市场投资的收益和风险模型
摘要
本文提出了一个多目标规划的数学模型，解决了市场投资方案的问题，使收益值尽可能大，风险值尽可能小。
为了方便求解，我们把非线性的转化为线性的，并将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数，转化为一个目标函数，其中反应的是风险水平。另外，在考虑交易费时，由于有个最小给定值的约束使问题很复杂，为了简化，我们将问题简化为只考虑超过部分的交易费，这样也利于求解。最后，由MATLAB 求解出问题的最佳抉择与收益及其风险表：
001max ()n
i i i i f m r p m r ==-+∑
min g=max{}i i m q
01(1)1.01
n
i i i i m p m s t m =⎧++=⎪⎨⎪≤≤⎩
∑ 再将15n =带入模型，按问题一相同思路得出投资组合方案（具体方案见文中）。
关键词：多目标规划 加权系数法 市场投资
一、问题的重述
市场上有n 种资产（如股票、债券、…）),,1(n i S i 供投资者选择，某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出这在这一时期内购买i S 的平均收益率为i r ，并预测出购买i S 的风险损失率i q 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量。
购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i
u 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。（0r =5%）
1、已知n = 4时的由给出的相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用给出数据进行计算。
二、模型的假设
1、假设确定M 相当大，这一条件可以在交易额很小时，忽略交易费；
2、假设投资越分散，总的风险越小，且总体风险可用所投资的资产当中最大的一个风险来度量；
3、假设交易费按购买计算，在不买的情形下当然无须付费；
4、假设同期银行存款利率保持定值不变，且既无交易费又无风险。
三、符号的约定
:n 市场资产数目；
:i S 市场资产的种类（其中0S 表示投资银行）；
:i m 选择投资i S 的资金比例（其中0m 表示投资银行的资金比例）； :i r 购买i S 的平均收益率； :i q 购买i S 的风险损失率； :i p 购买i S 的交易费率
:i U 交易费用；
:i u 交易额较低时的交易费用；
:M 总给定的投资资金；
:f 净收益额；
:g 总体风险。
四、模型的建立与求解
（一）问题一的分析、模型的建立与求解
1、问题的分析
该问题为一个多目标规划问题，即要提出一种投资方案，既要收益尽可能大，又要让风险最小。在投资每一种资金的同时，都有着相应的一组数据对应，即收益率i r ，风险损失率i q ，交易费率i p 。对于银行来说，0005%,0,0r q p ===。但在考虑交易费时需要分段考虑：
0 0; ; .
i i i i i i i i Mm U u Mm u Mm Mm u =⎧⎪
=≤⎨⎪>⎩
在考虑总体风险时，我们要求值最小，而风险又是在所有投资项目中最大的一个风
险来度量，即要求在风险的最大值中找到一组最小值解，实际为一极小极大值问题。两者是对立矛盾的，就要我们在两者之间找到一个合适的投资方案让问题求解。 2、模型的建立
建立多目标规划函数：
4
001max ()i i i i i f Mm r U p Mm r ==-+∑
min g=max{}i i Mm q
约束条件：
4
4
01
.0,01
i i i i i i
i Mm U p M s t U m ==⎧+=⎪⎨⎪>≤≤⎩∑∑ 3、模型的求解
对于该模型的求解，是比较复杂的，直接求解几乎找不到方法，我们只好将问题进行化简处理，试探求解。
问题的复杂在于交易费有个最小给定值的约束，我们如果有一部分投资额低于给定值时，问题将十分麻烦，将对4种投资各进行两次判断是否达到最低给定值，那么总共
的情况就有82256=种。在投资额都超过最低给定值的这种情况下的交易费：
4
4
1
1
103*0.01+198*0.02+52*0.045+40*0.065=9.9300i i i i i U U p u =====∑∑
显然数据很小，我们可以忽略掉。在最好的一种方便的情况下，就是4中投资额都超过最低给定值，将使问题清晰，一目了然。然而在假设中M 为相当大，我们就更有理由将交易费低于给定值的情形忽略，将问题简化为只考虑超过部分的交易费。重新列出为：
0 ;
.i i i i i i Mm u U Mm Mm u ≤⎧=⎨
>⎩
此时把M 当作一个单位量，于是，
4
001max ()i i i i f m r p m r ==-+∑
min g=max{}i i m q
4
01
(1)1
.01
i i i i m p m s t m =⎧++=⎪⎨⎪≤≤⎩
∑ 现在问题还是比较复杂，我们将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数λ。转
化为一个目标函数：
min (1)()F g f λλ=+-⋅- 01λ≤≤
λ反应的是风险水平，0λ=时投资者只顾收益不顾风险，这样，收益可能达到最大，但是风险也达到最大；1λ=时投资者总是担心风险，不会考虑收益，这样就会把投资全
部放在银行。
对于第二个目标函数，是一个非线性的，解决十分麻烦，但是该式总有一个最大值
5m ，则有5i i m q m ≤，于是可以把该式转化为一个约束条件让问题简便。
4
5001
min (1)(())i i i i F m m r p m r λλ==--⋅-+∑
4
015(1)1.0 1,,401
i i i i i i
m p m s t m q m i m =⎧++=⎪⎪⎪
-≤=⎨⎪≤≤⎪⎪⎩
∑ 上述线性规划模型，容易由MATLAB 优化工具箱的linprog 线性规划函数求出解。我们取0,0.1,0.2,
,1λ=，编程搜索求解得到最佳抉择与收益及其风险见表1：
