二阶次线性微分方程.

定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的 两个解， 两个解， 则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数 是任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 ″ ′ 的两个解， 的两个解， 所以有
* * y1 + y2 是方程 ① 的特解 的特解， 的特解. 的特解，则
②
③
分别是② 的特解， 证 因为 y1* 与 y2* 分别是② 与 ③ 的特解， 所以有 y1*″ + p(x)y1*′ + q(x)y1* = f 1(x)， ， 与 于是有 y2*″ + p(x)y2*′ + q(x)y2* = f 2(x) .
之比为常数. 反之， 之比为常数， 即 y1 与 y2 之比为常数 反之，若y1 与 y2 之比为常数，
y1 设 = λ , 则 y1 = λ y2，即 y1 - λ y2 = 0. 所以 y1 与 y2 y2 线性相关. 因此，如果两个函数的比是常数 ， 则它们 线性相关 因此， 如果两个函数的比是常数，
−p 2° 特征方程具有两个相等的实根，即 r1 = r2 = . ° 特征方程具有两个相等的实根， 2
e rx [u′′ + ( 2r + p )u′ + ( r 2 + pr + q )u] = 0.
−p 注意到 r = 2
是特征方程的重根， 是特征方程的重根， 所 以 有 r2 + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 u(x) 满足
1° 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 ° rx r x r1 ≠ r2. 那么，这时函数 y1 = e 1 和 y2 = e 2 都是 ④ 那么， y1 的解， 的解，且 线性无关， = e ( r1 − r2 ) x ≠ 常数 , 所以 y1 与 y2 线性无关， y2 因而它的通解为 r1 x r2 x y1 = C1e + C 2e . 这时， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个 特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 为此， 为此，设 y2 = u(x)y1， 其中 u(x)为待定函数 将 y2 及 为待定函数. 为待定函数 其一阶、 其一阶、二阶导数 y′2 = (uerx)′ = erx(u′(x) + ru(x))， ′ ′ ′ ， y″2 = erx (u″(x) + 2ru′(x) + r2u(x))， 代入方程 y″+ ″ ″ ′ ， ″ py′ + qy = 0 中，得 ′

二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。

在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。

求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。

特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。

2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。

可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。

4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。

举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。

需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。

非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。

此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。

由于 e rx ≠ 0, 2r + a = 0, r 2 + ar + b = 0,
所以 u′′( x ) = 0,
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取 u ′′ ( x ) = 0 的一个解 u ( x ) = x ，则 y 2 = xe rx .
故方程①的通解为 y = C 1e rx + C 2 xe rx ， 方程①
即
y = e (C1 + C 2 x).
（1）（3）是二阶线性微分方程， 解： ） （ ）是二阶线性微分方程， （ 、 （2）（ ）不是二阶线性微分方程 ） （4）不是二阶线性微分方程. 、
5.4.1 二阶线性微分方程解的性质
设 二阶线性齐次方程为 y ′′ + a1 ( x ) y ′ + a 2 ( x ) y = 0 ① 二阶线性非齐次方程为 y ′′ + a1 ( x ) y ′ + a 2 ( x ) y = f ( x ) ②
y ∗ ，则该方程的通解为 y = y + y ∗ .
上面结论也适合于一阶线性非齐次方程， 上面结论也适合于一阶线性非齐次方程，还可 推广到二阶以上的线性非齐次方程. 推广到二阶以上的线性非齐次方程. 到二阶以上的线性非齐次方程
定理 5 设复函数 y = y1 ( x ) ± i y2 ( x ) 是微分方程
则 y1 ( x ) + y 2 ( x ) 是线性非齐次方程 的解 y′′ + a1 ( x ) y′ + a 2 ( x ) y = f1 ( x )+ f 2 ( x ) 的解.
5.4.2 二阶线性微分方程解的结构
定义 设 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是定义在 区间 I 上 的两个 函数， 函数，若存在不全为零的常数 k1 , k 2 ，使得 ∀x∈I ， ∈ 则称函数 都有 k1 y1 ( x )+ k 2 y 2 ( x ) = 0 ，则称函数 y1 ( x ), y 2 ( x ) 线性相关； 在 区间 I 上 线性相关；否则就称 y1 ( x ), y 2 ( x ) 在 线性无关. 区间 I 上线性无关

(其中 r 为待定常数 )
解法
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
上述方程称为微分方程的特征方程, 其根称 为特征根. 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根
y p y q y 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
定理2 如果函数 y1 与 y2 是二阶齐次线性方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 y = C1 y1 + C2 y2
是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
例 验证 y1 cos x, y2 sin x 是方程 y y 0 的 两个解，并写出该方程的通解
y p ( x) y q ( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)也是该方程的解.
(叠加原理)
注意 叠加起来的解从形式上看含有 C1 与 C2 两 个任意常数，但它还不一定是方程的通解．
例如
y1 2 y2
定义 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间I 上 的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
例1 写出下列方程的特解形式.
例2 求微分方程
的通解
思考题
1 设函数 y(x) 满足
y(0) 1, 求 y(x)
2 求以 y (C1 C2 x x 2 )e 2 x 为通解的线性微分 方程（其中C1, C2为任意常数）
* * 且 y1 与 y2 分别是
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)