高三理科数学专题复习课后练习29

高考专题训练二十九 坐标系与参数方程(选修4－4)班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1 C 2：x 2＋y 2＝1.最小值为|C 1C 2|－2＝5－2＝3. 答案：32．(2011·湖北)如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′与y 轴重合)所在平面为β，∠xOx ′＝45°.(1)已知平面β内有一点P ′(22，2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是(x ′－2)2＋2y ′2－2＝0，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是________．解析：(1)如图P ′(22，2)在α上坐标P (x ，y )x ＝22cos45°＝22×22＝2，y ＝2，∴P (2,2)．(2)β内曲线C ′的方程(x ′－2)22＋y ′2＝1同上解法．中心(1,0)即投影后变成圆(x －1)2＋y 2＝1. 答案：(1)P (2,2) (2)(x －1)2＋y 2＝13．(2011·深圳卷)已知点P 是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为π4P 坐标为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤π)可得x 29＋y 216＝1(0≤y ≤4)，由于直线OP 的方程为y ＝x ，那么由⎩⎨⎧x 29＋y 216＝1y ＝x (0≤y ≤4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝125y ＝125.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫125，1254．(2011·佛山卷)在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为________．解析：设极点为O ，由该圆的极坐标方程为ρ＝4，知该圆的半径为4，又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，所以∠AOB ＝60°，∴极点到直线l 的距离为d ＝4×cos30°＝23，所以该直线的极坐标方程为ρcos θ＝2 3.答案：ρcos θ＝2 35．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．分析：本题考查极坐标方程与普通方程的互化．解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其普通方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1，点(－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4二、解答题(每小题7分，共70分)6．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数； (2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为(0,0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)．化为普通方程分别为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同．7．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t与抛物线y ＝x 2交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：把⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t ，代入y ＝x 2，得t 2＋2t －2＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2.由参数的几何意义，得 |AB |＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10.8．(2011·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标系，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)从而点Q 到直线l 的距离为：d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22， 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)曲线C 的普通方程；(2)设点P (x ，y )是曲线C 上任意一点，求xy 的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ·cos π4＋sin θ·sin π4＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求普通方程．(2)设x －22＝cos θ，y －22＝sin θ，则xy ＝(2＋2cos θ)(2＋2sin θ)＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ.设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴t ∈[－2，2]，t 2＝1＋2cos θsin θ，从而2cos θsin θ＝t 2－1.∴xy ＝3＋22t ＋t 2.当t ＝－2时，xy 取得最小值1；当t ＝2时，xy 取得最大值9.10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θy ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r >0)．(1)求圆心的极坐标；(2)当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3?解：(1)圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22， 设圆心的极坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 所以圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54. (2)直线l 的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， ∴圆上的点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22＋r cos θ－22＋r sin θ－12，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－12.∴圆上的点到直线l 的最大距离为2＋2r ＋12＝3，∴r ＝4－22.11．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 解：(1)直线l 的普通方程为y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ， ① 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. ② ①代入②得：2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. (2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－(3)2＝1，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，则y ＝kx ＋k ＋1，∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34. ∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45ty ＝1＋35t(t 为参数)．12．已知A 、B 是椭圆x 29＋y 24＝1与x 轴、y 轴的正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大．解：设点P 的坐标为(3cos θ，2sin θ)，其中0<θ<π2，∵S四边形AOBP ＝S △APB ＋S △AOB ，其中S △AOB 为定值，故只需S △APB最大即可．因为AB 为定长，故只需点P 到AB 的距离最大即可．AB 的方程为2x ＋3y －6＝0，点P 到AB 的距离为d ＝|6cos θ＋6sin θ－6|13＝613·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，∴θ＝π4时，d 取最大值，从而S △APB 取最大值，这时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，2.13．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，P 是圆与y 轴的交点，若以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆的切线的极坐标方程．解：依题意，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，与y 轴交于(0，±3)，如图所示．设R 是切线上一点，∵PR 为圆C 的切线，∴△CPR 为直角三角形，∴CR ·cos ∠RCP ＝CP ，又∠PCO ＝π3，∴极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－2π3＝2；若取圆与y 轴负轴交点，则极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝2.14．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 1是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x29＋y 2＝1，当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.15．(2011·课标)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.。

2
2
则 P 为棱 B1C1 的中点，其坐标为 P 1，3，2．
sr
设平面 P AB A1 的法向量为 n1 x, y, z ，
sr suur
则
nsr1
gAP suur
0
,
n1gAB 0
x 3y 2z 0
即
2y 0
sr
故 n1 2，0，1
令z 1
……………8 分 ……………11 分
20. （本题满分 14 分）某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数，单位为米)为半径的半圆形 （如图）地上种植花草树木，其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板地， OCD 区域用于种植花木出 售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元，花木的利润是每平方米 8 元，草皮的利润是每平方米 3 元.
