2020中考数学二轮复习几何专题突破 三角形中常见辅助线的添加技巧(原卷版)

DC B AEDFCBA全等三角形及其辅助线作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”（或构造平行线的X 型全等）．2) 遇到角平分线，一是可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，二是在角的两边上截取相同的线段，构成全等。

利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，也是运用了角的对称性。

3) 截长法与补短法，具体做法是在较长线段上截取一条线段与特定线段相等，使剩下的线段与另一条线段相等；或者是将两条较短线段中的一条延长，使这两条线段的和等于较长的线段。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等题目．4) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．也可以将两腰分拆到两个三角形中，证明这两个三角形全等。

特殊的应用有等边三角形与等腰直角三角形。

5) 此外，还有旋转、折叠等情况。

(一)、中点线段倍长问题（中线倍长或者倍长中线）：1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.2、如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。

当AE=AF 时，求证BE=CF 。

3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.4、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB AA BC D E F5 如图，AB=AC ，AD=AE ，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。

求证：AM ⊥DC 。

应用：1、以△ABC 以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，且∠BAD=∠CAE-90°，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ° (0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）角平分线与轴对称1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠C=2∠B ，求证:AB=AC+CD.2、 如图，直线l 1∥l 2，直线m 与直线l 1 、l 2交于A 、B 两点。

3．（2019·江苏省中考真题）将边长为 的正方形 绕点 按顺时针方向旋转到 的位置（如图），使得点 落在对角线 上， 与 相交于点 ，则 ＝_________.（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质得到CD=1，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得CF= ，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．
Rt△AOF∽Rt△ADC，则 ，求出AF=5，即可得出结果．
【详解】
解：连接 交 于点 ，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
，
∵折叠矩形使 与 重合时， ， ，
∴ ， ，
∴则Rt△AOF∽Rt△ADC
∴ ，即： ，
解得： ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键．
∴H（1，0），
∴BH= =4，
∴ = ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．
5．（2019·山西省中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.

