北京航空航天大学
研究生应用泛函分析试题（2012年）
一、证明（0,1）为可列集。
二、（1）证明康拓三分集为不可列集。
（2）求康拓三分集的测度。
三、证明l p （1≤p<+∞）空间为距离线性空间。
四、证明任何n 维实赋范线性空间X 必与R n 现性同胚。
五、设M[a,b]是区间[a,b]上有界函数的全体按逐点定义的加法和数乘形成的现行空间。定义
sup (),()[,]a t b
x x t x x t M a b ≤≤=∀=∈
证明M[a,b]按此范数构成Banach 空间
六、设X1，X2均为Banach 空间，在积空间X1×X2中定义范数
121,2(,)sup ,,
1,2i i i i x x x x X i ==∈=
证明X1×X2是一个Banach 空间。
七、（1）Hilbert 空间中最佳逼近元的存在性和唯一性如何？
（2）如何求x 在M 中的最佳逼近元？
八、方程（I-T ）x=y 有解否？什么时候有唯一解？如何用迭代法求解？迭代法误差如何？
九、M 是赋范线性空间X 中的一个闭超平面，当且仅当存在0≠f ∈X ’及r ∈R ，使得M={x ∈M|f(x)=r}。
十、证明如果X ’是可分的，则X 也可分。
十一、设X 是一个Hilbert 空间，则对任意y ’∈X ’,都有唯一y ∈X ，满足
','()(,),y y y x x y x X ==∀∈
十二、三类谱
十三、设Y 是Banach 空间，则K(X,Y)是L(X,Y)的闭子空间。 十四、设T ∈L(X)是自伴的，则()T R σ⊂。
十五、证明F 可微必G 可微。
十六、（1）如何求f(x)=x3-x+1在[-2,-1]上的近似解？（2）证明你的方法的合理性。
