9.3 二阶线性微分方程

微分方程二阶线性微分方程微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与函数的导数（或微分）之间的关系。

其中，二阶线性微分方程是微分方程中的一种常见形式。

在本文中，我们将从定义、特征解和常系数二阶线性微分方程等方面进行详细介绍。

一、定义二阶线性微分方程是指形如 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x) 的微分方程，其中 p(x)、q(x) 和 f(x) 都是已知函数。

其中，y''(x) 表示 y(x) 的二阶导数，y'(x) 表示 y(x) 的一阶导数，y(x) 表示未知函数，p(x)、q(x) 和 f(x) 表示已知函数。

二、特征解对于二阶线性微分方程，我们可以找到一组特解和一组通解。

特解是指特定形式的解，可以通过代入法或常数变异法等方法求解。

通解是指一组解的集合，包括特解和齐次线性微分方程的解。

齐次线性微分方程是指当 f(x) = 0 时的微分方程。

特解和通解的求解方法可以根据具体的二阶线性微分方程的特点选择不同的方法，如常数变异法、待定系数法等。

求解过程中需要注意初始条件的限制，以确保解的唯一性。

三、常系数二阶线性微分方程常系数二阶线性微分方程是指系数 p(x) 和 q(x) 都是常数的微分方程，即 y''(x) + py'(x) + qy(x) = f(x)。

对于常系数二阶线性微分方程，可以通过特征方程来求解其通解。

特征方程的形式为 r^2 + pr + q = 0，其中 r 是未知的。

特征方程的根决定了通解的形式。

当特征方程有两个不相等的实根时，通解可以表示为 y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x，其中 C1 和 C2 是常数。

当特征方程有两个相等的实根时，通解可以表示为 y(x) = (C1 +C2x)e^rx，其中 C1 和 C2 是常数。

当特征方程有两个共轭的复根时，通解可以表示为 y(x) =e^(αx)(C1cosβx + C2sinβx)，其中 C1 和 C2 是常数，α 和β 是复数。

6.3 二阶线性微分方程一．二阶线性微分方程解的结构把形如()()()y P x y Q x y f x '''++= （1）的方程叫做二阶线性微分方程。

当()0f x ≡时，上式变成()()0y P x y Q x y '''++= （2）方程（2）叫做方程（1）对应的二阶齐次线性微分方程。

当()0f x ≠时，方程（1）叫做二阶非齐次线性微分方程。

先讨论二阶齐次线性微分方程解的结构：定理1 若y 1和y 2是二阶齐次线性微分方程的解，则其线性组合1122C y C y +也是二阶齐次线性微分方程的解。

其中12,C C 是任意常数。

（证明略）如：可以验证函数2312,x x y e y e ==都是方程560y y y '''-+=的解，2312x x y C e C e =+也是这个方程的解，并且是这个方程的通解。

还可以验证函数2212,3x x y e y e ==也都是方程560y y y '''-+=的解，()222121233x x x y C e C e C C e =+=+也是这个方程的解，但是却不是这个方程的通解（因为123C C +还是一个常数）。

定义 对于两个都不恒等于零的函数1y 和2y ，如果存在一个常数k,使k=12y y ,则称函数1y 与2y 线性相关；否则，称1y 与2y 线性无关。

如：函数2312,x x y e y e ==是线性无关的，而函数2212,3x x y e y e ==是线性相关的。

定理 2 如果12,y y 是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解，则1122y C y C y =+（12,C C 是两个任意常数）是二阶齐次线性微分方程的通解。

现再讨论二阶非齐次线性微分方程解的结构。

定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，0y 方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，则0y y y =+是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。

