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1996年数学一试题研究生考试

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1996年数学 一 试题

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上）

（1）设32lim8xxaxa，则____________;a

（2）设一平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面428xyz垂直，则此平面方程为____________;

（3）微分方程22xyyye的通解为____________;

（4）函数22uinxyz在点1,0,1A处沿点A指向点3,2,2B方向的方向导数为____________;

（5）设A是43矩阵，且A的秩2rA，而102020103B，则____________;rAB

二、选择题（本题共5 小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题目后的圆括号内）

（1）已知2xaydxydyxy为某函数的全微分，则a等于 （ ）

（A）1 （B）0 （C）1 （D）2

（2）设fx有二阶连续导数，且000,lim1xfxfx，则 （ ）

（A）0f是fx的极大值

（B）0f是fx的极小值

（C）0,0f是曲线yfx的拐点

（D）0f不是fx的极值，0,0f也不是曲线yfx的拐点

（3）设01,2,nan，且1nna收敛，常数0,2，则级数

211tannnnnan （ ）

（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）敛散性与 有关

（4）设fx有连续导数，22000,00,xffFxxtftdt，且当0x时，Fx与kx是同阶无穷小，则k等于 （ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （4）

（5）四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于 （ ）

（A）12341234.aaaabbbb （B）12341234.aaaabbbb

（C）12123434.aabbaabb （D）23231414.aabbaabb

三、（本题共2个小题，每小题5分，满分10分）

（1） 求心形线1cosra的全长，其中0a是常数.

（2）设1110,61,2nnxxxn，试证数列nx极限存在，并求此极限.

四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）

（1）计算曲面积分2sxzdydzzdxdy，其中S为有向曲面2201zxyz，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.

（2）设变换222uxyvxy可把方程2222260zzzxxyy简化为20zuv，求常数a.

五、（本题满分7分）

求级数22112nnn的和.

六、（本题满分7分）

设对于任意0x，曲线yfx上点,xfx处的切线在y轴上的截距等于

01xftdtx

求fx的一般表达式.

七、（本题满分8分）

设fx在0,1上具有二阶导数，且满足条件,fxafxb，其中,ab都是非负常数，c是0,1内任意一点.证明22bfca

八、（本题满分7分） 设TAI，其中I是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，T是的转置.证明

（1）2AA的充分条件是1T；

（2）当1T时，A是不可逆矩阵.

九、（本题满分6分）

已知二次型222123123121223,,55266fxxxxxcxxxxxxx的秩为2.

（1） 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.

（2） 指出方程123,,1fxxx表示何种二次曲面.

十、填空题（本题共2个小题，每小题3分，满分6分）

（1）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现在由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是____________；

（2）设,是两个相互独立且均服从正态分布210,2N的随机变量，则随机变量的数学期望___________E；

十一题、（本题满分6分）

设,是两个相互独立且均服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为

1,1,2,3.3Pii又设max,,min,.XY

（1） 写出二维随机变量,XY的分布律：

X

Y 1 2 3

1

2

4

（2） 求随机变量X的数学期望EX.

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1996考研数三真题及解析

1996考研数三真题及解析

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

⑴设方程x = yy确定y是x的函数，则dy =

1 ⑵设［xf (x)dx =arcsinx+C，则］ dx = .. 'f(x)

⑶设Xo, y°是抛物线y =ax1 2 • bx c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应

满足的关系是

⑸设由来自正态总体X ~ N(~0.92)容量为9的简单随机样本，得样本均值X二5,

则未知参数J的置信度为0.95的置信区间为

、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

cos -71

(1)累次积分.0 d［0 f(rcosdrsin ^)rdr 可以写成()

1 q y-y2

(A) 0 dy 0 f(x, y)dx

n吒 n壬 n T

00 1

(C) 若正项级数7 Un发散，则Un -丄

n # n

QQ QQ

(D) 若级数a Un收敛，且Un -Vn(门=1,2,川),则级数%也收敛

n m n m

⑶设n阶矩阵A非奇异(n - 2), A是矩阵A的伴随矩阵，则()

(A) (A\—An」A(B)(AT= A'

1 1

(C) 0dx 0 f (x, y)dy ⑵下述各选项正确的是()

(A) 若a U；和a V；都收敛，则a (Un Vn)2收敛 ⑷设 1 1 a〔 a?

