河南省郑州一中2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试题
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页 1第 河南省郑州一中2013-2014学年高二上学期期中考试数学（理）试题
说明： 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，时间120分钟.
2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中.
第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在ABC中，若13,cos2aA，则ABC的外接圆半径是
A. 12 B. 32 C. 23 D.3
2. 已知数列5,11,17,23,29,,则55是它的第（ ）项.
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
3. 若不等式ab与11ab同时成立，则必有
A. 0ab B. 110ab C. 0ab D. 110ab
4. 在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知60A，43b，为使此三角形只有一个，则a满足的条件是
A. 043a B. 6a C. 43a或6a D. 043a或6a
5. 已知等差数列{}na满足,18130,58aaa,则前n项和nS取最大值时，n的值为
A．20 B．21 C．22 D．23
6. 在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，若ccosC=bcosB，则△ABC的形状一定是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
7. 已知正项等比数列{}na满足：7652aaa,若存在两项,mnaa使得14mnaaa，则14mn的最小值为
A. 9 B. 43 C. 53 D. 32
8. 设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，320cosbaA，则sin:sin:sinABC=
A． 4:3:2 B． 5:6:7 C． 5:4:3 D． 6:5:4
9. 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋9y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，319xyz的最大值为 页 2第 A．1 B．94 C.-1 D．3
10. 数列}{na的前n项和为)()1(,1*2NnabnnSnnnn,则}{nb的前50项的和为
A．49 B．50 C．99 D．100
11. 已知实数,xy满足140xxyaxbyc,且目标函数2zxy的最大值为6,最小值为1,
其中0,cbb则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
12. 数列{}na的通项公式为133nan ，12nnnnbaaa，nS是数列nb的前n项和，则nS的最大值为
A. 280 B. 300 C. 310 D. 320
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若22220abcab，则角C的大小为 ．
14. 设,xyR，若2241xyxy，则2xy的最大值是_________.
15. 已知方程2(2)10xaxab的两根为12,xx，且1201,xx则ab的取值范围 ．
16.已知数列na满足122nnaqaq（q为常数，||1q），若3456,,,aaaa{18,6,1,6,30}，则1a ．
2013—2014学年上期中考
15届 高二理科数学试题答题卷
题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 22
得分
一、选择题：（共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
答案
二、填空题：（共20分）．
13. 14. 15. 16． 页 3第
第Ⅱ卷
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80ABm，70BCm，50CAm．假定A、B、C、O四点在同一平面内．
（Ⅰ）求BAC的大小；
（Ⅱ）求点O到直线BC的距离．
18.（本小题满分12分）设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．
已知37S，且1233,3,4aaa构成等差数列．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）令nnnba,求数列{}nb的前n项和nT．
19. （本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
已知2cos3A，sin5cosBC. 页 4第 NPMDCBA(Ⅰ)求tanC的值； (Ⅱ)若2a，求ABC的面积．
20.（本小题满分12分）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB= 4米，AD
= 3米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点， 且矩形AMPN的面积小于64平方米．
（Ⅰ）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
（Ⅱ）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积．
21. （本小题满分12分）已知函数23fxxax.
(Ⅰ)当2,2x时，fxa恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)若对一切3,3a，fxa恒成立，求实数x的取值范围．
座号 页 5第
22. （本小题满分12分）数列{}na的前n项和为nS,2*131().22nnSannnN
（I）证明:数列{}nan是等比数列；
（Ⅱ）若221111(),12nnnnnnbacbb，数列{}nc的前n项和为nP，求不超过2013P的最大整数的值．
页 6第 2013—2014学年上期中考
15届 高二理科数学试题
参考答案
一、选择题：
1-5 DCCCB 6-10 CDDAA 11-12 DC
二、填空题
13. 34（或135） 14． 2105 15． 31(,)22 16． 126
三、解答题：
17. 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为80ABm，70BCm，50CAm，
由余弦定理得222cos2ABACBCBACABAC 2228050701280502．
因为BAC为△ABC的内角，所以3BAC．……………………5分
（Ⅱ）方法1：设外接圆的半径为R，
因为70BC，由（1）知3A，所以3sin2A．
所以7014032332R，即7033R．
过点O作边BC的垂线，垂足为D，
在△OBD中，7033OBR，703522BCBD，
所以2222703353ODOBBD 3533．
所以点O到直线BC的距离为3533m．
方法2：因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，所以点O为△ABC外接圆的圆心．连结OB，OC，过点O作边BC的垂线，垂足为D，
由（1）知3BAC，所以3BOC．
所以3BOD．在Rt△BOD中，703522BCBD，
所以35353tantan603BDODBOD． A
B C O
D
A
B C O
D 页 7第 所以点O到直线BC的距离为3533m．……………………10分
18. 解：（Ⅰ）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a．设数列{}na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，．又37S，可知2227qq，即22520qq，
解得12122qq，．由题意得12qq，．11a．
故数列{}na的通项为12nna．………………………………6分
（Ⅱ）由于1=2nnnnnba,所以
01112+++,222nnnT
1211121+++,22222nnnnnT
两式相减得：12111111212(1)2.22222222nnnnnnnnnT
124.2nnnT ………………………………12分
19. 解：(Ⅰ)∵cosA＝23＞0，∴sinA＝251cos3A，
又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝53cosC＋23sinC．
整理得：tanC＝5． ………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sinC＝56．
又由正弦定理知：sinsinacAC，故3c． (1)
由余弦定理得：cosA＝222223bcabc． (2)
解(1) (2)得：3b or b＝33(舍去)．∴ABC的面积为：S＝52．…………12分
20. 解：（Ⅰ）由△NDC∽△NAM，可得DNDCNAAM，
∴34xxAM，即43xAMx，故24=3xSANAMx，
由24=643xSx且3x，解得4,12x，