D． 6n 2
第二部分非选择题（110 分）
二、填空题:（本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分）. （一）必做题（9～13 题）：
9．在 1 x3 1 x4 1 x7 的展开式中，含 x 项的系数是 *** ．（用数字作答）
log3 x, x 0,
10．已知函数
f
(x)
1
x
输出 a，i
i = i +1 否
结束 7．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左
或向右，并且向左移动的概率为
2
，向右移动的概率为
1
（第 5 题图） ，则电子兔移动五次后位于点
(1,
0)
的概
3
3
率是
4
A．
243
8
B．

高三数学复习限时训练（29）1、若,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值是 .2、在双曲线12222=-by a x 上有一个点P ，21,F F 为双曲线两个焦点，ο9021=∠PF F ，且21PF F ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线得离心率是3、从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点21,F F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为4、 已知O 为原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =u u u r ，(3cos ,sin )OB x x =u u u r，(2,0)OC =u u u r ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求证：()OA OB OC -⊥u u u r u u u r u u u r； （2）求tan AOB ∠的最大值及相应的x 值.5、如图，在四边形ABCD 中，AD =8，CD =6，AB =13，∠ADC =90°，且50AB AC ⋅=u u u r u u u r．（1）求sin ∠BAD 的值；（2）设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求ABDBCDS S ∆∆的值．限时训练（29）参考答案A CDB1、1162．5 35、 ⑴ ∵02x π<<， ∴ 3sin sin x x > ，∴0OA OB -≠u u u r u u u r r又()0,2sin OA OB x -=u u u r u u u r∴()022sin 00OA OB OC x -⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r u u u r ∴()OA OB OC -⊥u u u r u u u r u u u r⑵3sin tan tan 3cos x AOC x x ∠==，sin 1tan tan 3cos 3x BOC x x ∠== ∵OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，∴BA OC ⊥u u u r u u u r ，02AOB π<∠< 。

课时29 二、三阶行列式（基础题） 一、单选题1．（2020·上海黄浦·高三一模）方程213x x =5的解集是（ ） A ．{2} B ．{2，﹣2}C ．{1，﹣1}D ．{i ，﹣i }【答案】B【分析】利用二阶行列式的运算规则进行求解.【详解】2212353x x x=-=，解得2x =±.故选：B.【点睛】本题主要考查行列式的计算，明确行列式的运算规则是求解的关键. 2．（2020·上海松江·高三模拟预测）已知实数0,a >0b >，且2ab =，则行列式11a b-的A ．最小值是2B ．最小值是C ．最大值是2D ．最大值是【答案】B【分析】根据11a ba b =+-，再由2ab =，利用基本不等式求解.【详解】实数0,a >0b >，且2ab =，11a ba b ∴=+≥=-当且仅当a b =时，取等号， ∴行列式11a b-的最小值是故选：B.【点睛】本题主要考查行列式的运算及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．（2018·上海普陀·高三一模）若数列{}n a ()*N n ∈是等比数列，则矩阵124568a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所表示方程组的解的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．不确定【答案】C【分析】根据题意,分析矩阵所表示的方程组为124568a x a ya a x a y a ,进而由等比数列的性质可得12445681a a a aa a q ,进而分析可得方程组的解的个数,即可得答案.【详解】解：根据题意,矩阵124568a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所表示方程组为：124568a x a y a a x a y a , 又由数列{}n a ()*N n ∈是等比数列,则有12445681a a a aa a q , 则方程组124568a x a y a a x a y a 的解有无数个；故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质,涉及矩阵表示的方程组的方法,关键是掌握等比数列的定义. 4．