因此,正确区分并计算,m n的关键就是抓住“等可能”,即n个基本事件及m个基本事件都必须就是等可能的;(三)基础训练:1.下列事件中,就是随机事件的就是(C)(A)导体通电时,发热; (B)抛一石块,下落;(C)掷一枚硬币,出现正面; (D)在常温下,焊锡融化。

2.在10张奖券中,有4张有奖,从中任抽两张,能中奖的概率为(C)()A 12()B13()C23()D453.6人随意地排成一排,其中甲、乙之间恰有二人的概率为( C )()A 13()B14()C15()D1104.有2n个数字,其中一半就是奇数,一半就是偶数,从中任取两个数,则所取的两个数之与为偶数的概率为(C)()A 12()B12n()C121nn--()D121nn++(四)例题分析:例1.袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回抽三次,计算下列事件的概率:(1)三次颜色各不同;(2)三种颜色不全相同;(3)三次取出的球无红色或无黄色; 解:基本事件有3327=个,就是等可能的,(1)记“三次颜色各不相同”为A,332 ()279AP A==;(2)记“三种颜色不全相同”为B ,2738()279P B -==; (3)记“三次取出的球无红色或无黄色”为C ,332215()279P C +-==; 例2.将一枚骰子先后掷两次,求所得的点数之与为6的概率。