学生版：数列通项公式与求和方法介绍很好!!

人教版数学必修五

第二章 数列 重难点解析

第二章 课文目录 2． 1 数列的概念与简单表示法 2． 2 等差数列

2． 3 等差数列的前 n 项和 2． 4 等比数列

2． 5 等比数列前 n 项和

【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式

【难点】

1、根据数列的前 n 项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法

⒈ 数列的定义 ：按一定次序排列的一列数叫做 数列 .

注意 ：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么

它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现 .

⒉ 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的 项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第

2 项， ，第 n 项， .

⒊数列的一般形式 ：

a1 , a2 , a3 , , an , ，或简记为 an ，其中 an 是数列的第 n 项

1 求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列}{na满足：26,7753aaa， 求na；

2.已知数列}{na满足)1(1,211naaann，求数列}{na的通项公式；

3.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且 （Nn），求数列na的通项公式；

4.等比数列}{na的各项均为正数，且13221aa，62239aaa，求数列}{na的通项公式

5.已知数列}{na满足)1(3,211naaann，求数列}{na的通项公式；

6.已知数列}{na满足2122142nnnaaaaa且， （Nn），求数列na的通项公式；

7.已知数列}{na满足，21a且1152(5)nnnnaa（Nn），求数列na的通项公式；

2

8.已知数列}{na满足，21a且115223(522)nnnnaa（Nn），求数列na的通项公式；

9.数列已知数列na满足111,41(1).2nnaaan则数列na的通项公式=

（2）累加法

1、累加法 适用于：1()nnaafn

21321(1)(2)

()nnaafaafaafn 两边分别相加得 111()nnkaafn

例：1.已知数列{}na满足141,21211naaann，求数列{}na的通项公式。

2. 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

3. 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

4. 设数列}{na满足21a，12123nnnaa，求数列}{na的通项公式

（3）累乘法

适用于： 1()nnafna 3 若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，

1 求数列通项公式常用方法

1.归纳法：由给出已知项寻找规律 ，求同存异，猜想通项公式

2.公式法：等差数列与等比数列.

3.作差法：利用)2()1(11nSSnSannn , 求na

特别的：已知前n项积，求na使用（作商法）.

4、累加法：数列}{na的递推公式为)(1nfaann型时，且{)(nf}中n项和可求。

5、累乘法：数列}{na的递推公式为)(1nfaann型时，且{)(nf} 中n项积可求。

6、构造法：形如qapann1（qp、为常数）的形式，往往变为)(1nnapa，构成等比数列，求}{na的通项公式，再求na.

7、倒数法：形如)()()(nhanganfnn，可取倒数后换元，变为qapann1

8.周期法：计算出前n项，寻找周期

精题自测

(1)已知数列}{na满足)1(23nnaS，则na=_____________

(2)已知数列}{na满足11a，nnnaa21，则na=_____________

(3)已知数列}{na满足11a，)11ln(1naann，则na=_____________

2 (4)已知数列}{na满足11a，nnnaa21，则na=_____________

(5)已知数列}{na满足11a，0na，0)1(1221nnnnaanaan，则na=____________

(6)已知数列}{na满足11a，121nnnaaa，则na=_____________

(7)已知数列}{na满足31a，62a，nnnaaa12，则2013a=_____________

(8)已知数列}{na满足333313221naaaann，则na=_____________

（9）已知数列的前n项积为2n，则当n2时，则na=_____________

等比数列与等比数列求和

等比数列是指一个数列中后一项与前一项的比等于一个常数，这个常数被称为公比，用字母q表示。等比数列的通项公式为：an = a1 *

q^(n-1)，其中an表示第n项, a1表示首项。

等比数列求和是指将等比数列的所有项相加的操作，可以通过不同的方法来求解。下面将介绍两种常见的求和方法：直接相加法和倍数相加法。

直接相加法：

直接相加法是最简单的求和方法，适用于等比数列的项数较少的情况。首先，我们将等比数列的各项相加，并将其表示为Sn，则有Sn =

a1 + a2 + a3 + ... + an。公比为q的等比数列的前n项和Sn的公式为：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。

倍数相加法：

倍数相加法适用于等比数列的项数较多的情况。它利用等比数列中每一项与公比的关系，将各项按照公比的倍数进行相加。首先，我们设等比数列的首项为a1，公比为q，项数为n。然后，我们将等比数列的各项分别与公比的不同次方相乘，并将其表示为Sn1，Sn2，...，Snn。最后，将这些结果相加，得到等比数列的和Sn。公式如下所示：

Sn = a1 + a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1)

= a1 * (1 - q^n)/(1 - q) 其中，n表示等比数列的项数。

总结：

等比数列是一个重要的数列概念，在数学和实际问题中都有广泛的应用。我们可以通过直接相加法或倍数相加法来求解等比数列的和。直接相加法适用于项数较少的情况，而倍数相加法则适用于项数较多的情况。通过掌握这些方法，我们可以更好地理解等比数列和求和的概念，从而应用于解决实际问题。

需要注意的是，在进行等比数列求和的计算过程中，我们需要严格按照公式进行计算，避免出现计算错误。同时，我们还可以通过推导等比数列的通项公式，或利用数学软件进行计算，来验证我们的求和结果是否正确。

通过学习等比数列和等比数列求和的相关知识，我们可以提高数学思维和计算能力，更好地应用于实际生活和工作中。希望本文能够对读者有所帮助，使大家对等比数列和求和有更深入的理解。