（2020·上海奉贤·高三一模）由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有 ①第2列中的122232a a a 、、必成等比数列；②第1列中的112131a a a 、、不一定成等比数列；③12322123a a a a +>+；A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】C【分析】根据每行中的三个数成等差数列，可以把原来的矩阵变形，最后根据等比的数列的性质、基本不等式，举特例对三种说法逐一判断即可.【详解】因为每行中的三个数成等差数列，所以有222a a d a d b b m b m c c n c n ++⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪++⎝⎭.111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++分别为：3(),3(),3()a d b m c n +++，它们成等比数列，因此有：2()()()b m a d c n +=++，因此说法①正确；()()2()a d c n b m +++>=+题中已知可知这九个数都不互相相等，故不取等号），因此说法③正确；当1232.54 5.56.589.5⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭显然符合已知条件，所以说法②正确. 故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质、等比数列的性质，考查了基本不等式的应用. 二、填空题5．（2020·上海虹口·）行列式sin sin cos cos sin cos αααααα-+的值等于___________.【答案】1【分析】根据行列式的值的计算方法直接列式计算出结果.【详解】行列式sin sin cos cos sin cos αααααα-+的值为：()()22sin sin cos cos sin cos sin cos 1αααααααα+--=+=，故答案为：1.6．（2020·上海徐汇·高三一模）不等式1032x ->-的解集为_______________．【答案】2(,)3+∞【分析】根据二阶行列式的公式，直接列式求解.【详解】()()1123032x x -=⨯--⨯->-，解得：23x >， 所以不等式的解集是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．（2020·上海）行列式2113-的值为________．【答案】7【分析】直接展开二阶行列式得答案．【详解】解：21231(1)713-=⨯-⨯-=．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的运算，是基础题．8．（2020·上海杨浦·）行列式120235580=_______.【答案】10【分析】根据行列式定义直接计算．【详解】120352523512(040)2(025)108050580=⨯-⨯=--⨯-=． 故答案为：10．【点睛】本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可．属于基础题．9．（2021·宝山·上海交大附中高三模拟预测）方程组250380x y x y --=⎧⎨+-=⎩的增广矩阵是_________.【答案】125318-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵. 【详解】由题意，方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵.故方程组250380x y x y --=⎧⎨+-=⎩等价于2538x y x y -=⎧⎨+=⎩，故二元方程组的增广矩阵为125318-⎛⎫⎪⎝⎭故答案为125318-⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵的定义，需理解并熟记二元一次方程组增广矩阵的定义，属于基础题，10．（2019·上海黄浦·格致中学高三一模）若行列式5814379x x 中()1x ≠，元素1的代数余子式大于0,则x 满足的条件是__________．【答案】458x >【分析】由代数余子式的概念，得到元素1的代数余子式为1258(1)8459+-=-x x ，列出不等式，进而可求出结果.【详解】由题意，元素1的代数余子式为1258(1)8459+-=-x x ， 又元素1的代数余子式大于0，即8450->x ，所以458x >. 故答案为：458x >【点睛】本题主要考查代数余子式的相关计算，熟记概念即可，属于基础题型.11．（2019·上海奉贤·高三二模）计算行列式2cossin33sin cos2ππππ=_____________．【答案】0【分析】直接利用行列式的公式计算即得解.【详解】由题得原行列式1=0002⋅-=.故答案为：0【点睛】本题主要考查行列式的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.12．（2019·浦东新·上海市浦东复旦附中分校）已知2sin12cos 2cos2θθθ=则tan θ=_______. 【答案】3或13-【分析】根据行列式的定义列方程求解即可.【详解】2sin124sincoscos 22cos 2cos2θθθθθθ=-=即2sin cos θθ-= 又22sin cos 1θθ+=，解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin tan 3cos θθθ∴==或13- 故答案为 3或13-【点睛】本题主要考查行列式的计算，是基础题.13．（2020·上海高三模拟预测）已知行列式126300a cd b =，则行列式a cd b=_______ 【答案】2【分析】利用余子式可求行列式a cd b的值. 【详解】因为1212360000300a cd b a c a cd b d b=⨯-⨯+⨯= 即2a cd b=. 