2阶线性微分方程

f (0) 0 ,
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
o x x
F x g (20 x) g 2( x 10) g
由牛顿第二定律, 得
d x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
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2
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微分方程通解:
由初始条件得 故定解问题的解为

二阶齐次线性微分方程的特解
二阶齐次线性微分方程的特解形式为
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，其中c1和c2是常数，y1(x)和y2(x)是方程的两个解，叫做基解。

对于方程y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，通常可以使用分离变量法、牛顿-拉夫逊变换法等方法求出基解。

其中分离变量法就是将y(x)分解为y(x)=X(x)Y(x),然后把
微分方程转化为两个普通的一阶方程，进而得到基解。

牛顿-拉夫逊变换法就是将y(x)替换为z(x)=y(x)e^(-∫
p(x)dx),然后得到z(x)的微分方程为z''+q(x)z=0,进而得到基解。

不同的基解对应着不同的边界条件，而特解就是对应着特定边界条件的解。

通常使用积分常数法来求特解。

积分常数法是求特解的常用方法，它的基本思想是，通过已知的基解来构造出一个特解。

具体来说，对于方程y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)，我们可以找到两个基解y1(x)和y2(x)，然后构造出一个特解为yp(x) = c1y1(x) + c2y2(x) +∫
(g(x)-q(x)y1(x)-p(x)y1'(x))/(p(x)y2(x)-p(x)y1(x))dx 。

其中c1和c2是常数，通过边界条件确定。

综上,二阶齐次线性微分方程的特解可以通过求基解，结合特定边界条件来求解。

第五节
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x

二阶常系数齐次微分方程的通解
二阶常系数齐次微分方程的通解是：
Y=E^(X)(C1COS(X)+C2XSIN(BX))。

二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为：Y+PY+QY=0，其中P，Q为常数。

以R^K代替上式中的Y（K）(K=0,1,2)，得到一代数方程：R²+PR+Q=0，这方程称为微分方程的特征方程，按特征根的情况，可直接写出方程的通解。

特征方程的几种情况：
1、特征方程有两个不相等的实数根，R1≠R2，则1-1的通解为：Y=C1E(R1X)+C2XE(R2X)。

2、特征方程有两个相等的实数根，R1=R2=R，方程1-1的通解为：Y=(C1+C2X)E^(RX)。

3、特征方程有一对共轭复根，通解为：Y=E^(AX)(C1COS(β
X)+C2XSIN(BX))。

扩展资料：
微分方程：含有参数、未知函数和未知函数导数的方程。

常微分方程：未知函数是一元函数的方程。

偏微分方程：未知函数是多元函数的方程。

微分方程的阶：式中出现的未知函数最高阶导数的阶数。

二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式：Y+PY+QY=0，其中P，Q为常数。