2015年湖北省高考数学试卷(文科)附详细解析

2015年湖北省技能高考文化综合试卷数学部分(90分)一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其选出.未选，错选或多选均不得分.19. 下列三个结论中正确结论的个数为（ ） ①空集是由数0组成的集合;②绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}; ③若a 为实数，则022=--a a 是2=a 成立的充分条件 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D【解析】空集是不含任何元素的集合，故①错误；绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为{-2,-1,0,1,2}，故②错误；解方程022=--a a 得a=2或a=-1,所以022=--a a 是2=a 成立的必要条件，③错误.故选D.20. 若集合A={x ∈R |-2＜x ＜1}与B={x ∈N|0≤x ≤3}，则A∩B=( ) A.{0} B.[ 0,1) C.( -2,3] D.{0,1,2,3} 【答案】A【解析】因为集合A={x ∈R |-2＜x ＜1}，B={x ∈N |0≤x ≤3}={0,1,2,3}，所以A∩B ={0}.故选A.21. 下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A.21)(-=x x f B.1)(-=x x f C.2)(x x f = D.x x f 3)(=【答案】B【解析】A 选项，函数21)(-=x x f 的定义域为（0，+∞），不关于原点对称；B选项，1)(-=x x f 定义域为(-∞，0)∪（0，+∞），11()()f x x x ---=-=-,1()f x x --=-,()()f x f x -=-,所以1)(-=x x f 为奇函数；C 选项，2)(x x f =的定义域为R ,f(-x)=(-x)2=x 2,()()f x f x -=,所以2)(x x f =为偶函数；D选项，x x f 3)(=定义域为R ，()3,()3x x f x f x --=-=-，()(),()-()f x f x f x f x ≠--≠，所以x x f 3)(=为非奇非偶函数.故选B.22. 下列三个结论中正确结论的个数为（ ）①23)(x x f =为幂函数;②算式)404cos(505tan 202sin -⋅⋅＜0; ③直线02045=-+y x 的横截距等于4 . A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B【解析】一般地，形如y=x α（α∈R,α≠0）的函数叫做幂函数，∴①错误；044cos 35tan 22sin 44cos 35tan 22sin 404cos 505tan 202sin >︒︒︒=︒︒-︒-=-⋅⋅）)（()( ，∴②错误；在直线02045=-+y x 中令y=0得x=4,∴②正确.故选B.23. 直线023=++y x 的倾斜角是（ ） A.6πB. 3πC. 32π D. 65π【答案】D【解析】直线的一般式方程023=++y x化为斜截式为y x =，所以斜率为-65π.故选D. 24. 在等比数列{n a }中，若1a =2，且q =2，则4a =（ ） A.8 B.10 C.16 D.32 【答案】C【解析】因为等比数列{n a }中，1a =2，且q =2，所以33412216a a q ==⨯=.故选C.五、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）把答案填在答题卡相应题号的横线上.25. 计算：65131213131235335253⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅---- =————————.【答案】101【解析】113131332231111111()1()3()1233323661515--6666352533523523535---⨯-+-⨯--⨯----⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅==⋅⋅ -1-115210=⋅=.26. 函数()1log 13)(5.02-+--=x x x x x f 的定义域用区间表示为——————.【答案】（1，3]【解析】函数()1log 13)(5.02-+--=x x x x x f 的定义域需满足210,30,10x x x x -≠⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得1<x ≤3，用区间表示为（1，3].27. 与向量a =(3,4)垂直的单位向量的坐标为——————.【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛53-54，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-5354， 【解析】向量a =(3,4)垂直的一个向量为b=(-4,3),方向向量为43,||55⎛⎫=- ⎪⎝⎭b b 或43,||55⎛⎫-=- ⎪⎝⎭b b . 28. 若公差不为零的等差数列的第2、3、6项构成等比数列，则该等比数列的公比为——— .【答案】3【解析】设等差数列的公差为d,因为公差不为零的等差数列的第2、3、6项构成等比数列，所以2111(2)()(5)a d a d a d +=++，解得12d a =-1(0)a ≠，所以等差数列的第2、3、6项分别为-a 1,-3a 1,-9a 1,等比数列的公比为3.六、解答题 （本大题共3小题，每小题12分，共36分）应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 29. 