高2014级补课寒假第三讲++圆锥曲线的综合问题(学生版)

专题二十二 圆锥曲线解答题1.解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，∵直线20x y -+=与圆相切，∴22d b ==，即1b =，又22c e a ==，及，得2a =，所以椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）①当直线AB 的斜率为0时，A （2-，0），B （2，0）时，=-1 ②当直线AB 的斜率不为0时，不妨设AB 的方程为：1x my +=由22112x myx y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(2)210m y my +--=设则：12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 11221122(1,)(1,)(2,)(2,)x y x y my y my y =-∙-=-∙-2225194122m m m --=+=-+++7(1,]2∈- 由①、②得：的取值范围为[71,2-]．2.解：(Ⅰ) 椭圆1C ：116422=+y x ；联立方程组解得)32,1(),32,1(-B A ，所以34=AB . (Ⅱ)假设存在，由题意将F E ,坐标带入1C 做差得0416y x k EF -=，将N M ,坐标带入3C 得06y k MN =，00201224,1x x y k k MN EF >=∴-=⋅ ，故满足条件的P 点在抛物线3C 外，所以不存在这样的点P .3.解（Ⅰ）由点(2,)M t 在直线2a x c =上，得，故， ∴1c =． 从而．所以椭圆方程为．（Ⅱ）以OM 为直径的圆的方程为． 其圆心为,半径222x y b +=222a b c =+22F A F B11122()()A x y B x y ，，，，22F A F B22F A F B 22a c =212c c +=2a =2212x y +=(2)()0x x y y t -+-=(1,)2t 214t r =+因为以OM 为直径的圆被直线截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离212td r =-=． 所以，解得．所求圆的方程为．（Ⅲ）由平几知：， 直线:OM ，直线:FN ， 由得∴2224||(1)2244t ON t =+⋅⋅=+．以线段ON 的长为定值．4.解(Ⅰ) ∵||||8a b += ，则2222(2)(2)8x y x y ++++-=，2211612y x +=(Ⅱ)因抛物线方程为：)3(122--=y x ，故)0,0(),3,0(F P .当直线x l ⊥轴时，不合题意。

②
联立①、②，得k＝ 22， 或k＝－ 22， m＝ 2， m＝－ 2，
∴l 的方程为 y＝ 22x＋ 2或 y＝－ 22x－ 2.
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命题角度聚焦 第十四页，编辑阅于卷星期现日：场十体四点验二十分。
考向二 考查定点与定值问题 常考查直线过定点、直线与圆锥曲线中定值的计算，题型以解答 题为主，常先用变量表示要求的量或点的坐标，再通过推理计算 导出这些量或点的坐标和变量无关． 【例2】 (2013·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截
等．
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命题角度聚焦 第三页，编辑于阅星卷期日现：十场四体点 二验十分。
真题感悟
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命题角度聚焦 第四页，编辑于阅星卷期日现：十场四体点 二验十分。
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系 在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点．常围绕弦长、面 积、焦点弦、弦中点问题来展开，关键是采用“设而不求”的思 想，利用韦达定理来解题．
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命题角度聚焦 第二十一页，编阅辑卷于星现期日场：体十四验点 二十分。
(1)解 因为 e＝ 23＝ac，
所以
a＝
23c，b＝
1 3c.
代入 a＋b＝3 得，c＝ 3，a＝2，b＝1.
故椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
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命题角度聚焦 第二十二页，编阅辑卷于星现期日场：体十四验点 二十分。
则 x1＋x2＝－2＋6k32k2，x1x2＝32k＋2－3k62，
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命题角度聚焦 第八页，编辑于阅星卷期日现：十场四体点 二验十分。
因为 A(－ 3，0)，B( 3，0)，所以 A→C·D→B＋A→D·C→B＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3，y2)·( 3－ x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋22k＋2＋3k122. 由已知得 6＋22k＋2＋3k122＝8，解得 k＝± 2.

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

【例1】 设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．⑴过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；⑵设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足·0FA FB =，延长AF BF ，分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．【例2】 P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．【例3】 已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点,且AC BD ⊥，垂足为P ．⑴设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；⑵求四边形ABCD 的面积的最小值．典例分析板块七.相交弦问题【例4】 如图，椭圆22221x y a b+=上的点M 与椭圆右焦点2F 的连线2MF 与x 轴垂直，且OM（O 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．⑴求椭圆的离心率；⑵1F 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：12π2FCF ∠≤； ⑶过2F 且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若1PFQ ∆的面积是，求此时椭圆的方程及PQ 的长．【例5】 已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ．⑴ 求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；⑵ 设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．yxOMFDCBA【例7】 已知动点P 到点(20)F ，的距离与它到直线1x =⑴求动点P 的轨迹方程；⑵设点P 的轨迹为曲线C ，过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 交曲线C 于A 、B 两点，2l 交曲线C 于M 、N 两点．求证：11FA FB FM FN+⋅⋅为定值．【例8】 已知动点M 到点()1,0F 的距离，等于它到直线1x =-的距离．⑴求点M 的轨迹C 的方程；⑵过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段,AB MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； ⑶在⑵的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．。