加试模拟训练题（57）（附详细答案）
1． 设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =F A .
试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点； (2)AB +BC +CD +DE +EF +F A ≥AK +BE +CF .
2. 对所有正实数a ，b ，c ，证明（a 3+b 3+abc ）-1+（b 3+c 3+abc ）-1+（c 3+a 3+abc ）-1≤（abc ）-1
I P
A
B
C
D
E
F
Q S
3.7个六边形的网眼(如图)涂上两种颜色：白色或蓝色．每次允许选择任一网眼，将它及所有相邻的网眼改涂为另一种颜色．证明：由图a 经有限次地上述改涂手续后， 1．可变为b ； 2．不可能变为c ．
4.设n 是一个合数.证明存在正整数m ，满足|m n ，m ≤，且3()()d n d m ≤.这里()
d k 表示正整数k 的正约数的个数.
加试模拟训练题（57）
1．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =F A .试证：(1)AD ，
BE ，CF 三条对角线交于一点；
(2)AB +BC +CD +DE +EF +F A ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分
线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =F A ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，
DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：
BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .
∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .
∴AB +BC +CD +DE +EF +F A
=2(BI +DI +FI )
≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .
I 就是一点两心.
2. 证明对所有正实数a ，b ，c ，
（a 3+b 3+abc ）-1+（b 3+c 3+abc ）-1+（c 3+a 3+abc ）-1≤（abc ）-1
【题说】第二十六届（1997年）美国数学奥林匹克题5． 【解】去分母并化简，原式等价于
a 6（
b 3+
c 3）+b 6（c 3+a 3）+c 6（a 3+b 3）≥2a 2b 2c 2（a 3+b 3+c 3）（1） 由对称性，不妨设a ≥b ≥c ．
因为2a 2b 2c 2（a 3+b 3+c 3）≤（a 4+b 4）c 4+（b 4+c 4）a 5+（c 4+a 4）b 5
而a 6（b 3+c 3）+b 6（c 3+a 3）+c 6（a 3+b 3）-（a 4+b 4）c 5-（b 4+c 4）a 5-（c 4+a 4）b 5 =a 5b 3（a-b ）+a 5c 3（a-c ）-b 5a 3（a-b ）+b 5c 3（b-c ）-c 5a 3（a-c ）-c 5b 3（b-c ） =（a-b ）a 3b 3（a 2-b 2）+（a-c ）a 3c 3（a 2-c 2）+（b-c ）b 3c 3（b 2-c 2）≥0 所以（1）成立．
3.7个六边形的网眼(如图)涂上两种颜色：白色或蓝色．每次允许选择任一网眼，将它及所有相邻的网眼改涂为另一种颜色．证明：由图a 经有限次地上述改涂手续后，
Erdos
..I P A B C D
E F Q S
1．可变为b ； 2．不可能变为c ．
【题说】第十五届(1989年)全俄数学奥林匹克九年级题5． 【证】
1．先选图a 正下方网眼，改涂后可得图d ．再选图d 正上方网眼，改涂后便得到图b ． 2．分别用A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 记7个网眼．涂白色的网眼用＋1表示，涂蓝色的网眼用－1表示．考虑A 、C 、D 、F 四格，不论选7个网眼中哪一格进行改涂，它们中必有两格或四格变号(改涂颜色相当于乘以－1)，因而这4个数之积总是不变．对于图a 这个积为＋1；而对于图c ，这个积为－1．因此，图a 不可能变为图c ． 4.设n 是一个合数.证明存在正整数m ，满足|m n
，m ≤，且3()()d n d m ≤.这里()
d k 表示正整数k 的正约数的个数.
证明 若n 有一个素因子p
满足p >
，令n
m p
=
，则有m <.
由p >知(,)1m p =，因此()()()2()d n d p d m d m ==.又由n 是合数知1m >，即()2d m ≥.因此
3()()d n d m ≤.
现在设n
，取1m 为n
再取2m 为1
n
m 的
的最大因子.我们先证明21m >. 若不然，则
1n m 没有大于1
的因子，但若1
n
m
是合数，则它在区间内至少有一个因子，矛盾！因此
1
n
m 是素数.但前面已假设n
，又1n m ≥=
，故只有1n m =且是素数.
但此时有2m =，与假设的21m =矛盾！ 由21m >知121m m m >，且12m m 是n 的因子.由1m 的选取可
知12m m >
，因此令