中考数学如何巧妙的添加辅助线在中考中，数学考试中的添加辅助线问题是一个非常常见的考点。

合理添加辅助线可以帮助我们更好地理解题目，简化问题，而不妨碍最终的解题思路和结果。

下面将介绍一些巧妙的添加辅助线的方法。

一、三角形问题：1.中点辅助线法：当我们面对一个三角形问题时，如果涉及到三角形的边的中点或高度等，可以尝试添加中点辅助线。

这样可以将原有的三角形拆分为更简单的几何图形，从而更好地解题。

例如：已知一个平行四边形，且四个交角都是90°，两边分别是5cm和4cm，求平行四边形的周长。

解题思路：我们可以先绘制平行四边形，然后添加一个对角线，将平行四边形划分为两个等腰三角形。

然后可以通过计算三角形的周长，再将结果相加，得到最后的答案。

2.相似三角形法：当我们面对一个问题涉及到相似三角形的情况时，可以通过添加相似三角形的辅助线来简化问题。

例如：已知一个直角三角形ABC，AB=9cm，AC=12cm，通过辅助线BD和BC=C切割出两个小直角三角形。

求BD的长度。

解题思路：我们可以通过已知条件绘制直角三角形ABC，然后添加一条辅助线BD，连接B和C。

由于BC=AB，所以三角形BCA和BAC是相似的。

因此，我们可以利用相似三角形之间的比例关系，设BD=x，则有x/9=12/9，解得x=16，所以BD的长度为16cm。

二、平行四边形问题：1.中心对角线辅助线法：当我们面对一个平行四边形问题时，可以通过添加中心对角线辅助线来简化问题。

例如：已知平行四边形ABCD的对角线AC与边AD垂直相交，且AC=4cm，AD=3cm，求平行四边形的面积。

解题思路：我们可以先绘制平行四边形ABCD，然后通过已知条件绘制对角线AC，并与边AD垂直相交，连接交点E。

由于AC与AD垂直相交，所以AE是AD的中线。

我们可以利用平行四边形的性质，使AE和AC之间的线段通过重合，就可以拆分出一个矩形和两个直角三角形。

然后可以通过计算矩形和直角三角形的面积，再将结果相加，得到最后的答案。

初中数学三角形辅助线技巧
在解决初中数学中的三角形问题时，添加辅助线是一种常见的策略。

以下是一些常见的三角形辅助线添加技巧：
1. 中点连线：如果已知三角形的一个中点，可以通过连接这个中点到其他顶点来找到新的等腰三角形或平行四边形，从而简化问题。

2. 平行线：通过作平行线，可以构造新的平行四边形或相似三角形，从而利用这些图形的性质来解决问题。

3. 延长线：在某些情况下，延长线可以帮助我们找到新的角或线段，从而利用这些信息解决问题。

4. 作高：在直角三角形中，可以通过作高来找到新的线段或角，从而找到解决问题的线索。

5. 作角平分线：角平分线可以将一个角分为两个相等的角，从而帮助我们找到新的等腰三角形或平行线。

6. 构造全等三角形：通过添加辅助线，可以构造两个或多个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。

7. 倍长中线：在已知中点的情况下，可以通过倍长中线来找到新的等腰三角形或平行四边形。

8. 构造相似三角形：通过添加辅助线，可以构造两个相似的三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。

以上技巧并非一成不变，需要根据具体的问题和条件灵活运用。

在解决三角形问题时，多思考、多实践是提高解题能力的关键。

三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线 （一）、截取构全等如图1-2，AB3 C 知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。

求证：AF=AD+CF 。

3.已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过FH 21知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，作FC图2-6ECD图2-7DBAD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。

分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。

求证：AM=ME 。

分析：由A D 、A E 是∠B A2121图4-1AB已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+ADC A BABCD AE BDA BDC 1 2 图3-2BC二、 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。

《三角形辅助线作法攻略》➢考点考向1. 与角平分线有关的辅助线2. 与线段长度相关的辅助线3. 与等腰、等边三角形相关的辅助线4. 与中点相关的辅助线5. 构造一线三垂直（等角）6. 等面积法✧考点一：与角平分线有关的辅助线（1）可向两边作垂线。

（2）可构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形【例1】已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE ⊥BD交BD延长线于E．求证：CE＝BD．【例3】如图，AC平分∠BAD，CD＝CB，AB＞AD，求证：∠B+∠D＝180°．考点二：与线段长度有关的辅助线（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

【例4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AB＝AC+CD．✧考点三：与等腰、等边三角形相关的辅助线（1）考虑三线合一（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °【例5】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.✧考点四：与中点有关的辅助线遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

【例6】如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE 交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．考点五：构造一线三垂直（等角）【例7】（1）观察猜想：如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE ＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为；（2）问题解决：如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；（3）拓展延伸：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．考点六：等面积法（1）利用连线将一个大的三角形的面积切割为几个小三角形的面积和；（2）连线后得到等底等高的三角形面积相等。

