湖南省长沙市高一上学期期末数学试卷

【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题，
因此原命题的否定是： x R, x2 2x 2 0 ．
故选：D．
3. 如果函数 y f (x) 在[a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“ f (a) f (b) 0 ”是“函数 y f (x) 在
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
6. 已知函数 f x 4x 2x1 4 ， x 1,1 ，则函数 y f x 的值域为（ ）．
A. 3,
B. 3, 4
C.
3,
13 4
D.
13 4
,
4
【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
则 m p ，故有 m p n ．
故选：B
D. p n m
【点睛】关键点点睛：本题的关键是换底公式的应用，关键是利用换底公式，变形，比较大小.
8.
设a, b
R ，定义运算 a b
a, a b, a
b b
，则函数
f (x) sin x cos x 的最小值为（
）
A. 1
B. 2 2
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
4. 半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果
【详解】半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是 S 1 lr 1 r2 1 12 2 1（其中 l 为扇形所对

一、单选题1．已知集合 A ={1,2,3} ，B ={0,2}，则（ ） A B ⋃=A ．{1,3} B ．{1,2,3} C ．{2} D ．{0,1,2,3}【答案】D【分析】根据集合并集的定义，可得答案. 【详解】由题意，， {}0,1,2,3A B ⋃=故选：D.2．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）()()2222m f x m m x -=--⋅()0,∞+m =A ．－1 B ．－1或3 C ．3 D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.【详解】由题意知：，即，解得或，2221m m --=()()130m m +-=1m =-3m =∴当时，，则在上单调递减，不合题意;1m =-23m -=-()3f x x -=()0,∞+当时，，则在上单调递增，符合题意, 3m =21m -=()f x x =()0,∞+∴, 3m =故选：C3．函数的定义域为（ ） ()()lg 31f x x =-A ．B ．C ．D ．1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦(]0,11,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【分析】要使有意义，则有，解出即可.()()lg 31f x x =-10310x x -≥⎧⎨->⎩【详解】要使有意义，则有，解得()()lg 31f x x =-10310x x -≥⎧⎨->⎩113x <≤所以函数的定义域为()()lg 31f x x =-1,13⎛⎤⎥⎝⎦故选：A【点睛】本题考查的是函数定义域的求法，较简单.4．命题，使得，则命题的否定是（ ） 0:0p x ∃>0ln 20x +≤p A ．，使得B ．， 00x ∃>0ln 20x +>0x ∀>ln 20x +≤C ．，使得D ．，00x ∃>0ln 20x +≥0x ∀>ln 20x +>【答案】D【分析】根据存在命题的否定原则：范围不变，结论相反，即可得到答案. 【详解】根据存在命题的否定可知命题的否定是：p ， 0,ln 20x x ∀>+>故选：D.5．设，，，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） 50.4a =0.45b =5log 0.4c =A ． B ． a b c >>a c b >>C ． D ．c a b >>b a c >>【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的单调性并借助“媒介”数即可得解. 【详解】因函数在R 上单调递减，，则有， 0.4x y =50>500.4100.4<=<又函数在R 上单调递增，，则有，5x y =0.40>0.40155>=而函数在上单调递增，，则有，5log y x =(0,)+∞0.41<55log 0.4log 01<=于是得，5045.log 0.40.54<<所以. b a c >>故选：D6．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的x π=图象.【详解】因为，则， ()cos sin f x x x x =+()()cos sin f x x x x f x -=--=-即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且时，，据此可知选项B 错误. x π=cos sin 0y ππππ=+=-<故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 7．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比0.618t =2sin18︒） A ． B ．4C ．D ．24-2-【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简得到答案.2sin182cos182sin36cos54cos54︒⋅︒︒==-=-︒︒2sin362sin 36︒=-=-︒故选：C8．已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则()()2ln ,0,41,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩1x 2x 3x 4x ()f x t =的取值范围是（ ） 1234x x x x +++A ． B ．C ．D ．[)6,+∞(],2-∞14,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦14e ,2e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数1234|ln()||ln()|,4x x x x -=-+=的单调性即可计算判断作答.