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有关几何图形的一些特殊结论

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有关几何图形的一些特殊结论 1．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积． ∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA 又∵S△OAB =12AB·r，S△OBC =12BC·r，S△OCA =12AC·r ∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r =12L·r（可作为三角形内切圆半径公式） （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径； （2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式； （3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，„an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

1．（•1）2 （2）r=1222(3)nSSrabcdaaa 2．三角形的外接圆

（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等． （2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角

形的外心在斜边中点，外接圆半径2cR(c为斜边长)． 3．三角形的内切圆 （1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．

（2）若三角形的面积为ABCS，周长为a+b+c,则内切圆半径为:cbaSrABC2，当ba,为直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径cbaabr或2cbar. 4．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角． 注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 5．两个结论： 圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例1、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB＝13，AC＝5，BC＝12，求外接圆半径R和内切圆半径r值。 解：由题意得；2132cR ；22131252cbar 。 二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例2、已知△ABC中，AB＝13，AC＝14，BC＝15，求外接圆半径R和内切圆半径r值。 解：如图：作BC边上的高线AD；设BD＝x ，则CD＝15－x 。由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2， 即：2222151413xx，得x=533； 再得：AD＝556， 1、先求内切圆半径： 根据rcbasABC21 得：r151413215561521 得： r＝4 ； 2、作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于E，连接CE。则△ABD∽△AEC，

则ACADAEAB ，即14556213R ，得R＝865。 例3、已知△ABC中，AB＝13，AC＝25，BC＝17，求外接圆半径R和内切圆半径r值。 解：如图：作BC边上的高线AD；设BD＝x ，则CD＝17－x 。由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，

即：2222172513xx，得x=12； 再得：AD＝5， 1、先求内切圆半径： 根据rcbasABC21 得：r2517132151721

得： r＝226 ； 2、作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于E，连接CE。则△ABE∽△ADC， 则ACAEADAB ，即252513R ，得R＝2213。 三、小结 例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过rcbasABC21公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。 例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。 处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题 例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。 解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．

正四面体的表面积223434aaS表．

正四面体的体积22221234331BEABaAEaVBCDA 32221223312

3aaaa

BCDAVrS表3

1，a

aaSVrBCDA1263

12

23323



表

在BEORt中，222EOBEBO，即22233raR，得aR46，得rR3 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h为正四面体的高)，且外接球的半径43h，从而可以通过截面图中OBERt建立棱长与半径之间的关系。 例2．设棱锥ABCDM的底面是正方形，且MDMA，ABMA，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解： ABMAABADAB,,平面MAD， 由此，面MAD面AC.记E是AD的中点， 从而ADME.ME平面AC，EFME 设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图2，得截面图MEF及内切圆O 不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.

设球O的半径为r，则MFEMEFSrMEF2，设aEFAD,1AMDS. 222,2



aaMFaEM,12222222222aaaar

图2

图1 当且仅当aa2，即2a时，等号成立. ∴当2MEAD时，满足条件的球最大半径为12. 练习：一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。（答案为：2） 【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。 二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。 如图3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；

2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。 3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。 例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA,那么这个球的表面积是______.

解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线

aCD3

223234aaS球表面积

练习：一棱长为a2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为3326243aaV） 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

图3 图4 图5 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

例4.已知三棱柱111CBAABC的六个顶点在球1O上，又知球2O与此正三棱柱的5

个面都相切，求球1O与球2O的体积之比与表面积之比。 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 解：如图6，由题意得两球心1O、2O是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA和它们的

球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则aR632，正三棱柱的高为aRh3322，由ODARt11中，得 2222222112563333

3aaaRaR

，aR1251 1:5::222121RRSS，1:55:21VV

练习：正四棱柱1111DCBAABCD的各顶点都在半径为R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：224R） 【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。