解答下列问题（1）设向量a =(2,m )， b =(2,1)， c =(n ,-8)，且)1520(23，=-+c b a ,求实数m ，n 的值 ;（2）已知向量a =(4,5)，b =(-3,1)，c =(5,3)，求向量c a -与b 的夹角θ . 【解】（1）由于a =(2,m )，b =(2,-1)，c =(n ,-8)因此3a +2b -c =3×(2,m )+2×(2,-1)-(n ,-8)= (6,3m )+(4,-2)-(n ,-8)= (6+4-n ,3m -2+8)=(10-n ,3m +6),又3a +2b -c =(20,15)，得⎩⎨⎧=+=-15632010m n ，得m =3，n =-10.（2）由于a =(4,5)，b =(-3,1)，c =(5,3)，因此 a -c =(4,5)-(5,3)=(-1,2)，得c a -=5，b =10，b c a ⋅-)(=(-1)×(-3)+2×1=5，得22211055cos ==⋅=θ，故4πθ=或 45. 30. 解答下列问题（1）求 405tan 330cos 240sin 23⋅-的值； （2）已知53)2sin(=-απ，且角⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα223，，求)2cos()(tan )3sin(2απαππα-+++-的值.【解】（1）405tan 330cos 240sin 23⋅-=)45360tan()30360cos()60180(sin 23+⋅--+= 45tan 30cos 60sin 23⋅--=1232323⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=435-. （2） 由于53)2sin(=-απ，得53sin -=α ， 又)223(ππα，∈， 得54sin 1cos 2=-=αα， 因此)2cos()(tan )3sin(2απαππα-+++-=αααcos tan sin 2+=αααcos sin cos 2+=5453542+-⎪⎭⎫⎝⎛=154-. 31. 解答下列问题（1）求与直线1l ：0524=+-y x 平行，且纵截距为-2的直线2l 的一般式方程； （2）已知点A (2,5)与B (a ,b )（a ,b 为实数），且线段AB 的中点为C (1,1)，求点B 的坐标及以线段AB 为直径的圆的标准方程.【解】（1）直线1l ：0524=+-y x 的斜率为21=k ， 因为直线2l 与直线1l 平行，得直线2l 的斜率212==k k ， 又直线2l 的纵截距为-2，所以直线2l 的斜截式方程为22-=x y ， 故直线2l 的一般方程为022=--y x .（2）依题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+125122b a，得4-=a ，3-=b ，即点B 的坐标是(-4,-3)，又所求的圆以线段AB 为直径，得所求圆的圆心坐标为C (-1,1)， 半径为5)15()12(22=-++=r ，故所求圆的标准方程为25)1()1(22=-++y x .双向细目表。

2015年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）i为虚数单位，］6。

7的共轲复数为（）A.iB.-iC.1D.-12.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分〃题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D,1365石3.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.294.（5分）设X—N（山，oi2）,Y〜N（由，廿），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）C.对任意正数t,P（XWt）NP（YWt）D.对任意正数t,P（XNt）3P（YNt）5.（5分）设ai，a?,a n^R.nN3.若p：a2,an成等比数列；q：（ai2+a22+...+a n-i2）（a22+a32+...+a n2）=（aia2+a2a3+...+a n-ia n）2,则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件1,K>06.(5分)已知符号函数sgnx=0,x=0,f(x)是R上的增函数，g(x)=f-1,x<0(x)- f(ax)(a>l),贝!J()A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]7.（5分）在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记Pi为事件“x+yN*的概率,P2为事件"|x-y|W»的概率，P3为事件“xyW»的概率，则（）22A.Pi<P2<P3B.P2VP3VP1C.P3VP1VP2D.P3VP2VP18.（5分）将离心率为ei的双曲线Ci的实半轴长a和虚半轴长b（a尹b）同时增加m（m>0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a,b,ei>e2B.当a>b时，ei>e2；当a<b时，ei<e2C.对任意的a,b,ei<e2D.当a>b时，ei<e2；当a<b时，ei>e29.（5分）已知集合A={（x,y）Ix2+y2<l,x,yGZ},B={（x,y）||x|W2,|y|W2,x,yCZ},定义集合AffiB={（X1+X2，yi+y2）（xi，yi）GA,（X2，y2）GB},则A®B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.3010.（5分）设xUR,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=l,[t2]=2,[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量0A±AB，I0Al=3,则菰•岳・12.（5分）函数f（x）=4cos2A cos-x）-2sinx-|In（x+1）|的零点个数为.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30。