故答案为：2【点睛】本题考查三阶行列式的计算，一般地，111213222312131213212223112131323332332223313233=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+或者 111213222321232122212223111213323331333132313233=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+，当然，也可以按照其他的行或列展开计算.14．（2021·上海黄浦·高三一模）若关于x 、y 的二元一次线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是1302m n ⎛⎫⎪⎝⎭，且11x y =⎧⎨=-⎩是该线性方程组的解，则三阶行列式1010321m n -中第3行第2列的元素的代数余子式的值是___________.【分析】由题意可知11x y =⎧⎨=-⎩是二元一次线性方程组32mx y y n +=⎧⎨=⎩的解，求出m 、n 的值，根据代数余子式的定义可求得结果.【详解】由题意可知11x y =⎧⎨=-⎩是二元一次线性方程组32mx y y n +=⎧⎨=⎩的解，所以，132m n -=⎧⎨=-⎩，解得42m n =⎧⎨=-⎩. 所以，三阶行列式10134221--中第3行第2列的元素的代数余子式的值为()()3211114404+--=-⨯-=.故答案为：4.15．（2020·上海嘉定·高三一模）不等式401x x≤的解为___________. 【答案】22x -≤≤【分析】根据行列式定义变形后求解．【详解】不等式401x x≤为240x -≤，解得22x -≤≤． 故答案为：22x -≤≤．16．（2020·上海普陀·高三三模）满足sin 0cos x x=的实数x 的取值范围是______．【答案】,3x k k Z ππ=+∈试题分析：sin 0x x =，即2sin 03x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴,3x k k Z ππ=+∈．考点：行列式17．（2020·上海金山·高三二模）已知函数21()11x f x =，则1(0)f -=__________【分析】由题意可得()21x f x =-，由反函数的概念可得()12()log 1f x x -=+，代入即可得解.【详解】由题意21()2111x x f x ==-，则()12()log 1f x x -=+， 所以12(0)log 10f -==. 故答案为：0.【点睛】本题考查了行列式的计算与反函数的求解，属于基础题.18．（2020·上海闵行·高三一模）设函数()()22log 1log x f x x-=11-，则方程()1f x =的解为____________ 【答案】2x =【分析】转化条件得()()22log f x x x =-，即可得解.【详解】由题意得()()()2222log 1log log 1f x x x x x =-+=-=，即22x x -=，解得2x =或1x =-，由函数定义域可知2x =. 故答案为：2x =.【点睛】本题考查了二阶行列式的计算和对数的运算性质，属于基础题.19．（2017·上海浦东新·高三一模）三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为________.【答案】34【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算． 【详解】由题意，可知：（﹣1）1+2•2674-=--[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．（能力题）一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）已知行列式102131xP yz=-，则“12()3xy k k Rz⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P=”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】利用行列式展开法则推导出“12()3xy k k Rz⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P=”的充分条件，举反例说明“12()3xy k k Rz⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P=”的必要条件，由此能求出结果．【详解】行列式102131xP yz=-，“12()3xy k k Rz⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”，2355230P x z x y x y z k k k∴=-+-+=-++=-++=，∴“12()3xy k k Rz⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P=”的充分条件，当50P x y z =-++=时，有可能52y z x ==，∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查行列式以及充分条件、必要条件的概念，行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、填空题2．（2016·上海金山·）行列式a b c d(a 、b 、c 、d ∈{–1,1,2})所有可能的值中，最小值为_______．【答案】–6；【分析】计算a b ad bc c d=-，当ad 最小，bc 最大时有最小值，代入数据计算得到答案.【详解】行列式a b ad bc c d=-，当ad 最小，bc 最大时有最小值.故当1,2a d =-=或2,1a d ==-，2b c ==时有最小值为6- 故答案为：6-【点睛】本题考查了行列式的计算，意在考查学生的计算能力.3．