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中考数学综合提升训练 圆中有关的辅助线

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1 圆中有关的辅助线 一、选择题 1. (2015·广东梅州)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于( ) A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°

,(第1题)) ,(第2题))

2. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB为6 dm.如果再注入一些油后，油面AB上升1 dm，油面宽为8 dm，那么圆柱形油槽的直径MN为( ) A. 6 dm B. 8 dm C. 10 dm D. 12 dm 3. 如图，C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，CD︵的长为13π，则图中阴影部分的面积为( ) A. 16π B. 316π C. 124π D. 112π＋143

,(第3题)) ,(第4题))

4. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(2，a)(a>2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是( ) A. 3 B. 2＋2 C. 23 D. 2＋3 5. (2015·浙江温州)如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为

边向外作正方形ACDE和正方形BCFG.DE，FG，AC︵，BC︵的中点分别是M，N，P，Q.若MP＋NQ＝14，AC＋BC＝18，则AB的长为( ) 2

A. 92 B. 907 C. 13 D. 16

,(第5题)) ,(第6题))

6. 如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于( )

A. 412 B. 3 C. 4 D. 3 二、填空题 7. (2014·四川宜宾)如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点．过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连结AC，CB.若∠ABC＝30°，则AM＝________．

,(第7题)) ,(第8题))

8. 如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF.若⊙O的半径为52，CD＝4，则弦EF的长为________． 9. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为________cm2.

,(第9题)) ,(第10题))

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝43.若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.

(1)当点D运动到线段AC的中点时，DE＝________． 3

(2)若点A关于点D的对称点为F，以FC为半径作⊙C，当DE＝________时，⊙C与直线AB相切． 三、解答题 11. 如图，AC，BD为⊙O的两条弦，且AC⊥BD，⊙O的半径为12，求AB2＋CD2的值．

(第11题) 12. (2015·浙江丽水)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E.过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.

(第12题) (1)求证：DF⊥AC. (2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积． 4

13. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝45°.连结BO并延长，交AC于点G，AB＝4，AG＝2.求： (1)∠A的度数． (2)⊙O的半径．

(第13题)

14. 如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，C与D分别是劣弧AB︵与优弧ADB︵上的任意一点(点C，D均不与点A，B重合)． (1)求∠ACB的度数． (2)求△ABD的最大面积．

(第14题) 5

15. (2014·江苏苏州)如图，已知⊙O上依次有A，B，C，D四点，AD︵＝BC︵，连结AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到点E，使BE＝AB，连结EC，F是EC的中点，连结BF.

(1)若⊙O的半径为3，∠DAB＝120°，求BD︵的长． (2)求证：BF＝12BD. (3)设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在一点P(不同于点B)，使得PG＝PF？并说明PB与AE的位置关系．

(第15题) 6

参考答案 1．D 2．C[设AB上升1 dm后的油面为PQ，如解图，过点O作OC⊥AB于点C，交PQ于点D，连结OP，OA．可得AC＝3，PD＝4，CD＝1．设OM＝R．∵OC＝OD＋CD，∴R2－32＝R2－42＋1，解得R＝

5(负值舍去)．∴MN＝10 dm．]

(第2题解) 3．A[∵点C，D三等分半圆，∴CD︵的度数为60°，∴60π·R180＝13π，∴R＝1．连结OC，OD，CD，则△OCD为正三角形，且CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD．∴S阴影＝S扇形OCD＝16πR2＝16π．] 4．B[易知点P到AB的距离为d＝22－（3）2＝1．过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线y＝x于点C．则CQ＝OQ＝2，

PC＝2d＝2，∴a＝PQ＝2＋2．] 5．C[连结OP，OQ，分别交AC，BC于点K，J．∵P是AC︵的中

点，∴OP⊥AC，∴OP∥BC，K是AC的中点，∴MK∥BC，∴M，P，K，O四点共线．同理可得N，Q，J，

O四点共线，J是BC的中点．∴OK＝12BC，OJ＝12AC，∴OK＋OJ＝12(BC＋AC)＝9，PK＋QJ＝(MK＋NJ)

－(MP＋NQ)＝18－14＝4，∴AB＝OP＋OQ＝OK＋PK＋OJ＋QJ＝9＋4＝13．] 6．D[过点A作AH⊥BC于点H，作直径CF，连结BF．∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF．又∵AD＝AB，AE＝AF，∴△ADE≌△ABF(SAS)，∴BF＝DE＝6．∵AH⊥BC，∴CH＝BH．又∵CA＝AF，∴