二阶齐次线性微分方程
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。

二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。

如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。

二阶线性微分方程的解方式分成两类，一就是二阶线性齐次微分方程，二就是线性非齐次微分方程。

前者主要就是使用特征方程解，后者在对应的齐次方程的吉龙德上加之直和即为非齐次方程的吉龙德。

齐次和非齐次的微分方程的吉龙德都涵盖一切的求解。

二阶线性微分方程定义：y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) 方程称作二阶线性微分方程
当 f ( x ) = 0 恒成立时，称该方程为二阶线性齐次方程；
当 f ( x ) ≠ 0 指该方程为二阶线性非齐次方程。

定理：若 y 1 ， y 2 是二阶线性齐次方程y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 的解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 （ c 1 , （c1，c 2 ∈ r ) 仍
是它的解。

§4 二阶线性微分方程【目的要求】1、会验证两函数的线性相关与线性无关；2、了解二阶线性齐次微分方程解的叠加定理；3、了解二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理及通解；4、了解复数的基本知识；5、熟练掌握二阶常系数线性齐次方程通解的特征根求解法；6、熟练掌握二阶常系数线性非齐次方程特解的待定系数求解法．【重点难点】二阶线性齐次微分方程解结构及的叠加定理．【教学内容】在n 阶微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=中, 若未知函数y 及其各阶导数y ',y ',…,()n y 都是一次的, 则称此方程为n 阶线性微分方程. 其一般形式为()(1)1()()()n n n y a x y a x y f x -+++= (1)其中12(),(),,(),()n a x a x a x f x 是区间I 上的连续函数. 若()0f x ≡, 则称方程(1)为n 阶线性齐次微分方程; 否则, 则称方程(1)为n 阶线性非齐次微分方程. 本节主要讨论二阶线性非齐次微分方程()()()y p x y q x y f x '''++= (2)及二阶线性微分方程()()0y p x y q x y '''++= (3)的有关理论及解法, 所得结论可以相应推广到n 阶线性微分方程.一、二阶线性微分方程解的结构我们首先讨论二阶线性微分方程解的结构.定理 4.1(解的叠加原理) 如果函数)(),(21x y x y 是齐次方程(3)的两个解, 则1122()()y C y x C y x =+也是方程(3)的解, 其中12,C C 是任意常数.注意 尽管1122()()y C y x C y x =+是方程(3)的解, 又有两个任意常数, 但它不一定是方程(3)的通解.例如, 1sin 2y x =, 23sin cos y x x =都是方程40y y ''+=的解, 但11223()()C sin 2C y x C y x x +=, 其中31232C C C =+. 因此, 1122()()C y x C y x +中实际只含有一个任意常数, 他并不是方程40y y ''+=的通解.要判断1122()()y C y x C y x =+在什么情况下是方程(3)的通解, 需要引入线性相关与线性无关的概念.定义 4.1 设)(,),(),(21x y x y x y n 是定义在区间I 上的函数, 如果存在不全为零的常数n k k k ,,21, 使得02211≡+++n n y k y k y k , 则称)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关; 否则, 称)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性无关. 定理 4.2 设)(),(21x y x y 是定义在区间I 上的函数, 则)(),(21x y x y 线性无关的充要条件是)()(21x y x y 不恒为常数. 例如, 当(,)x ∈-∞+∞时, 2,x x e e 线性无关; 2,x x 线性无关; ,2x x 线性相关. 有了函数线性无关的概念, 我们就有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构定理.定理 4.3 设)(),(21x y x y 是齐次方程(3)的两个线性无关的特解, 则其通解为1122()()y C y x C y x =+. (12,C C 为任意常数)例如, 方程0y y ''+=式二阶齐次线性方程. 容易验证, 1sin y x =, 2cos y x=都是所给方程的两个解, 且21cos cot sin y x x y x==≠常数, 即它们是线性无关的. 因此, 方程0y y ''+=的通解为12sin cos y C x C x =+.定理4.4 设*y 是方程(2)的一个特解, 而Y 是其对应的齐次方程(3)的通解, 则*+=y Y y是二阶线性非齐次微分方程(2)的通解.例如, 方程2y y x ''+=是二阶线性非齐次微分方程. 已知12sin cos Y C x C x =+是对应齐次方程0y y ''+=的通解; 有容易验证2*2y x =-是所给方程的一个特解. 因此,212sin cos 2y C x C x x =++-是所给方程的通解.定理 4.5 设*1y 与*2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解, 则**+21y y 是方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''的特解.