2012应用泛函分析试题

|| xn − xm ||≥||| xn || − || xm ||| 可知道， {|| xn ||} 是一个 Cauchy 数列，令 lim || xn ||= λ 。若
λ = 0 ，取 x = θ ，就有 lim x n = x 。当 λ ≠ 0 ，任取 x ' ∈ X ， x ' ≠ θ ，令 x =
第一部分 预备知识
1. 证明 有理数集 Q 是可数的。 2. 设 A = aij 是一个实的 n × n 矩阵, 证明
( )
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ min ⎨max aij ⎬ ≥ max ⎨min aij ⎬ , 1≤ j ≤ n ⎩ 1≤i ≤ n ⎭ 1≤i ≤ n ⎩ 1≤ j ≤ n ⎭
何时上面的等号成立? 3. 求 f ( x ) = ⎨ 4. 求 lim 5. 试从
k →∞
, n 。 这 样 就 当 k > N 时 ， 有 d ∞ ( xk , x0 ) < ε ， 即 有
lim d ∞ ( xk , x0 ) = 0 。所以 ( X , d ∞ ) 是完备的。
3.证明：对任意的 α1 = ( x1 , y1 ) 与 α 2 = ( x2 , y2 ) ∈ X × Y ，令
这样 d ( x, y ) ≥| d ( x, z ) − d ( z , y ) | 。 2.证明：任取 X 的一个 Cauchy 序列 xk = (ξ1 , ξ 2 ,
(k ) (k )
k , l →∞
{
, ξ n( k ) )}
∞ k =1
，由
(0)
lim d ∞ ( xk − xl ) = 0 及知道 {ξi( k ) }
m∈M
个凸集。
10.解：令 f ( x) =

泛函分析期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是泛函分析的主要研究对象？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 点集答案：D2. 泛函是指将一个向量空间的元素映射到一个标量的函数。

以下哪个选项是泛函的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶空间答案：C3. 在泛函分析中，范数是一种度量向量空间中向量大小的方法。

以下哪个选项是范数的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 函数空间的对偶范数答案：B4. 下列哪个不是泛函分析中的基本定理？A. 嵌入定理B. 开铃定理C. Hahn-Banach定理D. Banach-Steinhaus定理答案：B5. 泛函分析中的内积是指满足一定条件的映射。

以下哪个选项是内积的定义？A. 函数空间B. 向量空间C. 线性映射D. 内积空间答案：D二、填空题1. 完成下列范数的定义：范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。

2. 填写完整的Hahn-Banach定理的表述：设X是一个实或复数的线性空间，Y是X的一个线性子空间，f是定义在Y上的线性泛函，对于所有的y∈Y，有f(y) ≤ p(y)，其中p是X上的一个次线性泛函，且满足p(y) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，则存在一个定义在整个X上的线性泛函F，满足F(x) ≤ p(x)对所有的x∈X成立，并且在Y上，F和f的限制是相等的。

三、计算题1. 对于给定的函数空间C[0,1]，计算函数f(x) = x^2在C[0,1]上的范数。

解答：根据范数的定义，范数是一个实值函数，对于一个向量空间中的向量x，满足以下三个性质：(1) 正定性：||x|| ≥ 0，且当且仅当x=0时，||x|| = 0；(2) 齐次性：对于任意实数a，||ax|| = |a| · ||x||；(3) 三角不等式：对于任意两个向量x和y，||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||。

n
n k =1
27. 设 e1 , e2 ," en 是 n 维线性空间 R 的一个基， ∀ x = 现 在 ， 对 于 给 定 的 a=
n
∑ ξk ek ∈ R n ，规定 x 的范数 || x ||= ∑ ξk 。
k =1
n
∑a e
k =1
n
k k
∈ R n ( ak ∈ R ) ， 在 R n 定 义 泛 函
{
}
1 , ∀x ∈ S 求证： x
Tx − Ty < x − y ，对任意的 x, y ∈ S ，但 T 在 S 上没有不动点。
12. 试在 l 空间中给出一个无限维线性子空间 M ，但 M ≠ l . 13. 设 M 与 N 是 线 性 空 间 X 中 两 个 线 性 子 空 间 ， x, y ∈ X 。 证 明 ：
令 d ∞ ( x, y ) = max | ξi − ηi | 。证明 ( X , d ∞ ) 为一个完备的度量空间。 请给 X × Y 定义两 3. 设 X , Y 为两个度量空间，X × Y = {( x, y ) | x ∈ X , y ∈ Y } 为 X , Y 的 Dicard 积。 种不同的度量。 4. 试证明映射
{
}
∑ ( x, e )( y, e ), ∀x, y ∈ H 。
k =1 k k
∞
。求证：集 26. 设 S = ek ∈ H k ∈ N 是 内 积 空 间 H 中 的 正 交 规 范 系 集 ， m 为 正 整 数 ，
Bm = ek ∈ S x < m ( x, ek )
{
{
}
2
2
} 中至多含有 m −1 个元素。
n =−∞

1． 对于积分方程()()()1t s x t e x t ds y t λ--=⎰为一给定的函数，λ为常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。

2．设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为()11,21+k kkk k kx y ξηρξη=-=-∑，其中，()()11,,,=,,n n x y ξξηη=⋅⋅⋅⋅⋅⋅。

求证s 为一完备的距离空间。

3．在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>，存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。

求证{}n x 收敛。

4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的*B 空间5．为了()F C M ⊂使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的且等度连续的函数族。

6． 设(),A x y ϕ∈，求证（1）.1sup x A AX≤=，（2）1sup x A AX<=。

7．设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数，并存在0M>，使得(),a x y M x y≤，则存在唯一的()A x ϕ∈，使得()(),,a x y x Ay =且()(),0,0,supx y X Xx y a x y A x y∈⨯≠≠=。

8． 求证()2f L ∀∈Ω，方程()0u f u ∂Ω⎧-∆=Ω⎪⎨=⎪⎩在内若解存在唯一。

9．设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ∀∈≠。

求证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()()()02.x f x x ρρ≤。

10． 叙述开映象定理并给出证明。

11． 叙述共鸣定理并给出证明。