【详解】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和()f x ()f x (,1)-∞-[0,2](1,0)-(2,)+∞因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令， 1x 2x 3x 4x ()f x t =01t <≤1234x x x x <<<则有，是方程的两个根，必有，3x 4x 241,0x x t x -+=≥344x x +=，是方程的两个不等根，则，，1x 2x ()ln ,0x t x -=<12|ln()||ln()|x x -=-12ln()ln()0x x -+-=整理得，即，由得：或，因此有，， 121=x x 121x x =|ln()|1x -=e x =-1e x =-121x x =211ex -<≤-则有，，而函数在上单调递减，从而得12221x x x x +=+211ex -<≤-1y x x =+1(1,]e --，2211e 2e x x --≤+<-于是得， 123422114[4e ,2)ex x x x x x +++=++∈--所以的取值范围是.1234x x x x +++1[4e ,2)e --故选：D二、多选题9．下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（ ）()0,1A ．B ．C ．D ．()e xf x =()sin f x x =-()1f x x=()24f x x =-+【答案】BC【分析】根据给定的条件，逐一分析各选项中函数的奇偶性及在上的单调性作答.()0,1【详解】对于A ，函数的定义域为R ，是增函数，A 不是；()e xf x =对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，并且在上单调递减，B 是； ()sin f x x =-()0,1对于C ，函数的定义域为，是奇函数，并且在上单调递减，C 是； ()1f x x=(,0)(0,)-∞+∞ ()0,1对于D ，函数的定义域为R ，是偶函数，D 不是.()24f x x =-+故选：BC10．对于实数，，下列说法正确的是（ ） a b c A ．若，则B ．若，则 0a b >>11a b <a b >22ac bc ≥C ．若，则D ．若，则0a b >>2ab a <c a b >>a bc a c b>--【答案】ABC【分析】利用不等式的性质，分析、推理判断ABC ；举例说明判断D 作答. 【详解】对于A ，，两边同时除以，则，A正确； 0a b >>ab 11a b<对于B ，，，则，当且仅当时取等号，B 正确； a b >2c ≥022ac bc ≥0c =对于C ，因为，则，C 正确； 0a b >>20ab a <<对于D ，取，满足，而，D 错误. 1,2,3c a b =-=-=-c a b >>322a b c a c b=-<-=--故选：ABC11．已知p ：，，q ：x ＋y ≥t ，若p 是q 的充分不必要条件，则t 的值可以是（ ） 1x ≥2y ≥A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据充分不必要条件的定义求解．【详解】，所以，但反过来，不能推出且， 1,23x y x y ≥≥⇒+≥3t ≤3x y +≥1x ≥2y ≥选项AB 满足题意，CD 不满足题意，若，则不是的充分条件，如，满足条件，但不满足，同理D 也4t =p q 1,2x y ==p 34x y +=<q 不合题意． 故选：AB ．12．函数(，，是常数，，)的部分图象如图所示，下列结论正()sin()f x A x ωϕ=+A ωϕ0A >0ω>确的是（ ）A ．(0)1f =B ．在区间上单调递增,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数()f x 6πD ． 2()3f x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】根据函数图象得到A =2，，再根据函数图象过点 ，求得37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭,ωϕ，得到函数解析式，然后再逐项判断. 【详解】由函数图象得：A =2，, 37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭所以，,2T πω==又因为函数图象过点 ， 7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，即 ， 72sin 26πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭解得，即 ， 73262k ππϕπ+=+23k πϕπ=+所以，3πϕ=所以()2sin(2)3f x x π=+A. ，故错误； (0)2sin3f π==B. 因为，所以，故正确；,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,,33322x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，故()f x 6π22sin 22sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦错误；D. ， 2252sin 22sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，故正确；52sin 222sin 233x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()3f x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：BD【点睛】关键点点睛：本题关键是关键函数的图象，利用函数的性质求出函数的解析式.三、填空题13．已知，则的最小值为__________．0a >24a a+【答案】4【分析】直接展开得，利用基本不等式即可求出最值.244a a a a +=+【详解】，，时取等号， 0a > 2444a a a a +∴=+≥=2a =故答案为：4.14．已知集合，且，则实数的值为___________.{}20,,32A m m m =-+2A ∈m 【答案】3【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值. A 2A ∈m 【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 2m =2320m m -+=若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去， 2322m m -+=3m =0m =0m =所以. 3m =故答案为：3.【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.15．函数在的零点个数为________．