谈弹簧的弹力和弹性势能

第３６卷第１期　２０１５正　物　理教师　ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ　Ｖｏ１．３６　ＮＯ．１　（２０１５）　

问题讨论·　

谈弹簧的弹力和弹性势能　

叶正勇　

（浙江省衢州第二中学，浙江衢州　３２４０００）　

弹簧是中学物理中常见的研究对象，大量的　

中学物理问题中均会涉及到弹簧．弹簧问题往往　

与高中物理的核心规律——牛顿运动定理，能量　

的转化与守恒规律以及弹力的规律密切相关，从　

而成为高中物理的重点．然而，教学实践表明，不　

少的学生在学习了弹簧的相关知识后，在概念、规　

律的理解上还存在着不少的误区．出现这种现象　

的原因主要不在学生，而与教师对相关知识的讲　

解只浮于表面，没有深入透彻的分析有关．本文就　

弹簧知识的几个核心问题：弹簧模型的特点及弹　

簧弹力的概念；弹力大小的规律——胡克定理的　

准确理解及适用范围；弹簧弹性势能的特点等做　全面深入的分析，以期提高弹簧知识的教学与学　

习的效果．　

１在正确建立弹簧模型的基础上准确把握弹簧　

弹力的概念　

弹簧的本质属性是具有弹性（形变后能恢复　

原状的性质），故弹簧只能模型化为弹性体，而不　

能模型化为质点或刚体．在中学阶段，学生所学习　

的最重要的（几乎是唯一的一种）弹性体模型就是　

弹簧．突出了具有弹性这一本质特征，而忽略了质　

量、粗细等次要或无关因素的弹簧，称为理想弹簧　

（或称轻质弹簧，简称弹簧，中学阶段只讨论理想　

弹簧）．对＝ｆ理想弹簧，若从质点组的角度来看，可　

视为由无数个质点（连续介质）所组成的一种特殊　

质点组，且相邻的质点之间存在着相互的作用力．　

所谓弹簧的弹力，就是这种质点组中任意两个相　

邻的质点；之间的相互作用力．　

在建立了理想弹簧的模型后，中学阶段讲授　

弹簧弹力的概念时应向学生点明：　

（１）弹簧弹力的本质．　

弹簧中任意相邻的两部分之间的相互作用力　

定义为弹簧的弹力．该力起因于所考查的这两部　

分中的每一部分均发生了弹性形变，且均要恢复　

原状的弹性．若弹簧处于伸长状态，此时的弹力是　

相互吸引：力；若处于压缩状态，则弹力是相互排斥　

力．若是只考查弹簧中的某一部分，说到该部分的　

弹力时，应明确指出是它所受到的弹力还是它所　施出的弹力．这样才有确定的含义．　

（２）弹力大小的特点．　鉴于理想弹簧的质量不计，发生了弹性形变　

的弹簧中任意两点的弹力，其大小一定相等．这是　

因为，以这两点之间的这段弹簧为研究对象，由牛　

顿第二定律可知，该段弹簧受到的合力为０，故这　

两点的弹力相等．由于弹力大小的等值性特点（其　

大小与所考查的弹簧上的点无关），讲到弹簧弹力　

的大小时，就无需点明是弹簧中哪一点的，而只是　

笼统地称为是整根弹簧的．在中学阶段，讲到弹簧　

弹力大小，通常指的是所考察的弹簧两端点的弹　

力大小（即弹簧对外作用力的大小或者弹簧受到　

外界作用的力的大小）．一旦将形变的理想弹簧任　

端点所受的外力撤去，即该点的弹力为０，则整　

根弹簧（其上各点）的弹力均变为０，这时，弹簧的　形变将立即消失而恢复原长．此外，弹簧弹力大小　

等值性的特点与所研究的弹簧所处的运动状态无　

关，即无论弹簧是否处于平衡状态，其上各点弹力　

的大小均相等．　

（３）弹力变化的渐变性特点．　

弹簧的弹力起因于它的弹性形变，当受弹簧　

弹力作用的物体（高中段通常均模型化为刚体）受　

到的其它力（不含弹簧的弹力）发生变化的瞬间，　

由于该物体的位置来不及改变，该瞬间弹簧的形　

变也来不及改变，故它的弹力几乎不变，此即弹簧　

弹力变化的渐变性，换句话说，此时弹簧的弹力不　

能发生突变．这是弹簧弹力明显不同于理想轻绳　

的弹力的重要特征．值得注意的是，不要将弹簧弹　

力变化的渐变性与弹力大小等值性中所说的弹簧　

的弹力随着它一端弹力的消失而立即消失的特点　

相混淆，显然，这两种情形的条件和前提均不同．　

２准确理解胡克定律及其适用范围　实验表明，弹簧弹力的大小与它的形变量（即　

伸长量或压缩量）成正比，弹力的大小与形变量的　

比值称为弹簧的劲度系数．这就是胡克定律．胡克　

定律定量揭示了弹簧弹力大小的决定因素，是弹　

性力学的基础．为了使学生掌握好该定律，在教学　

中应阐明：　

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——　Ｖ０１．３６　Ｎｏ．１　（２Ｏ１５）　物　理教　师　ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ　第３６卷第１期　２０１５钜　