2015年湖北高考数学模拟试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．卡上．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．。

．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（2015•青岛一模）设全集I=R，集合A={y|y=log 2x，x＞2}，B={x|y=}，则（） A．A⊆B B． A∪B=A C．A∩B=∅ D．A∩（∁IB）≠∅2．（2015•德州一模）设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3﹣i，则的值为（） A． 1 B．2C．D．43．（2015•青岛一模）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4 4．（2015•兰山区校级二模）以下判断正确的是（）A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3＞x2”的否定是“∃x∈N，x3＜x2”C．“a=1”是函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π的必要不充分条件D．“b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件5．（2015•湖北模拟）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（） A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3 6．（2014•邯郸二模）某程序框图如图所示，若输出的S=120，则判断框内为（）A． k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？7．（2015•湖北二模）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（）A．B．16πC．8πD．8．（2015•泰安一模）已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m，n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2D．39．（2015•潍坊一模）对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n=，设f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）10．（2015•荆门模拟）对于一个有限数列p=（p1，p2，…，p n），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中S k=p1+p2+…+p k（1≤k≤n，k∈N）．若一个99项的数列（p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为（） A． 991 B．992 C．993 D．999二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11．（2015•湖北模拟）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1 则|+2|= ．12．（2015•菏泽二模）设x，y满足约束条件，则 x2+y2的最大值为．13．（2015•潍坊一模）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两条渐近线于M，N两点，且与双曲线在第二象限的交点为P，设O为坐标原点，若（m，n∈R），且mn=，则双曲线的离心率为．14．（2014•咸阳三模）若不存在实数x使|x﹣3|+|x+1|≤a成立，则实数a的取值范围是．15．（2014秋•麻城市校级月考）在区间[0，1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为．16．（2014•宜昌三模）观察下列等式：①sin2θ=cosθ•2sinθ②sin4θ=cosθ（4sinθ﹣8sin3θ）③sin6θ=cosθ（6sinθ﹣32sin3θ+32sin5θ）④sin8θ=cosθ（8sinθ﹣80sin3θ+192sin5θ﹣128sin7θ）⑤sin10θ=cosθ（10sinθ﹣160sin3θ+msin5θ﹣1024sin7θ+nsin9θ）则可以推测（1）n= ；（2）m= ．14．（2015•德州一模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f （x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f （x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．三．解答题（本大题共5小题，每小题13分，共65分）18．（2015•湖北模拟）定义在区间[﹣，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x∈[﹣，]时函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞O，ω＞0，O＜ϕ＜π）图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设θ∈[，]，若，f（θ）=，求sin（2θ+）的值．19．（2015•湖北模拟）数列{a n}中，已知a1=1，n≥2时，a n=．数列{b n}满足：b n=3n ﹣1（a+1）．