()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，【答案】3【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数．36x π+36x π+【详解】［方法一］：【最优解】0πx ≤≤ 193666x πππ∴≤+≤由题可知，或 3336262x x ππππ+=+=，5362x ππ+=解得,或故有3个零点． 4,99x ππ=79π故答案为：．3方法二：令，即，解得，，分别令，()cos 306f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭3,62x k k πππ+=+∈Z ,39k x k ππ=+∈Z 0,1,2k =得，所以函数在的零点的个数为3．47,,999x x x πππ===()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[0,]π故答案为：．3【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该36x π+题的最优解；方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．四、双空题16．若满足关系式，则____________，若，则实数m 的()f x 1()23f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)f =()23mf ≤-取值范围是_____________． 【答案】 ； 或．3-0m ≤m 1≥【分析】通过解方程组求出，即得的值；转化为不等式，解2()f x x x=--(2)f ()()223220m m -+≥不等式即得解.【详解】解：∵满足关系式，()f x 1()23f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴，()()123,132,f x f x x ff x x x ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩①②①+②×2，得，∴，63()3f x x x-=+2()f x x x =--∴.(2)213f =--=-，即 ()22232m m m f =--≤-()()223220m m -+≥解得或，所以m 的取值范围是或． 22m ≥21m ≤0m ≤m 1≥故答案为：；或．3-0m ≤m1≥五、解答题 17．计算下列各式： (1)；52lg2lg 2+-(2)． ()220log 3382π-+【答案】(1) 12(2)2【分析】（1）根据对数的运算原则和性质计算即可； （2）根据指对数的运算即可得到答案.【详解】（1）原式．1255111lg 4lg ln e lg 4122222⎛⎫=+-=⨯-=-= ⎪⎝⎭（2）原式．()2332314312=-+=-+=18．已知角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． αO x ()1,2P --(1)求的值；tan α(2)求． πsin()sin(π)2sin cos()αααα+-+--【答案】(1)2； (2)3.【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用（1）的结论及诱导公式，结合齐次式法计算作答. 【详解】（1）因为角的终边过点，所以. α()1,2P --2tan 21α-==-（2）由（1）知，.πsin()sin(π)cos sin 1tan 1223sin cos()sin cos tan 121αααααααααα+-++++====-----19．已知集合，，． {}37A x x =<<{}25B x x =<<{}1032C x a x a =-<<(1)求；()A B ⋂R ð(2)若，求实数的取值范围． C B ⊆a 【答案】(1) (){}23A B x x ⋂=<≤R ð(2) 52a ≤【分析】（1）利用补集和交集的定义可求得集合；()A B ⋂R ð（2）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可求得C =∅C ≠∅C B ⊆a 实数的取值范围.a 【详解】（1）解：因为，则或， {}37A x x =<<{3A x x =≤R ð}7x ≥又因为，因此，. {}25B x x =<<(){}23A B x x ⋂=<≤R ð（2）解：当时，，解得，合乎题意； C =∅1032a a -≥2a ≤当时，，即当，C ≠∅1032a a -<2a >因为，，，则，解得.{}1032C x a x a =-<<{}25B x x =<<C B ⊆1032252a a a -≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩522a <≤综上所述，. 52a ≤20．已知．()23cos 3cos 2f x x x x =-+(1)求的单调递增区间；()f x (2)若，求的最大值和最小值．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)32-【分析】（1）对化简得，则，，解出()f x ()π23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π232k x k -+≤-≤+Z k ∈即可；（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案. x ππ2π2333x -≤-≤【详解】（1）依题意得：， ()()233π2cos 1cos22223f x x x x x x ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭由，， ππ2π22π232k x k π-+≤-≤+Z k ∈得， ()5Z 1212k x k k ππππ-+≤≤+∈所以的单调递增区间为．()f x ()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，，()π23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2π2333x -≤-≤则当，即时，ππ232x -=5π12x =max ()f x =当，即时，， ππ233x -=-0x =min 3()2f x =-所以在． ()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦32-21．为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某乡镇努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）满足如下关系：，肥W kg ()()25 2.4,024848,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩料费用为（单位：元），其它成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种10x 20x 水果的市场售价为10元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）．