AH为△CBF的中位线，∴AH＝12BF＝3．] 7．33[连结OM，OC．∵OB＝OC，∠ABC＝30°，∴∠BCO＝∠ABC＝30°．∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°．∵MA，MC分别为⊙O的切线，∴MA＝MC，∠MAO＝∠MCO＝90°．在Rt△AOM和Rt△COM中，∵MA＝MC，OM＝OM， ∴Rt△AOM≌Rt△COM(HL)，

∴∠AOM＝∠COM＝12∠AOC＝30°．在Rt△AOM中，∵OA＝12AB＝1，∠AOM＝30°，∴AM＝OA·tan 30°＝33．] 8．25[连结AO并延长交CD于点H，连结OC．∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB．∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH＝12CD＝12×4＝2．∵OA＝OC＝52，∴OH＝OC2－CH2＝522－22＝32， 7

∴AH＝OA＋OH＝52＋32＝4，∴AC＝AH2＋CH2＝42＋22＝25．∵∠CDE＝∠ADF，∴CE︵＝AF︵，∴CE︵＋CF︵＝AF︵＋CF︵，即EF︵＝AC︵，∴EF＝AC＝25．] 9．40[连结HE，AD，设HE与BG相交于点M，AD与BG相交于点N．在正八边形ABCDEFGH中，易得HE⊥BG，AD⊥BG．∵正八边形的每个内角为（8－2）×180°8＝135°，∴∠HGM＝45°，∴MH＝MG．设MH＝MG＝x，则HG＝AH＝AB＝GF＝2x，

∴BG·GF＝(2x＋2x)2x＝2(2＋1)x2＝20，∴四边形ABGH的面积＝12(AH＋BG)·HM＝(2＋1)x2＝10，∴正八边形的面积为10×2＋20＝40(cm2)．] 10．(1)3[∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝43，∴BC＝12AB＝23，AC＝6．∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC．∵D为AC的中点，∴E为

AB的中点，∴DE＝12BC＝3．] (2)32或332[过点C作CH⊥AB于点H．又∵∠A＝30°，AC＝6，

∴CH＝3．分为两种情况：①如解图①．∵CF＝CH＝3，∴AF＝6－3＝3．∵点A和点F关于点D对称，∴AD＝DF＝12AF＝32．∵DE⊥AC，∠A＝30°，∴DE＝AD·tan 30°＝32．

,(第10题解①)) ,(第10题解②))

②如解图②．同理于①，可得DE＝332．] 11．1． 12．(1)提示：连结OD，证OD∥AC． (2)4π－8． 13．(1) 90°．(2)43． 14．(1)连结OA，OB，过点O作OE⊥AB于点E．∵OA＝OB，∴AE＝BE．在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝12AB＝3，∴OE＝OA2－AE2＝1，∴∠OAE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝2∠AOE＝120°．∵∠ADB＝12∠AOB，∴∠ADB＝60°．∵四边形ACBD为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∴∠ACB＝180°－∠ADB＝120°． (2)过点D作DF⊥AB，垂足为F，则S△ABD＝12×23DF．显然，当DF经过圆心O时，DF取得最大值，从而S△ABD取得最大值，此时DF

＝DO＋OF＝2＋1＝3，S△ABD＝12×23×3＝33，∴△ABD的最大面积是33． 15．(1)连结OB，OD．∵∠DAB＝120°，∴∠BOD＝2×(180°－120°)＝120°．∵⊙O的半径为3，∴BD︵的长为120π×3180＝2π． (2)连结AC．∵AB＝BE，∴B为AE的中点．又∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴

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(完整版)初中几何辅助线——圆常用辅助线

(完整版)初中几何辅助线——圆常用辅助线

初中几何辅助线——圆常用辅助线题型 1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例1如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，P A = 4cm .求⊙O 的半径.题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,求证：证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴题型3.有弦中点时常连弦心距例3如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o －∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例4如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B .求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M ,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例5如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的 中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴»»AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例6如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12 AP练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：BC CF BE EF=题型6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC（提示如图）题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线例7已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =12 AD证明：作直径CF，连结DF、BF ∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴»»AD BF=∴AD = BF∵OE⊥BC O为圆心CO = FO ∴CE = BE∴OE =12 BF∴OE =12ADP2题图A1题图BA题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例8如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠F AC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB ·AC= AD ·AE证明：连结BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE ∽△ADC∴AE AB AC AD∴AB ·AC = AD ·AE题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例9如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F .求证：CE ∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴∠C ＋∠D = 180o ∴CE ∥DF题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例10如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结P A 、PB .求证：P A 、PB 为⊙O 的切线 证明：连结OA ∵PO 为直径∴∠P AO = 90o ∴OA ⊥P A∵OA 为⊙O 的半径 ∴P A 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例11如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于F ∵OE 为半径，AB 为小圆的切线∴OE ⊥AB ∵OF ⊥CD , AB = CD∴OF = OE ∴CD 为小圆的切线P练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E , 求证：PE 是⊙O 的切线题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例12如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o ，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长.解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC∴OE AOBC AB=在Rt △ABC 中，AB= 15==∴15915OE AB OB OEAB --==∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CDCC AE。