（１）定律中所涉及的每一个量的确切含义．　

是定律涉及的力是所考察的对象——弹簧　

的弹力．在一般情形中，该力不是弹簧下悬挂物的重　

力．二是弹簧的形变量意指处于形变状态下的弹簧　

的长度与它的自然长度之差．需强调的是，弹簧的自　

然长度（又称原长）应是弹簧中的各点均不受弹力时　

（即弹簧处于自然状态下）的长度．如将一根要计重　量的弹簧自由悬挂处于静止状态时，其长度就不是　

该弹簧的自然长度．三是劲度系数是描述弹簧自身　

属性（弹性）的物理量，由弹簧自身的因素（弹簧的自　

然长度，材料等）决定，与弹簧所处的状态（形变程度　

及弹力大小）无关．对于给定的弹簧，其劲度系数是　

定值．而不同的弹簧通常劲度系数不同，即它们的　

弹性不同．劲度系数越大的弹簧，同样形变状态下弹　

力越大，这种弹簧就越硬．可以证明：在其他因素均　

相同、仅自然长度不同的情形下，弹簧的劲度系数与　

它的自然长度成反比．　

（２）定律和适用范围．　

物理规律是对实验事实的总结，它是在某些　

特定的条件下，对物理事件的普遍必然联系的反　

映，因此任何物理规律均有成立的前提条件或适　

用范围．对于胡克定律的适用范围应明确：　

是对于理想弹簧（即轻质弹簧）胡克定律成　

立．此时定律中的弹力大小既是所研究的弹簧上　

任一点的弹力大小（该点两侧相互作用的一对力　

中任一个力的大小），也是弹簧的两端点中的任一　

端所受到的外力大小或者两端点中的任一端对外　

界所施加的作用力的大小．在高中阶段的弹簧问　

题绝大多数属于这种情形．　

二是对处于二　

力平衡状态下的质　

量不能忽略的弹簧，　

胡克定律也适用．这　

时弹簧弹力的大小　同样具有等值性，均　图１　

等于弹簧的任一端所受到的外力大小．例如用图１　

所示的实验装置来验证胡克定律，就属于这种情　

形．图中实验桌水平光滑，弹簧在二力（一个是弹　簧左侧的挡板对它的作用力，另一个是砝码的重　

力通过理想定滑轮对弹簧的拉力）作用下处于平　

衡状态，此时弹簧中各点的弹力大小均等于砝码　

的重力大小．　三是对于要计质量的弹簧，当其中各点的弹　

力不相等时，胡克定律不再成立．如将上图中的弹　

簧在竖直方向悬挂起来处于静止状态（图２），由于　

要计及弹簧的质量，由二力平衡可知，该弹簧上越　

５６一　上面的点的弹力越大，弹簧最上端点Ａ　的弹力大小等于弹簧的重力　。ｇ，而弹　至一　

簧最下端点Ｂ点的弹力等于０．假定这根　芝　

弹簧的劲度系数为ｋ（可通过图ｌ的实验　童　

装置测得），这时由于弹簧的自重引起的　主　孝　弹簧的伸长量为　，兹证明如下．　

设弹簧的自然长度为ｚ。，此即弹簧　图２　水平放置时不受力的　

长度（见图３）．在图３　

中建立图示的一维坐　

标系．现考查坐标为ｚ　

处的很小一段弹簧（其　，ｌ＋ｄｌ　ｌｏ　

图３　

原长为ｄ／），当弹簧被竖起悬挂后静止时，该小段　

弹簧弹力的大小，根据平衡条件，等于坐标从ｚ至　

ｚ。段弹簧的重力，即　。ｇ（假定弹簧的质量分　

布均匀），而该小段弹簧的劲度系数为　尼（劲度系　

数与原长成反比），又由于这一小段弹簧的质量可　

略，胡克定律成立，因此它的伸长量为　

／Ｚ（）一Ｚ　、　

一．　一—　一　“。　）ｄ　

Ｉ　／　

整根弹簧的总伸长量　应为每一小段ｄｚ的伸长量　

ｄ　的累加，积分有　

ｒ　ｄｚ—ｒ　ｍ，ｏｇ，ｒ　ｌ—１）ｄｌ一　

。　一　一　．　

对于图４的情形，将质量为　。，劲度么　系数为ｋ的弹簧竖起悬挂后再在其下端　圭　

挂上质量为　的砝码处于平衡状态．此　；　

时，弹簧上各点的弹力显然也不同，胡克　耋　

定理对整根弹簧也不成立．用上面的方　圣　