二、二阶线性常系数齐次常微分方程由定理4.3知道, 要求二阶线性齐次方程(3)的通解, 只需求出它的两个线性无关的特解12,y y . 一般来说, 没有普遍适用的方法方法能求出12,y y , 但对于线性常系数齐次微分方程, 却能比较方便的求出它的两个线性无关的特解. 形如0=+'+''qy y p y (4)的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程, 其中q p ,为常数. 方程(4)把二阶线性齐次方程(3)中,y y '的系数(),()p x q x 看做常数,p q 的特殊情形.先来分析方程(4)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上看, 它的特点是y '', y '与y 各乘以常数因子后相加等于零, 如果能找到一个函数y , 使得y '', y '与y 之间只相差一个常数, 这样的函数就有可能是方程(4)的特解. 易知在初等函数中, 函数rx e 符合上述要求, 于是, 令rx y e =来尝试求解, 其中r 为待定常数.将rx y e =, rx y re '=, 2rx y r e ''=代入方程(4), 得2()0rx e r pr q ++=,即 20r p r q ++=, (5) 由此可见, 如果r 是方程(5)的根, 则rx y e =就是方程(4)的特解, 这样, 齐次方程(4)的求解问题就转化为代数方程(5)的求根问题.方程(5)称为微分方程(4)的特征方程, 并称特征方程的两个根12,r r 为特征根.根据初等代数的知识, 特征根有三种可能的情况, 下面分别讨论.1. 特征方程有两个不相等的实根特征根为1,2r =(240p q ->), 方程(4)的两个特解为x r e y 11=,x r e y 22=, 且线性无关, 从而方程(4)的通解为1212r x r x y C e C e =+,2. 特征方程有两个相等的实根 特征根为1,22p r =-（240p q -=）, 这样只能得到方程(4)的一个特解x r e y 11=,因此, 我们还要设法找出另一个特解, 并使2y 与1y 线性无关, 即21y y ≠常数, 为此设 12r x y u e=即12r x y ue =, 其中()u u x =为待定函数.将12r x y ue =, 121()r x y e u ru ''=+, 12211(2)r x y e u ru r u '''''=++代入方程(4), 得12111[(2)()]0r x e u r p u r pr q '''+++++=,因为10r x e ≠, 120r p +=, 2110r pr q ++=, 所以0=''u ,积分, 得 12u C x C =+.为简便起见, 取u x =, 得12r x y xe =, 从而方程(4)通解为112()r x y C C x e =+.3. 特征方程有一对共轭复根特征根为1,2r i αβ==±（240p q -<）, 方程(4)的两个复数形式的特解为x r e y 11=,x r e y 22=. 应用欧拉公式cos sin i e i θθθ=+, 得)sin (cos 1x i x e y x ββα+=, )sin (cos 2x i x e y x ββα-=.令1121()cos 2x y y y e x αβ=+=, 2121()s i n 2x y y y e x iαβ=-=, 根据定理4.3, 1y ,2y 也是方程(4)的特解, 且线性无关, 故方程(4)的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+.综上所述,要求二阶常系数线性齐次微分方程(4)的通解, 只须先求出其特征方程(5)的根, 再根据根的情况便可确定其通解, 现列表总结如下(见表4.1):表4.1例1 求微分方程032=-'+''y y 的通解.解 原方程的特征方程为0322=-+r r ,解得特征根为1,321=-=r r . 所以, 原方程的通解为312x x y C e C e -=+.例2 求微分方程440y y y '''++=的通解.解 原方程的特征方程为2440r r ++=,解得特征根为122r r ==-. 所以, 原方程的通解为212()x y C C x e -=+.例3 求微分方程 250y y y '''++=的通解.解 原方程的特征方程为2250r r ++=,解得特征根为1212r i =-±，. 所以, 原方程的通解为12(cos 2sin 2)x y C x C x e -=+.三、二阶线性常系数非齐次常微分方程二阶线性常系数非齐次常微分方程的一般形式()y py qy f x '''++= (6)其中,p q 为常数, ()0f x ≠.由线性非齐次方程通解结构的定理4.4可知, 方程(6)的通解等于对应的齐次方程(4)的通解与它本身的一个特解之和. 在上一节已经讨论了齐次方程(4)通解的求法, 现在只需讨论如何求出非齐次方程(6)的一个特解*y .本节只介绍当方程(6)中的()f x 取两种常见形式时求*y 的方法. 这种方法的特点是不用积分就可求出*y 来, 该方法叫做待定系数法. ()f x 的两种形式是(1) )()(x P e x f m x λ=, 其中λ为常数, )(x P m 是关于x 的一个m 次多项式:1110()m m m m m P x a x a x a x a --=++++;(2) ()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+, 其中,λω为常数, ()l P x , ()n P x 分别是关于x 的l 次、n 次多项式.