精选新版高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题考核题库(含参考答案)
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
第I卷（选择题）
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一、选择题
1．(2010全国2理)与正方体1111ABCDABCD的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．有且只有3个 D．有无数个
【答案解析】D
2．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是
（A）(0,2) （B）(0,3) （C）(1,2) （D）(1,3)
3．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则P到矩形对角线BD的距离( )
(A)513 (B)517 (C)2921 (D)12951
4．已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC内的点是( )
(A)(2，3，1) (B)(1，－1，2) (C)(1，2，1) (D)(1，0，3)
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1中点，平面A1EC与平面ABCD所成二面角的余弦值为( )
(A)22 (B)23 (C)36 (D)33
6．下列各组向量中不平行的是( )
(A)a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) (B)c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
(C)e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) (D)g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
第II卷（非选择题）
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二、填空题
7．设异面直线12,ll的方向向量分别为(1,1,0),(1,0,1)ab,则异面直线12,ll所成角的大小为 .
8．已知平行六面体1111DCBAABCD 中，4AB，3AD，51AA，90BAD，6011DAABAA，则1AC 85 ．
9．设点)2,1,12(aaC在点)4,1,8(),2,3,1(),0,0,2(BAP确定的平面上，则a的值为 。
10．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.
11．已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若有OCOBOAOP3251确定的点与A，B,C三点共面，则λ＝______．
12．若空间三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线，则p＝______，q＝______．
三、解答题
13．如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是边长为1，且60BAD的菱形，侧棱长为2，P是侧棱1CC上的一点，.CPm
（1）试确定m，使直线AP与平面11BDDB所成角为60;
（2）在线段11AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，
1DQAP，并证明你的结论.
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E为CC1中点，
(1)求BCAB1；
(2)求BEABBEAB,cos,11．
15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点，求证：MN∥平面BB1D1D．
A1B1BCDD1C1AP
16．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF所成角的大小．
17．三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC．
(1)求AC与平面SBC所成角的大小．
(2)求二面角A－SC－B的大小．
18．
1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，BB1＝3．
求两个平行平面AB1D1与平面BDC1之间的距离．
19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，点D是A1C的中点．
(1)求A1B1与AC所成的角的大小；
(2)求证：BD⊥平面AB1C；
(3)求二面角C－AB1－B的余弦值．
20．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BC的中点.
(1) 求证:BD1//平面C1DE；
(2) 试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
21．在正方体1111ABCDABCD中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO. C1
第6小题图 A B C D A1 B1 D1
E O ABDO
（第22EB1CA1CCC1 D1 （1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.
22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把ACD折起，使二面角1DACB为直二面角．
（1）求直线1AD与直线DC所成角的余弦值；
（2）求二面角1ADDC的平面角正弦值大小．
23．如图，在棱长为3的正方体1111ABCDABCD中，11AECF.
⑵ 两条异面直线1AC与1DE所成角的余弦值；
⑵求直线1AC与平面1BEDF所成角的正弦值. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)（本小题满分10分）
24．如图，已知正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为棱1CC的中点，
（1）求证：1AB平面1ABD；
（2）求二面角1AADB的余弦值大小. A B C D D1
O
A B C D
O
第21题图 A B C D
O D1
A B C D
H M
N
25．如图5所示，在三棱锥ABCP中，6ABBC，平面PAC平面ABC，ACPD于点D， 1AD，3CD，2PD．
（1）求三棱锥ABCP的体积；
（2）证明△PBC为直角三角形．（本小题满分14分）
26．如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD＝2．AB＝4，E，F分别为CD,PB的中点．
求平面AEF的一个法向量的坐标．
图5 BPACD27．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,
OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点
(Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；
(Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
(Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
28．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，请建立空间直角坐标系解决下列问题．
（1）求证：ACSB；
（2）求直线SB与平面ADS所成角的正弦值．
NMABDCOS
D C
B A
29．（10分）已知边长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB1上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
（1）求A1H与平面EFH所成角的正弦值；
（2）设点P在线段GH上，=λ，试确定λ的值，使得二面角P﹣C1B1﹣A1的余弦值为．
30．
2．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E－AC－D的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为552？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