图6

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几何体角度常用结论及方法

几何体角度常用结论及方法

几何体角度常用结论及方法一、平面图形角度的常用结论：1.对顶角：相对于两条相交直线上相等的角叫做对顶角，对顶角相等。

2.相邻角：两个角的公共边是一条直线，这两个角叫做相邻角，相邻角互补。

3.同位角：两条平行线被一条截线所截，那么所得到的两个对顶角和两个同位角互补。

4.内错角：两条平行线被一条截线所截，那么所得到的两个对顶角或两个同位角之和等于180度。

5.共顶角：两个角的两边互相重合，这两个角叫做共顶角，共顶角互补。

6.角平分线：平分一个角的直线叫做角的平分线，角的平分线相互垂直。

7.对称角：角的两边关于其中一直线对称，这两个角互相对称。

8.等角：两个角的度数相等，这两个角是等角。

9.顶角：两边有一个公共顶点的两条线段所形成的角叫做顶角。

10.锐角：角度小于90度的角叫做锐角。

11.直角：角度等于90度的角叫做直角。

12.钝角：角度大于90度但小于180度的角叫做钝角。

二、立体图形角度的常用结论：1.直角：立体图形中两个平面相交，这个交线垂直于这两个平面，所形成的角叫做直角。

2.平面角：立体图形中两个平面相交，这个交线不垂直于这两个平面，所形成的锐角或钝角叫做平面角。

3.对棱角：两个相邻面的公共边所形成的角叫做对棱角。

4.平行棱角：两个平行面的公共边所形成的角叫做平行棱角，平行棱角相等。

5.垂直棱角：两个垂直面的公共边所形成的角叫做垂直棱角，垂直棱角相等。

6.共棱角：两个角所包含的两个面的边，与另外两个角所包含的两个面的边完全重合，那么这两个角叫做共棱角。

7.对面角：两个平面相对的两个共棱角叫做对面角，对面角相等。

8.空间角：一个点在立体图形内部的一个角叫做空间角。

三、求解几何体角度的方法：1.利用角度的定义：根据对顶角、共顶角、对称角、等角等角度的定义，利用已知条件和角度关系，进行推理和计算。

2.利用角度的恒等关系：根据角度的恒等关系，利用已知条件和角度关系，进行推理和计算。

3.利用角度的平分关系：根据角的平分线的性质，利用已知条件和角度关系，进行推理和计算。

极点极线10个二级结论

极点极线10个二级结论

极点极线10个二级结论1. 极点极线的定义极点极线是几何学中的一个概念，用于描述平面上的一种特殊关系。

给定一个圆，圆上的每个点都有一个与之对应的极线。

而对于平面上的任意一条直线，也可以找到一个与之对应的极点。

极点极线满足一定的几何性质，研究它们可以帮助我们理解平面几何的一些重要性质和定理。

2. 极点极线的性质极点极线有许多重要的性质。

首先，对于给定的圆，其上的任意两个点对应的极线相交于一点，这个点称为极点。

同样地，对于给定的直线，其上的任意两个点对应的极点也相交于一点，这个点称为极线。

其次，对于给定的点和直线，它们的极点和极线之间具有一一对应的关系。

最后，极点极线满足交换律，即如果点A是直线l的极点，那么直线l也是点A的极线。

3. 极点极线的应用极点极线在几何学中有广泛的应用。

首先，它可以用来证明一些几何定理。

例如，通过构造极点极线，可以证明圆与直线的切线垂直于半径，以及切线之间的交角相等等定理。

其次，极点极线也可以用来解决一些几何问题。

例如，通过构造极点极线，可以确定一个点关于给定圆的对称点的位置。

此外，极点极线还可以用于构造一些特殊的图形，如圆的切线和割线等。

4. 极点极线的构造方法构造极点极线的方法有多种。

对于给定的圆，可以通过连接圆心和圆上的任意一点来构造极线。

而对于给定的直线，则可以通过找到直线上的两个不同的点，然后连接它们的交点来构造极点。

此外，还可以通过构造垂线、平行线和相似三角形等方法来构造极点极线。

5. 极点极线与其他几何关系的联系极点极线与其他几何关系密切相关。

首先，极点极线与垂直关系有着紧密的联系。

通过构造极点极线，可以证明两条直线垂直的几何定理。