/kg ()f x (1)求的函数解析式；()f x (2)当投入的肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) ()25030120,021648030,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-+<≤ ⎪⎪+⎝⎭⎩(2)当投入的肥料费用为30元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元【分析】（1）根据收入减去成本等于利润，分和即可得到解析式；02x ≤≤25x <≤()f x （2）当时，利用二次函数单调性即可求出此范围内最值，当时，利用基本不等式02x ≤≤25x <≤即可求出其最值，比较两者最值即可.【详解】（1）由题意可得， ()()()250 2.430,0210102048048030,251x x x f x W x x x x x x ⎧+-≤≤⎪=--=⎨--<≤⎪+⎩即， ()25030120,021648030,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-+<≤ ⎪⎪+⎝⎭⎩所以单株利润的函数解析式为： ()f x ()25030120,021648030,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-+<≤ ⎪⎪+⎝⎭⎩（2）当时，为开口向上的抛物线，02x ≤≤()25030120f x x x =-+其对称轴为：， 30325010x -=-=⨯所以当时，2x =()2max ()2502302120260f x f ==⨯-⨯+=当时，,25x <≤(]13,6x +∈ ()1616164803048030130510301111f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51030270≤-⨯=当且仅当即时等号成立，此时， 1611x x =++3x =max ()270f x =综上所述：当投入的肥料费用为元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元．31030⨯=22．已知函数为偶函数． ()()2log 41x f x kx =++(1)求实数的值；k (2)解关于的不等式；m ()()211f m f m +>-(3)设，若函数有2个零点，求实数的取值范围．()()()2log 20x g x a a a =⋅+≠()()()h x f x g x =-a 【答案】(1)1k =-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义可求得.1k =-（2）先根据定义证明在的单调性，根据偶函数的性质，建立不等式求解.()f x [)0,∞+（3）图象有交点问题转化为方程有解问题，化归转化到一元二次方程有两个正解，数形结合建立不等式组可求解.【详解】（1）易知函数的定义域为，()f x R 函数为偶函数． ()()2log 41x f x kx =++，即， ()()f x f x ∴-=()()22log 41log 41x x kx kx -+-=++ ()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+.1k ∴=-（2）， ()()222411log 41log log 222x x x x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设，210x x >≥ 21212121211111(2)(2(22)()2222x x x x x x x x y y -=+-+=-+-212121(22)(221)22x x x x x x --=，21212121210,221,220,221,0x x x x x x x x y y >≥∴>≥->>-> 所以当时单调递增， 0x ≥122x xy =+在上单调递增，()f x \[)0,∞+又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减； ()f x ()f x [)0,∞+(],0-∞，()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-解得或，2m <-0m >所以不等式的解集为()(),20,-∞-⋃+∞（3）函数与图象有2个公共点，()f x ()g x 有两个解， ()()()()22241log 2log 41log 2x x x x g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭即有两个解， 4112222x xx x x a a +⋅+==+设，则，即， 20x t =>1at a t t +=+()2110a t at -+-=又在上单调递增，2x t =R 所以方程有两个不等的正根；()2110a t at -+-=从而必须满足：a ， ()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩解得，21a <<所以实数的取值范围是．a ()2,1。

湖南省长沙市大学附属中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设为常数，函数，若为偶函数，则等于（）A．B．1 C．2 D．参考答案：D2. 若，则f[f（﹣2）]=( )A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】在解答时，可以分层逐一求解．先求f（﹣2），再根据f（﹣2）的范围求解f[f（﹣2）]的值．从而获得答案．【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=﹣（﹣2）=2；又∵2＞0，∴f[f（﹣2）]=f（2）=22=4故选C．【点评】本题考查的是分段函数求值问题．在解答中充分体现了分类讨论思想、函数求值知识以及问题转化思想的应用．属于常规题型，值得同学们总结反思．3. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的y=（）A. -1 B. 1 C. 2 D. 3参考答案：D【分析】当输入时，满足，同时也满足，代入即可得答案.【详解】当输入时，满足，则执行下一个判断语句满足执行程序将代入可得，故选D.【点睛】本题考查了算法和程序框图。