n（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．20．（2015•湖北模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．21．（2015•德州一模）已知函数f（x）=x2﹣mlnx，h（x）=x2﹣ax+1（a＞0）（1）设A是函数f（x）=x2﹣mlnx上的定点，且f（x）在A点的切线与y轴垂直，求m的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，求证：m≥﹣．22．（2015•烟台一模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线y=x的距离为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知点M（2，1），斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2；①若直线l过椭圆的左顶点，求k1，k2的值；②试猜测k1，k2的关系，并给出你的证明．2015年湖北省高考数学(文科)模拟试卷参考答案二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11．（2． 12．29 ． 13．．14．（﹣∞，4）．15．． 16．（1）n= 512 ；（2）m= 672 ．17．2014 ．三．解答题（本大题共5小题，每小题13分，共65分）18．解：（1）当 x∈[﹣，]时，由图象知：A=2，∴T=2π，故ω=1又f（x）=Asin（ωx+φ）过，∴∴∵函数y=f （x）的图象关于直线对称，∴当时，，∴∴f（x）=（2）解：∵，∴由得：因此，，∴19．（1）证明：由得：∴即b n=b n﹣1+2⇒b n﹣b n﹣1=2（n≥2）又∴数列{b n}是首项为2，公差为2的等差数列．（2）解：由（1）知，b n=2+（n﹣1）×2=2n，∴记，则两式相减得：=∴因此，20．解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD．（2）∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴A1O=，∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．21．解：（1）由题意得：A（1，1），又f′（x）=2x﹣，∴f′（x）=2﹣m，∵f（x）在A点的切线与y轴垂直，∴f′（1）=0，∴2﹣m=0，∴m=2；（2）∵f′（x）=2x﹣=，（x＞0），∴若m≤0则f（x）在（0，+∞）单调递增，若m＞0，由f′（x）＞0，可得x＞或x＜﹣（舍），由f′（x）＜0可得0＜x＜，∴m＞0时，f（x）的递增区间是（，+∞），递减区间是（0，），综上可得：m≤0时，f（x）增区间为（0，+∞），无减区间，m＞0时，f（x）的递增区间是（，+∞），递减区间是（0，）；（3）易知f（x），h（x）的公共定域为（0，+∞），∵在（0，+∞）上，h（x）的递增区间是（，+∞），递减区间是（0，），∴若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定域上具有相同的单调性，再由（2）可得m=0且=，解得：m=，则g（a）=a3+a2﹣6a+，（a＞0），∴g′（a）=a2+a﹣6，（a＞0），由g′（a）＞0，解得：a＜﹣3，（舍），或a＞2，由g′（a）＜0，解得：0＜a＜2，∴g（a）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；∴g（a）min=f（2）=+2﹣12+=0，∴g（a）≥g（2）=0，即m≥﹣a3+6a﹣．22．解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点（c，0），由右焦点到直线y=x的距离为，∴，解得又由椭圆的离心率为，∴=，解得a2=8，b2=2，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是，联立方程组，解得，故．②设在y轴上的截距为b，∴直线l的方程为y=x+b．由得x2+2bx+2b2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2═﹣2b，x1x2=2b2﹣4．又，，故k1+k2=+=．又，，故k1+k2=0．。

1, x 0,
sgn x 0, x 0,
6．已知符号函数
1, x 0.
f (x) 是 R 上的增函数， g(x) f (x) f (ax) (a 1) ，则
A． sgn[g(x)] sgn x
B． sgn[g(x)] sgn x
C． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
D． sgn[g(x)] sgn[ f (x)]
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
3．已知 (1 x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A． 212
B． 211
C． 210
D． 29
4．设 X
~ N(1,
12 ) ，Y ~ N(2,
2 2
)
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1． i 为虚数单位， i607 的共轭复数为
A． i
B． i
C．1
D． 1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为
A B { ( 1x 2x, 1y 2y) ( 1x, 1y) A, (2x ,2y ，) 则BA} B 中元素的个数为
A．77
B．49
C．45
D．30
10．设 x R ，[x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t ，使得[t] 1，[t2 ] 2 ，„， [tn ] n