圆的辅助线作法详讲

圆的辅助线作法详讲

初中数学“圆中辅助线”添法探究弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的同旁. 过O 作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则AE=12 AB=3.连结OA 、OC. ∵AB ∥CD,∴OE ⊥CD 于F ，则EF 是平行弦AB 、CD 间的距离. 在Rt △OEA 中，由OA=5,AE=3得OE=3522=4.同理可得OF=3.∴EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的两旁. 过O 点作OE ⊥AB 于E ，延长EO 交CD 于F. 连结OA 、OC.∵AB ∥CD ，则EO ⊥CD 于F. ∴EF 是平行弦AB 、CD 间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7. 启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理， 依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC,△ABD 的外接圆交BC 于E.求证:AD=EC.分析:连结DE ，由圆周角∠1=∠2,可得AD=DE. 欲证AD=EC ，只要证DE=EC 即可.证明:连结DE.∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴AD=DE.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠3是圆内接四边形ABED的外角,∴∠3=∠ABC.∴∠3=∠C,∴DE=EC,∴AD=EC.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.证明:连结BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90º，△BDC为Rt△.又∵∠ABC=90º，AB是☉O的直径，∴BC切☉O于点B.又∵DE切☉O于D,∴BE=DE，则∠BDE=∠DBE.∵∠1+∠BDE=90º，∠C+∠DBE=90 º,∴∠1=∠C，∴DE=EC.∴BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线. 四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC 是☉O 的直径，AB 交☉O 于D ，DE 切☉O 于D ，交AC 于E. 求证：OE ∥BA.证明:连结OD.∵DE 切☉O 于D, ∴∠EDO=90 º.又∵∠C=90 º，OC=OD ， OE=OE, ∴Rt △ECO ≌RtEDO. ∴∠1=∠2= 12 ∠COD.又∵∠B= 12 ∠COD,∴∠1=∠B. ∴OE ∥BA.例5 已知:如图点O ′为∠AOB 角平分线上一点,以O ′为圆心作☉O ′与OA 相切于点E. 求证:☉O ′与OB 相切.证明:过点O ′作O ′F ⊥OB 于F ，连结O ′E. ∵OA 切☉O ′于点E,∴O ′E ⊥OA 于点E;O ′E 为☉O ′的半径. 又∵点O ′为∠AOB 角平分线上的点, ∴O ′E=O ′F.∴☉O′与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例 6 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D 四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则∠BPM=∠A，∠CPM=∠D.∵∠APD+∠A+∠D=180º,∴∠APD+∠BPM+∠CPM=180º.∵∠BPM+∠CPM=∠BPC,∴∠APD+∠BPC=180º.例7 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:∠APB=∠CPD.证明:过点P作公切线TP.则∠APT=∠D ,∠BPT=∠BCP.∵∠APB=∠BPT-∠APT,∠CPD=∠BCP-∠D,∴∠APB=∠CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8 已知:☉O1与☉O2相交于A、B两点,E为☉O1上的一点,EF 切☉O1于点E,EA、EB的延长线交☉O2于C、D两点.求证:EF∥CD.证明:连结AB，则∠1=∠2.∵四边形ABDC是☉O2的内接四边形,∴∠2=∠D.∴∠1=∠D.∴EF∥CD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9 已知:如图,在Rt△AOC中，直角边OA在X轴负半轴上，OC 在Y轴正半轴上，点F在AO上,以点F为圆心的圆与Y轴、AC边相切，切点分别为O、D,☉F与X轴的另一个交点为E.若tanA=34,☉F的半径为32. （1）、求过A 、C 两点的一次函数解析式；（2）、求过E 、D 、O 三点的二次函数解析式； （3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上.分析：解本题（1）（2）两问的关键是求A 、C 、E 、D 、O 五个点 的坐标.解：（1）过切点D 作☉F 的半径DF ，则∠ADF=90º. 在Rt △ADF 中，由tanA=34 和半径DF=32 得AD=2.∴AF=AD 2+DF 2= 52，则AO=AF+FO=4.在Rt △AOC 中，由AO=4和tanA=34，得OC=3，AC=5.则A 、C 两点的坐标为:A （-4，0），C （0，3）. 设:所求一次函数解析式为y=kx+b. 由A 、C 两点的坐标求得k=34 ，b=3.∴所求一次函数的解析式为:y=34x+3.(2)过点D 作DG ⊥AO 于G ，则Rt △ADG ∽Rt △ACO. ∴AD AC =DG CO ，即25 =DG 3 得DG=65 .由于点D 在AC 上， 把DG=65 代入y=34 x+3，可求得D 点的横坐标为:- 125.∵OE=2OF=2×32=3,∴E 、D 、O 三点的坐标为:E （-3，0），D （- 125 ，65 ）、0（0，0）.设:过E 、D 、O 三点的二次函数解析式为y=ax 2+bx+c.则: 9a-3b+c=0, a=- 56,14425 a- 125 b+c= , b=- 52 , c=0, c=0 . ∴所求二次函数解析式为:y=- 56 x 2- 52x.（3）由y=- 56 x 2 - 52 x 易得抛物线的顶点坐标为:（- 32 ，158 ）.经检验得,点（- 32 ，158 ）在直线y = 34 x + 3上.∴抛物线y=- 56 x 2 - 52x 的顶点在直线AC 上.启示:本题的辅助线是通过图形特征，挖掘题中的明显和隐含条件，而达到目的.综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.[课后冲浪]一、证明解答题16．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．17．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.18．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.ABCDO E19．如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？20．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.A21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.22．如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．23．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.A...N三、探索题24．已知：图a，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：（1）DC是⊙O的切线，（2）过D点作DE⊥AB，图b所示，交AC于P点，请考察P点在DE的什么位置？并说明理由.B 图aB 图b。