（2016·上海市第二中学高三月考）已知ω、0t >，函数()sin cos xf x xωω=的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为___________．【答案】56π 【分析】先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用周期公式求出1ω=，然后求出平移后所得函数的解析式，结合所得为偶函数得出t 的表达式，进而可得出正数t 的最小值.【详解】()sin sin 2sin 3cos x f x x x x x πωωωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则212πωπ==，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移t 个单位，所得函数解析式为()2sin 3g x x t π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，由于函数()2sin 3g x x t π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭为偶函数，则()32t k k Z πππ-=+∈，所以，()56t k k Z ππ=+∈， 0t >，当0k =时，t 取得最小值56π. 故答案为：56π. 【点睛】本题考查利用正弦型三角函数的奇偶性求参数的最值，同时也涉及了二阶行列式的计算、正弦型三角函数周期的应用以及函数图象的平移变换，考查计算能力，属于中等题.4．（2017·上海市向明中学）若行列式124cossin022sin cos822xx x x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为__________．【答案】{|2,}3x x k k Z ππ=±∈【解析】根据题意有，()22cos sin122||cos sin cos 222sin cos 22x x x x f x x x x ==-==，故解出2,3x k k Z ππ=±∈，则实数x 的取值集合为|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭.5．（2019·上海杨浦·）在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是________. 【答案】1x =-【分析】根据余子式定义得到()4244x x f x =-⨯+⨯，换元()20xt t =>，得到方程2441t t -=-，计算得到答案.【详解】24()424444xxx x f x =-=-⨯+⨯，则1()y f x =+的零点等于与方程()1f x =-的解. 设()20x t t => 则214412t t t -=-∴=故1x =- 故答案为1x =-【点睛】本题考查了行列式的余子式，函数零点问题，换元可以简化运算，是解题的关键.6．（2019·上海市建平中学高三月考）若行列式124cos()20116x π+-中的元素4的代数余子式的值等于32，则实数x 的取值集合为____________.【答案】2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x 的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x 的取值集合．【详解】由题意得cos()211()||x f x π+-=3cos()12(1)cos 22x x π=+⨯-⨯-=-+=， 解得1cos 2x =，则2,3x k k Z ππ=±+∈，所以实数x 的取值集合是{|2,}3x x k k Z ππ=±+∈，故答案为：{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．【点睛】本题考查了三阶矩阵的代数余子式的定义，余弦函数的性质，属于基础题．7．（2021·上海市七宝中学高三月考）设复数cossin i z iαα=（i 为虚数单位），若z =tan2α=________. 【答案】1【分析】先利用行列式化简复数，再根据复数的模求解.【详解】因为()cos cos sinsin i z i iααααα==+-，又z =所以)()22cos sin 2ααα+-=，所以22cos 1sin 20αα--=， 即cos2sin 20αα-=， 所以tan 21α=. 故答案为：1【点睛】本题主要考查二阶行列式以及复数的模，三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．（2020·宝山·上海交大附中高三模拟预测）已知方程102x b x -=-的一个根是2a i +（其中a R ∈，i 是虚数单位），则实数b =______. 【答案】5【分析】由行列式的计算法则可知220x x b -+=，结合2a i +是方程的一个根，可得()224440a a b a i -+-+-=，进而可列出关于,a b 的方程，即可求出b .【详解】解：()212202x x x b x x b b x -=-+=-+=-，因为2a i +是方程的一个根，所以()()22220a i a i b +-++=，即()224440a a b a i -+-+-=，所以2240440a a b a ⎧-+-=⎨-=⎩，解得51b a =⎧⎨=⎩，故答案为:5.【点睛】本题考查了行列式的计算，考查了复数的乘法运算，考查了由复数为零求解参数.本题的关键是由方程的根列参数的方程.三、解答题9．（2021·上海高三专题练习）设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x ax +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【分析】(1)代入1a =-直接解不等式即可;(2)由01xx>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.