正确掌握程序框图的含义是解决此类问题得关键.4. 已知分别是直线上和直线外的点，若直线的方程是，则方程表示（）A、与重合的直线B、不过P2但与平行的直线C、过P1且与垂直的直线D、过P2且与平行的直线参考答案：D略5. 若直线经过两点，则直线的倾斜角是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用斜率公式求出直线，根据斜率值求出直线倾斜角.【详解】直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为，故选：C.【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。

6. 设数列{a n}是等差数列且a4=－4， a9=6，S n是数列{a n}的前n项和，则（） A．S5＜S6 B．S5=S6 C．S7=S5 D．S7=S6参考答案：B7. 三个数大小的顺序是（）A． B.C． D.参考答案：A略8. 函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，2）C．（0，）D．（2，+∞）参考答案：D【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得，由此解得a的范围．【解答】解：函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，可得，解得a＞2，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，属于基础题．9. 设定义在R上的函数，，且对任意，满足，，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先把转化成，与进行加法运算，依次推倒，得到，再根据条件，得到，然后根据等式关系，用累加法计算得到结果.【详解】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴=== ++++ +3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.考点：不等式性质；叠加法；等比数列前n项和公式；函数的求值【点睛】本题考查不等式同向相加的性质，考查累加法和等比数列前n项和公式，难度比较大，属于难题.10. 不等式的解集为（）A．或 B．C． D．或参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k 的取值范围为．参考答案：【考点】8H ：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n =，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣1=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵?n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．12. 的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是.参考答案：13. 定义新运算例如则函数的值域为_____________参考答案：［-1,］14. 已知函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）=2x+b的图象上，则f（log23）= ．参考答案：﹣1【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】先利用函数y=log a（x+3）﹣1的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数函数f（x）=2x+b式中求出b，最后即可求出相应的函数值f（log23）．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（2，0），将x=2，y=0代入y=2x+b得：22+b=0，∴b=﹣4，∴f（x）=2x﹣4，则f（log23）=﹣4=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查对数函数、指数函数的图象的图象与性质，考查数形结合的数学思想，属于基础题．15. 若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为．参考答案：15【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集的真子集个数即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，则A∪B的真子集个数为24﹣1=15．故答案为：15【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．16. 以下各说法中：①若等比数列{a n}的前n项和为，，则实数a= -1；②若两非零向量，若，则的夹角为锐角；③在锐角△ABC中，若，则，④已知数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则使S n最小的n值为5.其中正确说法的有________ （填写所有正确的序号）参考答案：①③④【分析】利用数列，向量的定义和性质以及三角函数的知识结合锐角三角形的基本性质逐个验证即可得出答案。

2021-2022学年湖南省长沙市雨花区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列对象不能组成集合的是()A. 不超过20的质数B. π的近似值C. 方程x2=1的实数根D. 函数y=x2，x∈R的最小值2.函数y=log2(x2−x−6)的定义域为()A. (−2,3)B. (−3,2)C. (−∞,−3)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)3.函数y=x+2x(x>0)取得最小值时的自变量x等于()A. √2B. 2√2C. 1D. 34.已知函数f(x)={x 2+1, x≤0,−2x,x>0,若f(x0)=5，则x0的取值集合是()A. {−2}B. {−52,2} C. {−2,2} D. {−2,2,−52}5.已知函数y=Asin(ωx+φ)+b的一部分图象如图所示，如图A>0，ω>0，|φ|<π2，则()A. φ=−π6B. φ=−π3C. φ=π3D. φ=π66.王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传颂至今：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若函数y=a x+m−1(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限内，则()A. a>1B. a>1，且m<0C. 0<a<1，且m>0D. 0<a<18. 