专题08 解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略(解析版)

专题08 解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略(解析版)

专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一遇弦作弦心距或半径】 (1)【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】 (5)【类型三遇切线连接圆心和切点】 (15)【典型例题】【类型一遇弦作弦心距或半径】【答案】45cm/45厘米【分析】连接BO，延长OC即可求解．【详解】解：如图，连接【变式训练】【答案】5【分析】设光盘的圆心为的值即可．【详解】解：设光盘的圆心为过点O 作OA 垂直直尺于点∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是∴()11022AB =⨯-=【答案】16【分析】过点O 作OD AB ⊥Rt AOD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点∵水的最深处到水面AB 的距离为∴1046OD =-=cm ，在Rt AOD 中，AD AO =∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面拱门所在圆的半径为【答案】2.6【分析】如图所示，连接勾股定理建立方程221r =【详解】解：如图所示，连接【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，AB 为O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC CD =，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．(1)求证A D ∠=∠；(2)若»AE 的度数为108︒，求E ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)27︒【分析】（1）连接BC ，首先证明AB BD =，即可求解；（2）根据»AE 的度数为108︒，可得到EBA ∠，根据EBA A D ∠=∠+∠，且A D ∠=∠，即可求解．【详解】（1）如图：连接BCAB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，即AD BC⊥【变式训练】【答案】4【分析】连接BO 并延长交根据含30︒角直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接BO 则90BCD ∠=︒，∵30BAC ∠=︒，∴30D BAC ∠=∠=︒【答案】50︒/50度【分析】连接AC ，利用三角形外角的性质即可求出【详解】解：连接AC ，如图所示，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵100AED ∠=︒，ABD ∠∴40D ∠=︒，(1)求证：OE AC ∥；(2)若1AC =，4AB =，求【答案】(1)见解(2)10∴在Rt ABC △中，BC =∵OD BC ⊥，OE 是O(1)求证：CD DE=；(2)若12AB=，4=AD，求【答案】(1)证明见解析(2)8 3∴180DEB A ∠+∠=︒，又180DEB DEC ∠+∠=︒∴DEC A ∠=∠，∵∥OD BC ，∴C ADO ∠=∠，∵OA OD =，∴A ADO ∠=∠，∴C DEC ∠=∠，∴CD DE =；（2）解：如图所示，连接AE ，∵AB 为直径，∴90AEB ∠=︒，∴90CAE C ∠+∠=︒，90AED DEC ∠+∠=︒，由（1）CD DE =，C DEC ∠=∠，∴CAE AED ∠=∠，∴AD DE =，∴AD DC =，∴28AC AD ==，由（1）可得BAC ADO ∠=∠，C ADO ∠=∠，则C BAC ∠=∠，∴12AB BC ==，设CE x =，则12BE x =-，∵2222AC CE AB BE -=-，(1)求证：点C是弧AB的三等分点．(2)求AE的长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）如图所示，连接OD（2）∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵BOC 是等边三角形，∴6BC OA ==，∴2263AC AB BC =-=，∵1452ACD AOD ∠=∠=︒，是等腰三角形．(1)求证：ABC的直径，∵BC是O中，在Rt BCE【类型三遇切线连接圆心和切点】(1)求证：=；EC BC(2)若43AC=，CE=【答案】(1)见解析(2)1235的切线，为OCD∴⊥，OC CD，⊥AD CD∴∥，AD OC∴∠=∠，DAC ACO由（1）得：DAC CAB ∠=∠33CE BC ∴==，CD AE ⊥ ，CD CF ∴=，AB 是O 的直径，【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，若AC PC =，则P ∠的度数是（）A ．15︒B ．20︒C ．30︒D ．