专题07 全等三角形中的辅助线问题【类型】一、全等三角形中的辅助线问题-作平行线一、单选题1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE△AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1B．1.8C．2D．2.52．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE△AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5B．0.9C．1D．1.25二、填空题3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC△BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：△△CPD＝135°；△BA＝BP；△△P AC△△PDB；△S△ABP＝S△DCP；CD．其中正确的是___．（填序号）△PM＝12三、解答题4．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE△AC于E，若AB＝6，求DE的长．=，连接DE交BC 5．如图所示：ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD CE于点M．求让：MD ME=6．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且△BAE=△CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG△DE于G,BF△DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF△AB交DE的延长线于F.7．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE△AC于E，若BC=4，求DE的长．8．如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，△CEF＝△A，连接DF．（1）在图1中找出与△ACE相等的角，并证明；（2）求证：△BDF＝△EFC；（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求DGDF的值（用含k的代数式表示）．9．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【类型】二、全等三角形中的辅助线问题-作垂线一、单选题1．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，90BAD CAE ∠=∠=，AH △BC 于H ，HA 的延长线交DE 于G ，下列结论：△DG ＝EG ；△BC ＝2AG ；△AH ＝AG ；△ΔΔABC ADE S S =，其中正确的结论为（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△二、填空题 2．如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点E 在AC 上，且AE ＝1，连接BE ，△BEF ＝90°，且BE ＝FE ，连接CF ，则CF 的长为____________3．如图，ABC 中，,90,(0,3), (1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．三、解答题4．已知△ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB△MN于点B，如图易证BD＋AB2＝，过程如下：解：过点C作CE△CB于点C，与MN交于点E△△ACB＋△BCD＝90°，△ACB＋△ACE＝90°，△△BCD＝△ACE．△DB△MN，△△ABC＋△CBD＝90°，CE△CB，△△ABC＋△CEA＝90°，△△CBD＝△CEA．又△AC＝DC，△△ACE△△DCB（AAS），△AE＝DB，CE＝CB，△△ECB为等腰直角三角形，△BE2＝．又△BE＝AE＋AB，△BE＝BD＋AB，△BD＋AB2＝．（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．5．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD△AC，BC△AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．（1）求证：△EAF△△DAF；（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求△DCF的度数．6．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，△BCD=α°，△ABC+△ADC＝180°，A C、BD交于点E．将△CBA 绕点C顺时针旋转α°得到△CDF．（1）求证：△CAB＝△CAD；（2）若△ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值．7．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且△BAE＝△CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．△如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；△如图2，分别过点B、C作BF△DE，CG△DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．8．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．9．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且△BAE=△CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．10．如图，已知△AOB＝60°，在△AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当△DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当△DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当△DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【类型】三、全等三角形中的辅助线问题-补全图形法一、解答题1．如图，ABC 中，AC ＝BC ，△ACB ＝90°，AD 平分△BAC 交BC 于点D ，过点B 作BE △AD ，交AD 延长线于点E ，F 为AB 的中点，连接CF ，交AD 于点G ，连接BG ．（1）线段BE 与线段AD 有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG 的形状，并说明理由．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于(,0) ,(0,)A a B b 两点，且,a b 满足2()|4|0a b a t ，且0,t t >是常数，直线BD 平分OBA ∠，交x 轴于点D ．（1）若AB 的中点为M ，连接OM 交BD 于点N ，求证：ON OD =；（2）如图2，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，猜想AE 与BD 间的数量关系，并证明你的猜想．3．如图，在△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分△BAC ，CE△AE 点F 在AB 上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论4．已知，如图ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点E ，90BDC ∠=︒， 求证：2CE BD =.5．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．6．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD、BD．（1）如图1，当△BAC=100°，60α=时，△CBD 的大小为_________；（2）如图2，当△BAC=100°，20α=时，求△CBD的大小；（3）已知△BAC的大小为m（60120<<），若△CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的m大小．。

黄冈教育 初三数学专题复习（二）添加辅助线方法总结角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

（一）角分线上点向角两边作垂线构全等例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。

求证：∠ADC+∠B=180(二)利用角平分线，构造对称图形例2已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。

求证：BC=AB+DC 。

图2-1BCC图2-6ECD例3.如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4, 求证：BE ＋CF ＞EF 。

例4.已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。

求证：DH=21（AB-AC ）练习：1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥OA ， 如果PC=4，则PD=（ ）A 4B 3C 2D 1 2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=2AC. 求证：∠B=2∠C3.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，∠FAE=∠DAE 。

求证：AF=AD+CF 。

4.已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。

求证CF=BH 。

DBAAOPBCBABCD EFN13 图1234C5.已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。

二、由中点想到的辅助线 （一）、由中点应想到利用三角形的中位线例1．如图3，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别交EF 的延长线G 、H 。