2 2

a〔 a? 1

as

2

as III

III

其中 q =aj(i = j；i jn 3 1,2,n|U , n 1 - xj

x 1 1

1

,X = X3 ,B = 1

FI ATX 亠 〕的解是

」 L Xn I

1 w

(B) 0dy 0 f(x, y)dx

1 Jx -x2

(D) 0dx0 f (x, y)dy

nT n仝 n妊 (B)送UnVn收敛，则送U；与送V；都收敛 1

1996年考研数学三真题及全面解析

1996年考研数学三真题及全面解析

1 1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1) 设方程yxy确定y是x的函数,则dy___________.

(2) 设()arcsinxfxdxxC,则1()dxfx___________..

(3) 设00,xy是抛物线2yaxbxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________.

(4) 设

123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa,123nxxXxx,1111B,

其中(;,1,2,,)ijaaijijn.则线性方程组TAXB的解是___________.

(5) 设由来自正态总体2~(,0.9)XN容量为9的简单随机样本,得样本均值5X,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为___________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 累次积分cos200(cos,sin)dfrrrdr可以写成 ( )

(A) 2100(,)yydyfxydx (B) 21100(,)ydyfxydx

(C) 1100(,)dxfxydy (D) 2100(,)xxdxfxydy

(2) 下述各选项正确的是 ( )

(A) 若21nnu和21nnv都收敛,则21()nnnuv收敛

1996年全国高中数学联赛试题

1996年全国高中数学联赛试题

1996年全国高中数学联赛试题

【第一试】

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1.把圆x2+ (y –1 )2 =1与椭圆9x2 + (y + 1)2 = 9的公共点, 用线段连接起来所得到的图

形为

(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形

2.等比数列{a

n}的首项a

1=1536, 公比是q=.用π

n表示它的前n项之积，则

21

π

n(nN)最大的是

(A)π

9 (B)π

11 (C)π

12 (D)π

13

3.存在整数n使

是整数的质数pnnp

(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个

4设x(–, 0),以下三个数: 

1=cos(sinx), 

2=sin(cosx),

3=cos(x+1)的大小关系是1

2

(A) 

3 < 

2 < 

1 (B) 

1 < 

3 < 

2 (C) 

3 < 

1 < 

2 (D) 

2 < 

3 < 

1

5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f (x) = x2 + px + q与g(x) = x +在同一点取相同的最小值，

21

x

那么f (x)在该区间上的最大值是

（A）4+（B）4

－（C）

1

－（D

）以上答案都不3342

411

3342

25

3342

21

对

6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O

1, 球心O

1在圆台的轴上. 球O

1与圆台上底面、

侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O

2, 使得球O

2与球O

1、圆台的下底面及

侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

1.集合{x| –1 <– , xN}的真子集的个数是_____________________10log

1

x1

2

2.复平面上非零复数z

1，z

2在以i为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，z

1的辐

21zz

角主值为  , 则z

1996年全国Ⅱ高考数学试题(文)

1996年全国Ⅱ高考数学试题(文)

第 1 页 (共 9 页)110988970.doc 1996年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）

文科数学

参考公式：

三角函数的积化和差公式：

1sincossin()sin()2

1cossinsin()sin()2

1coscoscos()cos()2

1sinsincos()cos()2 正棱台、圆台的侧面积公式

1()2Sccl台侧 其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长．

球的体积公式：343Vr球，其中R表示球的半径．

第Ⅰ卷（选择题共65分）

一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集1,2,3,4,5,6,7I，集合1,3,5,7A，3,5B，则

A．IAB B．IAB C．IAB D．IAB

2．当1a时，在同一坐标系中，函数xya与logayx的图像是

A． B． C． D．

3．若22sincosxx，则x的取值范围是

A．322,44xkxkkZ

B．522,44xkxkkZ

C．22,44xkxkkZ x y

O 1 1

x y

O 1 1

x y

O 1 1

x y

O 1 1 第 2 页 (共 9 页)110988970.doc D．322,44xkxkkZ

4．复数45(22)(13)ii等于

A．13i B．13i C．13i D．13i

5．6名同学排成一排，其中甲、乙两必须排在一起的不同排法有

A．720种 B．360种 C．240种 D．120种