下面分别介绍()f x 为上述两种形式时*y 的求法.1. )()(x P e x f m x λ=型的解法由于方程(6)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积, 而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数乘积, 因此, 我们推测方程(6)的特解可能为x e x Q y λ)(=*(其中)(x Q 是某个多项式). 把*y 及其导数代入方程(6), 然后考虑能否选取适当的多项式()Q x , 使x e x Q y λ)(=*满足方程(6). 为此, 将*()x y Q x e λ=x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(6)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (7)以下分三种不同的情形, 分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ, 要使式(7)的两端恒等, 可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(7)式, 并比较两端关于x 同次幂的系数, 就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程. 联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =. 从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ, 要使式(7)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =并用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是对应齐次方程式(4)的特征方程02=++q pr r 的重根, 即,02=++q p λλ 02=+p λ. 要使(7)式成立, 则)(x Q ''必须是一个m 次多项式, 可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述, 若方程式(6)中的x m e x P x f λ)()(=, 则它的特解为x m k e x Q x y λ)(=*,其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式, k 按λ不是特征方程的根, 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为022=+r r ,特征根根为 2,021-==r r .2λ=-是特征方程的单根.令 x e xb y 20-=*, 代入原方程解得230-=b 故所求特解为x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r ,解得特征根 121==r r对应齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ,由于1=λ是特征方程的二重根, 所以令x e b ax x y )(2+=*,把它代入所给方程, 并约去x e 得126-=+x b ax ,比较系数,得61=a , 21-=b , 于是 x e x x y )216(2-=*, 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*. 2. ()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+型的解法对于这种形式的特解形式, 我们不准备作深入讨论, 仅给出结论, 并通过例子加以说明.如果()[P ()cos P ()sin ]x l n f x e x x x x λωω=+, 则方程(6)的特解可设为(1)(2)*[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+其中(1)()m R x 、(2)()m R x 是m 次多项式, max{,}m l n =, 而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0、1.例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 先求对应齐次方程230y y y '''--=的通解. 特征方程为 2230r r --=,解得特征根 121,3r r =-=,又1=ω，故ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k . 因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y c o s s i n+-=*' x b xa y s i n c o s --=*'' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a 原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r , 解得, 特征根 121,3r r =-=.所以对应齐次方程的通解为x x e C e C Y 321+=-.再求非齐次方程的一个特解*y .由于()s i n x f x ex =+, 根据定理 4.5, 分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y , 则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ, ω±i i ±=均不是特征方程的根, 故特解为 )s i n c o s (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数, 得14=-a , 024=+c b , 142=-c b ,解得 111,,4105a b c =-==-. 于是所给方程的一个特解为x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。