高中数学 第5课时 对数不等式的解法教案 新人教A版选修4-5

数学人教B选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法

知识建构

综合应用

专题一 含绝对值不等式的解法

1．公式法

|f(x)|＞g(x)f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)；

|f(x)|＜g(x)－g(x)＜f(x)＜g(x)．

2．平方法

|f(x)|＞|g(x)|[f(x)]2＞[g(x)]2.

3．零点分段法

含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．

应用1解下列关于x的不等式：

(1)|x－x2－2|＞x2－3x－4；

(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x.

提示：根据绝对值的意义，先去掉绝对值符号，再解不等式．

应用2若f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1，p2为常数，且f(x)＝ f1(x)，f1(x)≤f2(x)，f2(x)，f1(x)>f2(x).

求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1，p2表示)．

专题二 基本不等式的应用

利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．

应用1(1)已知0＜x＜2，求函数y＝x(8－3x)的最大值．

(2)已知x＞1，求函数y＝x2－2x＋22x－2的最小值．

提示：先通过恒等变形，使不等式具备“一正、二定、三相等”的条件，再应用基本不等式求最值．

应用2已知a＞b＞0，求a2＋16b(a－b)的最小值．

提示：适当变形后，可多次应用基本不等式，但应注意验证等号是否成立．

专题三 恒成立问题

对于恒成立不等式求参数范围问题，常见类型及其解法如下：

不等式的性质与绝对值不等式

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教学重点: 掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法；

教学难点: 理解绝对值不等式的解法

1.基本不等式

(1)基本不等式成立的条件:

(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.

2.几个重要的不等式

).0(2);,(222abbaabRbaabba

),(2)2();,()2(2222RbababaRbabaab

3.算术平均数与几何平均数

设则的算术平均数为, 几何平均数为, 基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．

4.利用基本不等式求最值问题

已知,0,0yx则

(1)如果积是定值那么当且仅当时, 有最小值是(简记: 积定和最小).

(2)如果和是定值, 那么当且仅当时, 有最大值是(简记: 和定积最大). 5.若, 则 (当且仅当时取“=”）

若, 则 (当且仅当时取“=”）

若, 则 (当且仅当时取“=”）

若, 则 (当且仅当时取“=”）若, 则 (当且仅当时取“=”）

若, 则（当且仅当时取“=”）

注意：

(1)当两个正数的积为定植时, 可以求它们的和的最小值,

当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值, 正所谓“积定和最小, 和定积最大”.

(2)求最值的条件“一正, 二定, 三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

6.绝对值的意义: （其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离）

选修4－5 不等式选讲

最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．

1．含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；

(2)|f(x)|0)?－a

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？

提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

3．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

4．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

1 / 18 ——教学资料参考参考范本——

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5

______年______月______日

____________________部门

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1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．

|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．

不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．

2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．

②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．

|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式的解法

解下列不等式：

(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.

利用|x|>a及|x|0)型不等式的解法求解．

3 / 18 (1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－，

∴原不等式的解集为.

(2)原不等式价于 |x－2|≥2， ①|x－2|≤4. ②

由①得x－2≤－2，或x－2≥2，∴x≤0或x≥4.

由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.

∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．

|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：