已知tan2α=34，α∈(−π2,π2)，函数f(x)=sin(x +α)−sin(x −α)−2sinα，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin(α−π4)的值为( )A. −2√55B. −√55C. −2√35D. −√35二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列计算成立的是( )A. log 28−log 24=log 24=2B. log 35+log 34=log 39=2C. lg2+lg5=lg10=1D. log 223=3log 22=310. 对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是( )A. 若a >b >0，则1a <1b B. 若a >b ，则ac 2≥bc 2 C. 若a >0>b ，则ab <a 2D. 若c >a >b ，则ac−a >bc−b11. 定义在R 上的函数f(x)满足：x 为整数时，f(x)=2022；x 不为整数时，f(x)=0，则( )A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. ∀x ∈R ，f(f(x))=2022D. f(x)的最小正周期为112. 已知函数f(x)=2sin(2x +π6)+m +1，则( )A. 函数f(x)的最小正周期为π2 B. 若函数f(x)的最大值为6，则m =3 C. 直线x =π6是函数f(x)的图象的一条对称轴D. 函数f(x)的图象可由函数g(x)=2sin(2x +π3)+m +1的图象向右平移π6个单位长度得到三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合A ={a +2,2a 2+a}，若3∈A ，则实数a 的值是______． 14. 函数f(x)=a x+1+2021(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点______． 15. 若cosα=45，cos(α+β)=35，且α，β均为锐角，则sinβ=______． 16. 已知x >0，y >0，且1x +3y =1，则x +2y 的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,4}，B={1,4,5,6}．(1)求A∩B及A∪B；(2)求(∁U A)∩B．18.已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)的图象过点(9,2)．(1)求a的值；(2)若g(x)=f(2−x)+f(2+x)，求g(x)的定义域并判断其奇偶性．19.已知函数f(x)满足f(x+1)=√x+a，且f(1)=1．(1)求a的值和函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)在其定义域的单调性并加以证明．20.已知函数f(x)=cos(x+3π2)cosx−√3sin2(π2+x)+√32．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)设函数g(x)=2f(x)+1，求g(x)在区间[−π4,π4]上的值域．21.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议．某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产．为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供x万元(x∈[0,20])的专项补贴．A企业在收到政府x万元补贴后，产量将增加到t=(x+2)万件．同时A企业生产t万件产品需要投入成本为(7t+72t +2x)万元，并以每件(6+40t)元的价格将其生产的产品全部售出．(注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本)(1)求A企业春节期间加班追产所获收益R(x)(万元)关于政府补贴x(万元)的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？22.已知函数f(x)=|x|+mx−1(x≠0)(1)若对任意的x∈R+，不等式f(x)>0恒成立，求m的取值范围；(2)试讨论函数f(x)零点的个数．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、一不超过20的质数，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；B、π的近似值，无法确定元素，不满足集合元素的确定性和互异性，故不可以构造集合；C、方程x2=1的实数根为−1，1，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；D、函数y=x2，x∈R的最小值为0，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；故选：B．分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．本题以判断对象能否构成集合为载体考查了集合元素的性质，熟练掌握集合元素的确定性和互异性，是解答的关键．2.【答案】D【解析】解：要使原函数有意义，则x2−x−6>0，解得x<−2或x>3．∴函数y=log2(x2−x−6)的定义域为(−∞,−2)∪(3,+∞)．故选：D．由对数函数的真数大于0，求解一元二次不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：函数f(x)=x+2x，且x>0，可得f(x)=x+2x ≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x，即x=√2时，取得最小值2√2．故选：A．函数f(x)=x +2x ，且x >0，运用基本不等式可得f(x)的最小值2√2，由等号成立的条件，可得x =√2．本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)={x 2+1, x ≤0,−2x,x >0,若f(x 0)=5，当x 0≤0时，则f(x 0)=(x 0)2+1=5，解可得x 0=±2， 又由x 0≤0，则x 0=−2，当x 0>0时，则f(x 0)=−2x 0=5，解可得x 0=−52， 综合可得：x 0=−2，则x 0的取值集合是{−2}； 故选：A ．根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论，求出x 0的值，综合即可得答案． 本题考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图象可知，A =2，b =2，T =4×(5π12−π6)=π，所以，ω=2，因为函数图象过(π6,4)，所以4=2sin(2×π6+φ)+2，且|φ|<π2，所以φ=π6． 