八年级数学下册第1章直角三角形专题训练一直角三角形与勾股定理的应用练习新版湘教版
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1 专题训练(一) 直角三角形与勾股定理的应用
► 类型之一 共边直角三角形的问题
1．如图1－ZT－1，一架梯子的长度为2.5米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端0.7米．
(1)这个梯子顶端离地面________米；
(2)如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米？
图1－ZT－1
2．如图1－ZT－2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以每秒0.5米的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)
图1－ZT－2
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► 类型之二 构造直角三角形解决问题
3．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图1－ZT－3，近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240 km的B处，以每小时12 km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150 km的范围为受影响区域．
(1)A城是否会受到这次沙尘暴的影响？为什么？
(2)如果A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
图1－ZT－3
4．如图1－ZT－4，小红同学要测量A，C两地的距离，但A，C之间有一个水池，不能直接测量，于是她在A，C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A，C两地．她测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°.请你帮助小红同学求出A，C两地之间的距离．(参考数据：21≈4.6，保留到整数位)
图1－ZT－4
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► 类型之三 直角三角形中的测量问题
5．如图1－ZT－5，小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮他计算一下旗杆的高度吗？
图1－ZT－5
► 类型之四 最短路径问题
6．如图1－ZT－6，有一个圆柱形透明玻璃容器，高15 cm，底面周长为24 cm，在容器内壁距上边缘4 cm的A处停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬3 cm到达B处时(B处与A处恰好相对)，发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少厘米？(容器厚度忽略不计)．
图1－ZT－6
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► 类型之五 直角三角形与面积问题
7．如图1－ZT－7，学校有一块三角形草坪，数学课外小组的同学测得其三边的长分别为AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．
(1)小明根据测量的数据，猜想△ABC是直角三角形，请判断他的猜想是否正确，并说明理由；
(2)若计划修一条从点C到AB边的小路CH，使CH⊥AB于点H，求小路CH的长．
图1－ZT－7
► 类型之六 直角三角形作图与计算问题
8．如图1－ZT－8，在笔直的公路l的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC＝3 km，BD＝4 km.现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等．
(1)试用直尺和圆规在图中作出点P；(保留作图痕迹)
(2)连接AP，BP，若测得∠APB＝90°，求A村到车站的距离．
图1－ZT－8
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详解详析
1．解：(1)梯子底部离墙底端0.7米，且梯子的长度为2.5米，则在梯子与地面、墙面构成的直角三角形中，梯子顶端与地面的距离为2.52－0.72＝2.4(米)．故答案为2.4.
(2)设梯子的底部在水平方向上滑动了x米，则(2.4－0.4)2＋(0.7＋x)2＝2.52，
(0.7＋x)2＝2.52－22＝2.25，
∴0.7＋x＝1.5(0.7＋x＝－1.5已舍去)，
∴x＝0.8.
答：梯子在水平方向上滑动了0.8米．
2．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝132－52＝12(米)．
∵此人以每秒0.5米的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝13－0.5×10＝8(米)，
∴AD＝CD2－AC2＝82－52＝39(米)，
∴BD＝AB－AD＝(12－39)米．
答：船向岸边移动了(12－39)米．
3．解：(1)A城会受到这次沙尘暴的影响．理由：如图，过点A作AC⊥BM，垂足为C.在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝12×240＝120(km)．∵AC＝120 km＜150 km，∴A城会受到这次沙尘暴的影响．
(2)设点E，F是以点A为圆心，150 km为半径的圆与MB的交点，由题意得CE＝AE2－AC2＝1502－1202＝90(km)，
∴EF＝2CE＝2×90＝180(km)．
180÷12＝15(时)．
答：A城遭受影响的时间为15小时．
4．解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.
∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°.
在Rt△BCD中，
∠BCD＝90°－∠CBD＝30°，
∴BD＝12BC＝12×20＝10(米)，
∴CD＝202－102＝10 3(米)，
∴AD＝AB＋BD＝80＋10＝90(米)．
在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝902＋（10 3）2≈92(米)．
答：A，C两地之间的距离约为92米． 6
5．解：如图，设AC＝x米，
则AB＝(x＋1)米．
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB2，
即x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.
答：旗杆的高度为12米．
6．解：将圆柱沿相对的A，B垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图所示．
过点B作BO⊥AO于点O，则AO，BO分别平行于长方形的两边，作点A关于点D的对称点A′，连接A′B，则△A′BO为直角三角形，且BO＝242＝12(cm)，A′O＝(15－3)＋4＝16(cm)，由勾股定理，得A′B2＝A′O2＋BO2＝162＋122＝400，∴A′B＝20 cm.故蜘蛛沿折线BCA爬去吃小飞虫最近，且它至少要爬20 cm.
7．解：(1)正确．
理由：在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米，
∵AC2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AB2，
即AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)∵CH⊥AB，∴S△ABC＝12AB·CH.
由(1)知△ABC是直角三角形，
且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝12AC·BC，
∴AB·CH＝AC·BC，
即200CH＝160×120，
解得CH＝96米．
答：小路CH的长为96米．
8．解：(1)如图，连接AB，画出AB的垂直平分线交CD于点P，则点P即为所求的点．
(2)∵∠APB＝90°，
∴∠APC＋∠BPD＝90°.
又∵∠APC＋∠PAC＝90°， 7 ∴∠PAC＝∠BPD.
又∵∠ACP＝∠PDB＝90°，AP＝PB，
∴△ACP≌△PDB(AAS)，
∴PC＝BD＝4 km.
在Rt△ACP中，∠ACP＝90°，
∴AP2＝AC2＋PC2＝32＋42＝25，
∴AP＝5 km.
答：A村到车站的距离为5 km.