中考复习中常见“三角形”辅助线添加策略摘要：随着教育改革的发展，中学数学教育教学的方法和培养理念也有所调整。

从《课程标准》的修订就可以看出，教育部门对学生数学核心素养的打造有了更加直观的方向，同时对学生数学的应用能力有了进一步的认识和要求。

纵观近几年来成都中考试题，几何题目设置和安排可以看出对学生平面几何的探究性能力有了更高一步的要求。

几何部分知识点的考核主要分布在A卷的选择填空题，以及A卷20题及B卷27题，其中证明题型主要分布在两道答题中。

学生在对几何相关知识点有了基础的认识以后，通过对开放式的问题进行探究，从而理解初中数学“图形与几何”以何种形式存在。

因此，在具体复习中，任课教师需要结合考试说明、中考考情、学情、教材等进行整合，充分挖掘学生学习潜力，在实际上课过程中提升学生的几何综合应用能力。

关键词：培养理念；核心素养；图形与几何；应用能力首先，要明确以“三角形”为基础框架的几何地位。

在中学数学体系中，平面几何有着举足轻重的地位，基于三角形的图形基本上占据了初中数学教材的半壁江山。

其次，在学生具体学习和探究过程中，平面几何的学习对学习能力的要求明显高于其他部分的知识，而三角形不仅可以联系四边形进行考察，还可以和函数进行综合，因此不少学生有畏难情绪。

最后，综合多次中考的情况，试题分值上图形与几何比重很大，共计70分，难度上至少占了60％。

以2019年成都中考为例，函数与三角形综合问题共计10分，全等、相似、等腰三角形、直角三角形等共计30分以上。

在知识结构方面，初中阶段平面几何以点、线、角等方式呈现相交线与平行线、多边形等图形，从考查方式上以全等、相似、位似、平移、旋转等出现。

形式多样，变化万千，但是本质上万变不离其宗。

而三角形作为重要角色，担负着勾连其他知识板块的重任。

所以，加强学生数学思想的培养势在必行。

教师有必要引导学生总结归纳平面几何中基本常见三角形常见模型，归纳学习方法，如“基本图形”法、“执果索因”和“由因导果”推理法、“综合”法、“特殊值”法等。

2020中考数学冲刺：常用辅助线如何添加一.添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此添线应该叫做补图!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(7)相似三角形：相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。

三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线 （一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，D A =DB ，求证DC ⊥AC例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法图1-2DBC图1-4ABC来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢？练习1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。

三角形全等添加辅助线的技巧和方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊三角形全等添加辅助线的那些超棒技巧和方法。

比如说，当遇到两个看起来不太好直接证明全等的三角形时，咱就可以巧妙地加条辅助线呀！就好像走在迷宫里突然找到了一条捷径一样。

比如在一个三角形里，有一条边特别长，而另一个三角形里对应的边较短，这时候怎么办呢？咱就在长边上截取一段，让它和短边一样长，这不就多了个等量关系嘛！
还有哦，要是两个三角形有共同的边或者角，那辅助线简直就是开启全等大门的钥匙呀！像有两个三角形，它们有一条公共边，但是其他条件不好用，这时候把公共边延长或者作垂线，哇塞，全等的条件可能一下子就冒出来啦！比如说小明和小红一起做数学题，小明就被一道题难住了，后来小红提醒他加个辅助线，结果一下子就豁然开朗了，这不就像是在黑暗中找到了明灯嘛！
总之呀，三角形全等添加辅助线真的太神奇啦，只要你掌握了这些技巧和方法，那些原本难搞的题目就会变得轻而易举啦！。

14．（2019·青海中考真题）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.（1）求证：. 2020中考数学几何专题突破模块三：四边形中常见辅助线添加技巧例1．（2019·安徽中考真题）如图，点E 在▱ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE ，（1）求证：△BCE ≌△ADF ；（2）设▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求S T 的值 【答案】（1）证明略；（2）S T=2 【解析】【分析】 一. 和平行四边形有关的辅助线作法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形2．利用两组对边平行构造平行四边形3．利用对角线互相平分构造平行四边形（1）已知AD=BC ，可以通过证明EBC FAD ∠=∠，ECB FDA ∠=∠来证明BCE ADF ≅（ASA ）； （2）连接EF ，易证四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形，则AFE FED ABE CDE AEDF S SS S T S =+=+=四边形12S =，即可得S T=2. 【详解】 （1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，180BAD ABC ︒∴∠+∠=，又//AF BE ，180BAF ABE ︒∴∠+∠=，BAD ABE EBC FAD BAD ABE ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠，EBC FAD ∴∠=∠，同理可得：ECB FDA ∠=∠，在BCE 和ADF 中，EBC FAD BC ADECB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCE ADF ∴≅（2）解：连接EF ，BCE ADF ≅，,BE AF CE DF ∴==，又,AF BE DF CE ∥∥，∴四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形，∴,ABE AFE CDE FED S S S S ==，∴AFE FED ABE CDE AEDF S S S S T S =+=+=四边形，设点E 到AB 的距离为h 1，到CD 的距离为h 2，线段AB 到CD 的距离为h ，则h= h 1+ h 2,∴()1212111222T AB h CD h AB h h =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+1122AB h S =⋅⋅=， 即S T=2.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相关面积计算，熟练掌握所学性质定理并能灵活运用进行推理计算是解题的关键.【变式训练】1. （2018•眉山）如图，在▱ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC的中点，连结EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S△EFB ；④∠CFE=3∠DEF ，其中正确结论的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．∵CD=2AD ，DF=FC ，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE =S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．2．（2019·江苏省中考真题）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在,AD BC 上，AE CF =，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）线段GH 与AC 互相平分，见解析.【解析】【分析】（1）由垂线的性质得出∠G=∠H=90°，AG ∥CH ，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG=∠CFH ，由AAS 即可得出△AGE ≌△CHF ；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG=CH ，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：AG EF ⊥，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC ∵∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠，CFH BFE ∠=∠，AEG CFH ∴∠=∠，在AGE ∆和CHF ∆中，G H AEG CFH AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴∆≅∆；（2）线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH 、CG ，如图所示：∆≅∆，由（1）得：AGE CHF∴=，AG CH∥，AG CH∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2018·湖北省中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．【答案】证明见解析.【解析】分析：连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．详证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF ，又∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠ABC=∠DEF ，∠ACB=∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AB=DE ，又∵AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AD 与BE 互相平分．点睛：本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．例1．（2019·北京中考真题）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC ⊥EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1。

三角形中14种辅助线添加方法三角形是几何学中的基本图形之一，是由三条边和三个内角组成的闭合图形。

在解决三角形相关问题时，为了更好地理解和分析三角形的性质，可以通过添加辅助线来辅助我们的思考。

添加辅助线的方法有很多种，下面将介绍三角形中的14种常见的辅助线添加方法。

1.中垂线：通过三角形的三个顶点与对边的中点相连的线段。

中垂线可以相互垂直且交于同一点，称为三角形的垂心。

2.角平分线：从三角形的一个内角的顶点出发，将这个内角平分成两个相等的角的直线。

三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。

3.高线：从三角形的顶点到对边的垂线，与对边垂足构成的线段。

三角形的三条高线交于一点，称为三角形的垂心。

4.中线：三角形两个顶点的中点连线。

三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心。

5.对角线：连接三角形两个不相邻的顶点的线段。

6.垂直平分线：连接三角形一边的中点与该边上的顶点的直线，且与相对边垂直。

7.旁切线：从三角形的一个顶点开始，与对边相切于三角形外接圆的线段。

8.中辅线：连接三角形两个边的中点的直线。

9.内外角平分线：从三角形顶点开始，将相邻内角或外角平分成两个相等的角的直线。

10.黄金分割线：三角形的一条内角平分线与对边上适当位置的点相连接形成的线段，使得线段的两侧比例相等。

11.斜边中线：从三角形两个锐角的顶点开始，与斜边的中点相连的直线。

12.顶点角平分线：连接三角形一个顶点与另外两个相邻顶点的内角平分线。

13.倍长边线：将三角形中两个边的一部分向外延伸，与第三条边相交的直线。

14.平行线：与三角形的其中一边平行的线段。

以上是三角形中的14种常见的辅助线添加方法，通过添加辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质，解决三角形相关的问题。

在实际运用中，我们可以根据具体情况选择适合的辅助线添加方法，以便更好地解决问题。

三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线 （一）、截取构全等例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

例2． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD图1-2DB C图1-4C分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢？（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。

求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。

近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。

例2． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。