45︒【答案】C 【分析】连结OC ，根据切线的性质得到90PCO ∠=︒，根据OC OA =，得到A OCA ∠=∠，根据AC PC =，得到P A ∠=∠，在APC △中，根据三角形内角和定理可求得30P ∠=︒．【详解】解：如图，连结OC ，PC 是O 的切线，90PCO ∴∠=︒，OC OA = ，A OCA ∴∠=∠，AC PC = ，P A ∴∠=∠，设A OCA P x ∠=∠=∠=︒，在APC △中，180A P PCA ∠+∠+∠=︒，90180x x x ∴+++=，30x ∴=，30P ∴∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在APC △中，根据三角形内角和定理求P ∠是解题的关键．2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 在O 上，过点B 作O 的切线交OA 的A．1B．【答案】D【分析】连接OB，根据菱形的性质得到即可得到结论．四边形OABC是菱形，∴=，OA ABOA OB，=∴==，OA AB OB【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，【答案】36【分析】连接OD ，根据直角三角形的性质求出【详解】解：连接OD ，弦AB CD ⊥，90CPB ∴∠=︒．63ABC ∠=︒ ，906327PCB ∴∠=︒-︒=︒，由圆周角定理得，254EOD PCB ∠=∠=︒，DE 是O 的切线，90ODE ∴∠=︒，905436E ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：36．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，AB 为O 的直径，点C 、D 为O 上两点，且点D 为 BC的中点，连接AC CD BD 、、．过点D 作DF AB ⊥于点F ，过点D 作O 的切线DE ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE AE ⊥；(2)若108BD DF ==，，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）连接OD AD 、，由点D 为 BC的中点可得BAD CAD BD CD ∠∠==，，再根据同圆的半径相等得BAD ODA ∠∠=，进而得到OD AE ，然后再根据切线的性质得到结论；∵点D 为BC 弧的中点，∴ BDCD =，∴BAD CAD BD ∠∠=，∵OA OD =，∴()AAS DCE DBF ≌，∴6CE BF ==【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，AB 为O 的直径，半径OD AB ⊥，O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，O 的弦CD 与AB 相交于点F ．(1)求证：EF EC =；(2)若10OE =，且B 为EF 的中点，求O 的半径长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC CE ⊥，求得90OCF ECF ∠+∠=︒，根据等腰三角形的性质得到OCF ODF ∠=∠，求得90ODF OFD ∠+∠=︒，得到ECF OFD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）设O 的半径为r ，则OB OC r ==，求得10BE BF r ==-，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC ，，O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，OC CE ∴⊥，90∴∠=︒OCE ，即90OCF ECF ∠+∠=︒，∠(1)求证：BC平分ABD∠(2)连接OD，若ABD 【答案】(1)证明见解析(2)7∵直线l 与O 相切于点C ∴OC l ⊥于点C ．∴90OCD ∠=︒．∵BD l ⊥于点D ，∴=90BDC ∠︒．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出 AB的中点．法）的切线，分别交(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作O∠=∠；①求证：F CBA（2）①证明：连接∠，CD平分ACB ∴∠=∠，ACD BCD∴=，AD BD∴⊥，OD AB。

初中数学圆的辅助线八种作法

初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。

百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。

添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。

求证：PO 平分∠APD 。

分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。

证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。

证法2：连结OA ，OD 。

∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。