矩形折叠中的两解问题
近年来，矩形折叠问题一直是各地中考试题中一道靓丽的风景线.将矩形按不同要求进行折叠可以产生丰富多彩的几何问题.其中，创设开放的折叠情境，使矩形的顶点在折叠后的图形中的落点位置不固定，形成两解类中考压轴填空题的命题形式正悄然兴起.本文精选几例这样的中考试题予以解析，并提出一些解题策略供同学们参考.
例1 矩形纸片ABCD中，已知AD =8 , AB=6, E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，BE的长为 .
解析 由于折叠后点B的落点F的位置不固定，
导致不能确定EFC中的哪个角是直角，故需分情
况讨论.如图1,
(1) 当90EFC时，结合90AFEB，
发现,,AFC三点在一条直线上，显然这种情况存在.
(2) 当90FEC时，90BEF，这时
有1452AEBBEF，可证得ABBE.故这种情形存在.
(3)当90FCE时，由90DCE，知点F必须落在直线CD上，操作发现这种情况不存在.接下来，详解如下:
∵四边形ABCD是矩形，90,8BBCAD.由折叠知ABE≌AFE,
6,,,90AFABBEFEAEBAEFAFEB.
①如图2，当90EFC时，180,,,AFCAFEEFCAFC三点在一条直线上.
又根据勾股定理，得22226810,ACABBC
1064FCACAF.
设BEx,则,8EFxCEBCBEx.
在RtEFC中，222222,4(8)EFFCCExx，解得3x.故3BE.
②如图3，当90FEC时，18090,BEFFEC12AEBBEF
45.而90,45..6BBAEAEBBAEBEAB.
- 1 - 第20课时 矩形、菱形、正方形
【课时目标】
1．理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系．
2．探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理，会利用这些性质定理与判定定理进行计算与推理．
【知识梳理】
1．矩形的概念、性质和判定：
(1)定义：有一个内角为_______的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形．
(2)性质：由于矩形是特殊的平行四边形，所以它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：①矩形的四个角都是_______；②矩形的对角线________．
(3)判定：①有一个角是_______的平行四边形是矩形；②四个角_______（或有三个角是_______）的四边形是矩形；③对角线_______的平行四边形是矩形．
2．菱形的概念、性质和判定：
(1)定义：一组邻边_______的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形．
(2)性质：由于菱形是特殊的平行四边形，所以菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：菱形的四条边________，两条对角线_______，每一条对角线________．
(3)判定：①一组邻边_______的平行四边形是菱形；②四条边_______的四边形是菱形；③对角线_______的平行四边形是菱形．
3．正方形的概念、性质和判定：
(1)定义：一组邻边_______的矩形叫做正方形．
(2)性质：具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，如：四个角都是_______；四条边都_______；两条对角线互相_______，每一条对角线_______等．
(3)判定：①一组邻边_______且有一个角是_______的平行四边形是正方形；②有一个角是_______的菱形是正方形；③有一组邻边_______的矩形是正方形．
【考点例析】
考点一 矩形的性质和判定
甘肃省兰州市2016 年中考试题
数学（A）
注意事项：
1.本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。
1.如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】主视图是从正面看到的图形。从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面一行有三个正方形，所以答案选 A。
【考点】简单组合体的三视图
2.反比例函数的图像在（）。
（A）第一、二象限（B）第一、三象限
（C）第二、三象限（D）第二、四象限
【答案】B
【解析】反比例函数 的图象受到的影响，当 k 大于 0 时，图象位于第一、三象限，当 k小于 0 时，图象位于第二、四象限，本题中 k ＝2 大于 0，图象位于第一、三象限，所以答案选 B。
【考点】反比例函数的系数 k 与图象的关系
3.已知△ABC ∽△ DEF，若 △ABC与△DEF的相似比为3／4，则△ ABC与△DEF对应中线的比为（）。
（A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9
【答案】A
【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为3／4，即对应中线的比为3／4，所以答案选 A。
【考点】相似三角形的性质
4.在Rt △ ABC中，∠C＝90° ，sinA＝3／5，BC＝6，则 AB＝（）。
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习
——矩 形 学生版
知识清单梳理
知识点 矩形的判定与性质
1.矩形：有一个角是 的平行四边形叫作矩形.
2.矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等.
（2）矩形的四个角都是 .
（3）矩形的对角线 .
（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 条对称轴.
3.矩形的判定
（1）有一个角是 的平行四边形是矩形.
（2）对角线 的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是 的四边形是矩形.
高频考点过关
考点一 矩形的判定
1.如图，在▱ABCD中，AD＝3， CD＝2.连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F.若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A.√5 B.2√5
C.6 D.2√13 2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形.
考点二 矩形的性质
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD
4.（2024平阴二模）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E.求证：AE＝AC.
达标演练检测
1.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3 3.如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝（ ）
