计量经济学公式推导

标准文案 大全 一、最小二乘估计式推导过程： 由方程组

0ˆ)(112

ntte…………………(1)

0ˆ)(212

ntte…………………(2) ，得

（注意：根据导数运算法则，若)(xf和)(xg）在一个共同的区间),(ba上有定义，并且在每一点),(bax都可导，则有

)()(])()([xgxfxgxf；

)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf；对于常数c，则)(])([xfcxcf；

当0)(xg时，2)]([)()()()(])()([xgxgxfxgxfxgxf）

因此，由（1）式得，0ˆ)(ˆ)(112112nttnttee……………(3) 由（2）式得，0ˆ)(ˆ)(122212nttnttee………(4) 根据复合函数微商定理：若对于)(ygz，)(xfy，若)(xfy在一点0x可导，且)(ygz在相应的点)(00xfy处可导，则复合函数))((xfg在0x可导，且有公式 )()())((000xfygdxxfdgxx

因此，依复合函数微商定理，

由（3）式得，0)ˆ)()()((ˆ)(112112nttttntteeee…………(5) 标准文案 大全 又依据微商运算公式：1)(mmmxx，又ttttttttXYeeXeYY2121ˆˆˆˆˆ 可得，0ˆ)1(2)ˆ)()()((ˆ)(1)11(1)12(112112tnttnttttntteeeeee………(7) 同理根据复合函数微商定理，由（4）式得， 0))ˆ()()()((ˆ)(122122

nttttntteeee

……………(6)

同理又依据1)(mmmxx，及ttttttttXYeeXeYY2121ˆˆˆˆˆ 可得，0)ˆ1)(2())ˆ()()()((ˆ)(11)11(2)12(122122ntttntttnttttnttXeXeeeee……(8) 同样根据：ttttttttXYeeXeYY2121ˆˆˆˆˆ， 可以得到方程组： 0)ˆˆ(1211ntttnttXYe……………………(9)

0)ˆˆ(1211nttttntttXXYXe………………(10)

方程（9）、（10）称为正规方程，合起来组成的方程组称为正规方程组。 解正规方程组，由式（9）得，tnttXnY211ˆˆ…………(11)，方程两边除以n得，

)1(ˆˆ1211tnttXnYn

……………(13)，此时，若令

nttXnX1

1

……………(14)

nttYnY1

1

……………(15)

则，将式（14）和式（15）代入式（13）可得XY21ˆˆ……………(16) 将式（16）代入正规方程式（10），得

0)ˆˆ(121nttttXXY0)ˆ)ˆ((22tttXXXYY 标准文案 大全 移项合并整理得，)(ˆ221ttnttttXXXXYXY

可推出)()()()(ˆ22XXXYYXXXXYXYXttttttttt………………(17) 又令XXxtt………(18)，YYytt………(19) 将式（18）和式（19）代入式（17）可得，tttttttttttttxXxyXyxxXxyXxxXyX22)()(ˆ…(20),又因为0)(tttttXXXnXXXx，同理可证0ty 因此nttntttxyx1212ˆ……………(21) 由式（16）得，XY21ˆˆ……………(22) 因此，得到的式（21）和式（22）就可以得到一元线性回归模型中的参数：1、2的最小二乘估计1ˆ和2ˆ。 二、几个结论： （1）0tx；0ty；

（2）2的估计式也可表示为：nttntttnttntttnttntttXnXyXXnXYxxyx122112211212ˆ 证明如下： 标准文案

大全 首先，对于分母，有22222222221222)2()(XnXXnXnXXXXXXXXXXXxtttttttntt 其次，对于分子，有



ttttttttttttttttttttYxxYYxXXYYXXYXXYYXYXXYYXYXYXYYXXyx)()())()(()())((

注意，倒数第二步用到了0tx的性质。 同理可证ttttyXyx；

因此，可以得出 nttntttnttntttnttntttXnXyXXnXYxxyx122112211212ˆ 三、最小二乘保证了的5条性质 1、残差和=0，即01ntte，由此可推出样本残差均值01tene 由式（9）可以直接推出，无须证明。即01ntte。 2、残差与自变量不相关，等价于 0),cov(ttXe 因为相关系数0)(1)(1),cov(22,XXneenXettttXett等价于0),cov(ttXe，

而由于01tene，则 ntttttXXeenXe10))((1),cov( 等价于ntttttXXenXe10)(1),cov(， 等价于0)(XXett，等价于0ttteXXe，由式（9）

得，第二项等于0，由式（10）得，第一项等于0，所以式0),cov(ttXe，所以残差与自变量不相关。 标准文案 大全 3、残差与因变量拟合值不相关，即0)ˆcov(ttYe。 而0)ˆˆ)((1)ˆcov(YYeenYetttt 等价于0)ˆˆ(1YYentt，等价于0)ˆˆ(YYett，等价

于0ˆˆttteYYe，（由于第二项等于0）等价于0ˆttYe

由于ttXY21ˆˆˆ，所以0ˆttYe 等价于0)ˆˆ(21ttXe，等价于0ˆˆ21tttXee，由式（9）和式（10）得，0ˆˆ21tttXee成立，即证明

0)ˆcov(ttYe，残差与因变量拟合值不相关。

4、因变量实际值与拟合值的均值相等。即YYˆ。 证明如下：因为ttteYYˆ，两边求和得，nttnttntteYY111ˆ ，又由于01ntte，代入并且两边除以n

得，YYˆ。 5、拟合直线通过平均值点。 由式（16）XY21ˆˆ 可直接推出。

四、高斯-马尔科夫定理证明 1.线性特性 线性特性是指参数估计值1ˆ和2ˆ分别为观察值tY和扰动项tu的线性组合。证明如下：

说明：用代替nt1。

由上节的参数估计式（21）可推出，tttnttntttnttntttnttntttYxxxYxxYYxxyx)(ˆ)(ˆˆ2121212121212；此时，若令2tttxxb，则可以推出：ttYb2ˆ…………………(23)， 因此得出结论一：2ˆ是tY的线性组合。 标准文案 大全 又由式（23）和总体回归模型tttuXY21可得，)(ˆ212tttuXb，即ttttttttttubXbbubXbb21212ˆ，而其中

0)(22tttttxxxxb……………(24)，而

1))(()(22ttttttttxXxxXxxXb……………（25）

所以原式tttttttububXbb2212ˆ…………(26) 因此可以得出结论二：2ˆ是tu的线性组合。 由式（16）得，XY21ˆˆ……………(22)，又因为式（23）ttYb2ˆ可以得到 ttttttttYbXnYbXYnYbXYnXYbY)1(11)(

ˆ

1……(27)；

若令)1(ttbXna，则式（27）可变为ttYa1ˆ…………(28)。 因此，可以得到结论三：1ˆ是tY的线性组合。 又由式（28）及总体回归模型tttuXY21可得，)(ˆ211tttuXa，ttttttttttuaXaauaXaa

21211

ˆ……(29)，其中:

11)1(tttbXbXna……..(30); （由于0tb）

01)1(tttttttXbXXnXbXnXa………(31)（由于1ttXb）

因此，式（29）可以推出，ttua11ˆ………(32). 因此可以得到结论四：1ˆ是tu的线性组合。 即式：

ttYb2ˆ…………………(23)；

ttub22ˆ…………(26)；

ttYa

1

ˆ…………(28)；

ttua

11

ˆ………(32)。可以证明最小二乘估计1ˆ和2ˆ具有线性特性。