其次，极点极线与相似关系也有一定的关联。

通过构造相似三角形，可以得到一些与极点极线相关的性质。

此外，极点极线还与圆的切线和割线等几何关系有着密切的联系。

6. 极点极线的应用举例极点极线的应用举例包括：证明圆与直线的切线垂直于半径、构造圆的切线和割线、确定一个点关于给定圆的对称点的位置等。

正方形半角模型的13个结论

正方形半角模型的13个结论

正方形半角模型的13个结论 序号 结论描述 图形说明

1 半角线将正方形的一角平分。 在正方形一角画一条射线，将角平分。

2 半角线与正方形的两边形成等腰直角三角形。 半角线与相邻两边构成的三角形。

3 半角线的长度等于正方形对角线的一半。 利用勾股定理或等腰直角三角形的性质证明。

4 半角线与正方形对角线垂直并交于中点。 通过证明三角形相似或利用正方形性质得出。

5 半角线将正方形划分为两个面积相等的部分。 面积计算或利用对称性证明。

6 半角线与正方形边形成的两个角均为45°。 等腰直角三角形的性质。

7 以半角线为直径的圆与正方形的一边相切。 利用切线性质或几何作图证明。

8 半角线、正方形对角线及相邻边构成的三角形是30°-60°-90°三角形（特定情况）。

当正方形边长与半角线长度满足特定比例时。

9 半角线将正方形外一点到正方形两顶点的距离之和最小化（费尔马点问题特特定几何条件下的最短路径例）。 问题。 10 半角线与正方形某一边的平行线交于一点，该点到正方形顶点的距离关系可确定。 通过相似三角形或三角函数关系得出。

11 半角线与正方形对角线交点将对角线分为两段，其比值为特定值（如黄金分割比，但非必然）。

特定条件下的

比例关系。

12 半角线与正方形外部某一直线相交，形成的角与正方形内部角有特定关系（如补角、和角等）。 通过角度计算或几何性质推导。

13 半角线在正方形内外构造的特殊图形（如正方形、矩形、等腰三角形等）具有特定的面积、周长或边长关系。 利用几何图形的性质和计算公式推导。

四边形中点连线归纳总结

四边形中点连线归纳总结

四边形中点连线归纳总结四边形是几何学中常见的一个形状，它具有四个边和四个角。

在四边形中，我们可以找到一些特殊的点，如中点。

本文将对四边形中点连线进行归纳总结。

四边形是一个含有四个边的几何图形。

根据四边形的性质和特点，我们可以得出如下结论：1. 对角线中点连线：四边形的对角线连接了四个顶点，而对角线的中点连线连接了四边形的两个对角线中点。

这条中点连线一般会将四边形分成两个三角形，并且对角线中点连线的长度等于对角线的长度的一半。

2. 边中点连线：四边形的边中点分别为相邻边的中点和对角线的中点。

连接相邻边的中点会得到四个边中点连线，它们分别连接了四边形的相邻边的中点。

这些中点连线长度相等，且互相平行。

3. 中点连线长度关系：在四边形中，边中点连线、对角线中点连线和对角线的长度之间存在一些特殊的关系。

我们可以发现，对角线的中点连线长度等于相邻两边中点连线长度之和的一半。

四边形中点连线的归纳总结，可以通过以下示意图更加清晰地展示出来：（插入适合的示意图）根据上述总结，我们可以利用四边形中点连线的性质和特点解决一些几何问题，例如：1. 判断四边形类型：通过观察四边形的中点连线，我们可以判断四边形是否为平行四边形。

如果四边形的对角线中点连线长度等于相邻两边中点连线长度之和的一半，则该四边形是平行四边形。

2. 求解四边形面积：利用四边形中点连线的长度关系，我们可以求解四边形的面积。

根据公式，四边形的面积等于对角线长度的一半乘以对角线中点连线的长度。

3. 推导四边形性质：通过观察四边形的中点连线，我们可以推导出一些四边形的性质。

例如，如果四边形的对角线中点连线长度等于对角线的长度的一半，则该四边形是矩形。

总结：四边形中点连线可以帮助我们研究和解决与四边形相关的几何问题。

通过对中点连线的归纳总结，我们可以发现一些性质和关系，并应用于解决实际问题。

因此，在学习和应用几何学时，我们应该重视四边形中点连线的作用，并深入理解其中的原理和应用。