故选D通过函数的图象，求出函数的周期，求出ω，求出A ，b ，利用图象过(π6,4)，|φ|<π2求出φ即可．本题是基础题，考查三角函数的图象确定函数的解析式，考查视图能力，计算能力，常考题型．6.【答案】B【解析】解：因为不破楼兰终不还的逆否命题为：返还家乡，则攻破楼兰， 所以“返还家乡”是“攻破楼兰”的充分不必要条件，故“攻破楼兰”是“返还家乡”的必要不充分条件，故选：B．因为不破楼兰终不还的逆否命题为：返还家乡，则攻破楼兰，由此即可判断求解．本题考查了四个条件的应用，涉及到实际问题转化为数学问题，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数函数的图象变换，考查指数函数的性质，是基础题．由指数函数的性质结合已知可得a>1且m−1<−1，进一步得a>1且m<0．【解答】解：函数y=a x+m−1(a>0,a≠1)的图象是把函数y=a x的图象向上平移m−1个单位得到的．∵函数y=a x+m−1(a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限内，∴a>1且m−1<−1，得a>1且m<0．故选：B．8.【答案】A【解析】解：∵tan2α=2tanα1−tan2α=34，∴3tan2α+8tanα−3=(tanα+3)(3tanα−1)=0，∴tanα=−3或tanα=13；①又∀x∈R，f(x)=sin(x+α)−sin(x−α)−2sinα=sinxcosα+cosxsinα−(sinxcosα−cosxsinα)−2sinα=2sinα(cosx−1)≥0恒成立，而cosx−1≤0，∴sinα≤0，由①可得tanα=−3，又α∈(−π2,π2 )，∴α∈(−π2,0)，∴cosα=√11+tan2α=√1010，sinα=−3√1010，∴sin(α−π4)=sinαcosπ4−cosαsinπ4=√22(−3√1010−√1010)=−2√55，故选：A ．∀x ∈R ，f(x)=sin(x +α)−sin(x −α)−2sinα≥0恒成立⇒sinα≤0，再结合tan2α=34，α∈(−π2,π2)，可求得tanα=−3，进一步可求得sinα与cosα的值，于是可求得sin(α−π4)的值．本题考查了两角和与差的正弦与二倍角的正切在三角函数求值中的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．9.【答案】CD【解析】解：log 28−log 24=log 22=1， 故选项A 错误；log 35+log 34=log 320≠2， 故选项B 错误； lg2+lg5=lg10=1， 故选项C 正确； log 223=3log 22=3， 故选项D 正确； 故选：CD ．由对数运算性质依次化简四个选项即可． 本题考查了对数运算性质应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：A.∵a >b >0，∴aab >bab ，1a <1b ，正确． B .∵a >b ，c 2≥0，则ac 2≥bc 2，正确． C .a >0>b ，则ab <a 2，正确．D .c >a >b ，则0<c −a <c −b ，∴1c−a >1c−b >0，但是a ，b 与0的关系不确定，虽然a >b ，无法判断ac−a >bc−b 的正误． 综上可得：ABC 正确． 故选：ABC ．利用不等式的基本性质即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于f(x)，有f(1)=2022，f(−1)=2022，f(−x)=−f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误，对于B，对于f(x)，若x为整数，则−x也是整数，则有f(x)=f(−x)=2022，若x不为整数，则−x也不为整数，则有f(x)=f(−x)=0，综合可得f(x)=f(−x)，f(x)是偶函数，B正确，对于C，若x为整数，f(x)=2022，x不为整数时，f(x)=0，总之f(x)是整数，则f(f(x))=2022，C正确，对于D，若x为整数，则x+1也是整数，若x不为整数，则x+1也不为整数，总之有f(x+1)=f(x)，f(x)的周期为1，若t(0<t<1)也是f(x)的周期，而x和x+nt可能一个为整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x+nt)，故f(x)的最小正周期为1，D正确，故选：BCD．根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性的分析，涉及分段函数的性质以及应用，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：对于函数f(x)=2sin(2x+π6)+m+1，∵它的最小正周期为2π2=π，故A错误；∵它的最大值为2+m+1=6，∴m=3，故B正确；令x=π6，求得sin(2x+π6)=1，故f(x)取得最值，故直线x=π6是函数f(x)的图象的一条对称，故C正确；把函数g(x)=2sin(2x+π3)+m+1的图象向右平移π6个单位，可得y=2sin2x+m+1的图象，故D 错误， 故选：BC ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．13.【答案】−32【解析】解：∵集合A ={a +2,2a 2+a}，3∈A ， ∴a +2=3或2a 2+a =3， 解得a =1，或a =−32， a =1时，A ={3,3}，不成立， a =−32时，A ={12,3}，成立， ∴a 的值为−32． 故答案为：−32．推导出a +2=3或2a 2+a =3，由此能求出a 的值．本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，属于基础题．14.【答案】(−1,2022)【解析】解：令x +1=0可得，x =−1，此时f(−1)=2022， 所以f(x)的图象恒过定点(−1,2022)． 故答案为：(−1,2022)．结合指数函数恒过定点(0,1)可令x +1=0，即可求解． 本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．15.【答案】725【解析】解：∵cosα=45，cos(α+β)=35，且α，β均为锐角， ∴sinα=√1−cos 2α=35，sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=45，∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=45×45−35×35=725， 故答案为：725．利用同角三角函数间的关系式及两角和与差的三角函数可求得答案．