法，同理可证明，此时弹簧的伸长量　为　圣　

ｚ—ｒ　ｄｚ：＝：　半＋＿ｍｇ．　（１）　口　

（１）式表明：对整根弹簧而言，弹簧下端的　图　

弹力大小（等于砝码重力ｍｇ）与弹簧的伸长量并不　

成正比，但两者具有线性关系，且Ａ（ｍｇ）／　一是．这　

就是在高中物理实验中依然采用图４所示的装置来　

验证胡克定律的原因（实验中所用的弹簧严格来说　

质量不能忽略）．但应明确的是，图４的实验直接验　

证的是（１）式，并没有验证本义上的胡克定律．当然，　

若把弹簧的伸长量规定为，挂了砝码时的弹簧长度　第３６卷第１期　２０１５年　物　理教　师　ＰＨＹＳ１ＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ　Ｖｏｌ＿３６　Ｎｏ．１　（２Ｏ１５）　

与不挂砝码时弹簧长度的差值　，即规定ｚ　一ｚ—　

。ｇ／（２ｋ），由（１）式可知，ｚ　的确与弹簧下端的弹力　

成正比，即　ｇ一是　，若实验验证了　ｇ一是　，也就　

间接地验证了胡克定律．　

如图５所示，质量不　

能忽略的弹簧其一端在恒　

定外力Ｆ（弹簧所受的唯　

的外力）作用下做匀加　

速直线运动（运动方向沿弹簧轴线）．在这种情形　

中，根据牛顿第二定律，该弹簧上不同点的弹力显　

然不同，即弹簧上的弹力也不具有等值性，故胡克　

定律同样不成立．根据前面的思路同理可以证明，　

此时弹簧的伸长量为Ｆ／（２ｋ）．该结论可以从对称　

性和叠加思想加以解释：在图５中，若弹簧的左端　

再作用一个大小为Ｆ，方向向左的外力，如图６（ｃ）　

所示，此时，弹簧处于平衡状态，其上各点的弹力　

大小均等于Ｆ，胡克定律成立，因此弹簧的伸长量　

为Ｆ／忌．而图６的情形可以视为图６（ａ）和图６（ｂ）　

两种情况的叠加；又因为对图６（ａ）与图６（ｂ）两种　

情形，外力对弹簧的作用是对称的，弹簧有着相同　

的伸长量，因此，每一种情　

况（即图５情形）的伸长量　

为Ｆ／（２ｋ）．　

ａ　＾￣ｖＷ　／＼『＼／＼／＼『＼『＼『＼　

（ｂ）　图６　

概括以上３点，对于胡克定律适用范围，准确　

的理解是：胡克定律只适用于弹簧上各点的弹力　

具有等值性的弹簧，换句话说，对于理想弹簧（无　

论处于何种运动状态——平衡态以及非平衡态）　

胡克定律均成立；而对于要计及质量的非理想弹　簧，胡克定律并不一定成立，此时需要具体问题具　

体分析．因此，在高中阶段的实际教学中，考虑到　

学生的可接受性，涉及到的弹簧均应视为理想化　

的轻质弹簧，即胡克定律成立的弹簧．　

３　准确把握弹簧弹力做功特点。全面深入理解弹　

簧的弹性势能　

理想弹簧可模型　

化为质点组，如图７所　

示．图中轻质弹簧（劲　

度系数为ｋ）两端连接　ＭⅣ　Ｍ　Ｍ＠　

模型化　

Ｄ　有两只刚性小球Ａ、Ｂ，　图７　

开始时，弹簧处于压缩状态（压缩量为ｚ）．一旦弹　

簧的状态发生变化，其中的各个质点均有位移，且　每个质点又受到弹力作用（来自于弹簧中的与其　

相邻的其他质点），因此弹力将对每个质点做功．　所谓弹簧弹力做的功（简称弹簧做功），其确切的　

含义是：将弹簧模型化为质点组后，弹力对质点组　

中的每一个质点所做功的代数和，而每个质点所　

受到的弹力则来自于与其相邻的质点组中的另外　

的质点．可见，弹簧做功的实质是弹簧系统的内力　

（即相邻质点间的弹力）做的总功．对于理想弹簧，　

弹力做功具有以下特点：　

（１）弹簧弹力做的功等于弹簧系统中首、尾两　

质点以弹力相互作用的一对内力的合功．　

在图７中，研究弹簧从图示状态变为自然状　

态的过程，对该过程的任一元过程，弹簧系统中１、　

２、３…　一１、ｎ各质点的元位移分别为ｄｘ　、ｄｘ　、