本题考查同角三角函数间的关系式及两角和与差的三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】7+2√6【解析】解：因为x >0，y >0，且1x +3y =1， 则x +2y =(x +2y)(1x +3y )=7+2y x +3x y≥7+2√6，当且仅当2y x =3xy且1x +3y =1，即x =1+√6，y =3+√62时取等号， 此时x +2y 取得最小值7+2√6． 故答案为：7+2√6． x +2y =(x +2y)(1x+3y )=7+2y x+3x y，然后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件．17.【答案】解：(1)因为[−4,−2)∪(−2,+∞)，B ={1,4,5,6}，所以A ∩B ={1,3,4}∩{1,4,5,6}={1,4}， A ∪B ={1,3,4}∪{1,4,5,6}={1,3,4,5,6}． (2)因为U ={1,2,3,4,5,6}， 所以∁U A ={2,5,6}， 所以(∁U A)∩B ={5,6}．【解析】(1)利用交集定义和并集定义直接求解． (2)先求出∁U A ，由此能求出(∁U A)∩B ．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=log a x(a >0且a ≠1)的图象过点(9,2)．可得2=log a 9， 解得a =3．(2)g(x)=f(2−x)+f(2+x)=log 3(x +2)+log 3(2−x)， 定义域满足{x +2>02−x >0，解得−2<x <2；∴定义域为{x|−2<x <2}；由g(−x)=log 3(−x +2)+log 3(2+x)=g(x) ∴g(x)是偶函数．【解析】(1)将点(9,2)代入即可求解a 的值．(2)根据g(x)=f(2−x)+f(2+x)=log a (x +2)+log a (2−x)，由真数>0，可得定义域，利用定义判断其奇偶性．本题考查对数函数的图像及性质的综合应用和计算能力，复合函数的单调性，属于基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)满足f(x +1)=√x +a =√(x +1)+a −1，则有f(x)=√x +a −1，又由f(1)=1，则有f(1)=√a =1，解可得a =1， 则f(x)=√x(x ≥0)，(2)根据题意，由(1)的结论f(x)=√x(x ≥0)，在其定义域上为增函数，设0≤x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=√x 1−√x 2=√x 1+√x2x 1−x 2，又由0≤x 1<x 2，则x 1−x 2<0，则有f(x 1)−f(x 2)<0， 即函数f(x)在其定义域上为增函数．【解析】(1)根据题意，分析有f(x +1)=√x +a =√(x +1)+a −1，变形可得f(x)=√x +a −1，结合f(1)=1求出a 的值，即可得答案； (2)根据题意，利用作差法分析可得答案．本题考查函数单调性的判断和证明，涉及函数解析式的计算，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=cos(x +3π2)cosx −√3sin 2(π2+x)+√32=sinxcosx −√3cos 2x +√32=12sin2x −√32cos2x =sin(2x −π3)...................................4分所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π..........................................5分 (Ⅱ)由已知得g(x)=2sin(2x −π3)+1， 当x ∈[−π4,π4]时，2x −π3∈[−5π6,π6]，所以sin(2x −π3)∈[−1,12]，.......................................8分 所以2sin(2x −π3)+1∈[−1,2]，即g(x)在区间[−π4,π4]上的值域为[−1,2]...................................10分【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式化简得f(x)=sin(2x −π3)，可求得函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)当x ∈[−π4,π4]时，2x −π3∈[−5π6,π6]⇒sin(2x −π3)∈[−1,12]，于是可求得g(x)在区间[−π4,π4]上的值域为[−1,2]．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性及单调性与值域的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得，销售金额为(6+40t )t =(6+40x+2)(x +2)，政府补贴x 万元， 成本为7t +72t+2x =7(x +2)+72x+2+2x ，所以收益为R(x)=(6+40x+2)(x +2)+x −[7(x +2)+72x+2+2x]=38−2x −72x+2，x ∈[0,20]．(2)由(1)可知，R(x)=38−2x −72x+2，x ∈[0,20]，∵2(x +2)+72x+2≥2√2(x +2)⋅72x+2，当且仅当2(x +2)=72x+2，即x =4时，等号成立， ∴R(x)=42−[2(x +2)+72x+2]≤42−24=18，故当x =4时，R(x)取得最大值为18，故当政府的专项补贴为4万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元．【解析】(1)根据已知条件，结合收益=销售金额+补贴−成本公式，即可求解． (2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．22.【答案】解：(1)当x >0时，f(x)=x +mx −1>0恒成立，则有m >x −x 2对x >0恒成立， 而x −x 2=−(x −12)2+14≤14， 故m >14； (2)令f(x)=|x|+m x−1=0得，m ={x −x 2,x >0x +x 2,x <0，函数f(x)的零点个数，即y =m 和y ={x −x 2,x >0x +x 2,x <0的交点个数，在同一坐标系中作出函数的图象如下，结合图象可知，①m >14或m <−14时，有一个零点； ②m =±14或m =0时，有两个零点； ③−14<m <14且m ≠0时，有三个零点．【解析】(1)化简可得m>x−x2对x>0恒成立，从而利用配方法化为最值问题即可；(2)令f(x)=|x|+mx −1=0化简可得m={x−x2,x>0x+x2,x<0，从而转化为y=m和y={x−x 2,x>0x+x2,x<0的图象的交点个数，从而利用数形结合求解即可．本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合与分类讨论的思想应用．。