【详解】(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270721x x x -≤⎧⎨-≥-⎩, 解得6x ≥或83x ≤,故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)由01xx>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩ 解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞;(3)21()1x g x ax +=--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立,即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,又272227(22)5x x x x ---≤---=,所以527225x x -≤---≤,所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.（真题/新题）一、单选题1．（2021·上海市建平中学高三三模）关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则下列说法错误的是（ ）A ．1212220a a c c a c ++= B ．121221210a a b b a a b b ++=--C ．1112220111a b c a b c =D ．111122111112222c b c b c b a b c a b c b a b +=【答案】D【分析】根据二元一次方程组有无穷多组解的等价条件及行列式的运算法则，对各选项逐一判断即可.【详解】解：x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，1221122112210b c b a b a a c a b c c ∴-=-=-=，对选项A ：()()12121222121221220a a c c a a c a c a c a c c a c ++=+-=-=+成立，故选项A 正确； 对选项B ：()()()()1212122121122121a ab b a a b b a a b b a a b b ++=+---+-- ()1211222121221112122120a b a b a a b a b a a b a b a b a b b b -+---+=-=+=成立，故选项B 正确；对选项C：111222222 2221111111111 11a b cc ca b c a b cb a a b=-+()()()1221221221212121221120a b c b a c c a b a b a c b a b c a c c b=---+-=--++-=成立，故选项C正确；对选项D：111221220c bc b c bc b=-=，1111 22111122220c bc bc ba ba b c ba b∴+=，所以选项D不一定成立，故选项D错误；故选：D.2．（2017·上海高考真题）关于x、y的二元一次方程组50234x yx y+=⎧⎨+=⎩的系数行列式D为A．0543B．1024C．1523D．6054【答案】C【详解】关于,x y的二元一次方程组50230x yx y+=⎧⎨+=⎩的系数行列式1523D=，故选C.二、填空题3．（2021·上海青浦·高三二模）已知三阶行列式12414139x-的值为0，则x=____________．【答案】2；【分析】由三阶行列式的计算方法列方程可求出x的值【详解】解：因为12414139x -的值为0，所以192411(3)414129(3)410x x ⨯+⨯⨯+⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯=， 即5100x -=，解得2x =， 故答案为：24．（2021·上海杨浦·高三二模）在行列式137252124D =-中，元素3的代数余子式的值为__________．【答案】10-【分析】根据代数余子式的定义可得其值. 【详解】元素3的代数余子式的值为()122211014+--=-，故答案为：10-.5．（2021·上海市七宝中学高三模拟预测）计算行列式101021213--的值为___________.【答案】3-【分析】根据三阶行列式的定义计算．【详解】101021600(4)103213-=-++----=--．故答案为：3-．6．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三三模）行列式1893的值为___________.【答案】69-【分析】二阶行列式的计算法则为：a b ad bc c d=-.直接套用公式即可.【详解】=1381893937269⨯-⨯=-=-.故答案为：69-【点睛】记准二阶行列式的计算法则即可.7．（2021·上海高三模拟预测）已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，当3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数(2)f x 的取值范围是________【答案】[【分析】首先根据题意得到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得到4)4(2f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，再求其范围即可.【详解】因为2sin cos 2()1c s 2sin cos co 22os 4x x f x x x xx x π⎛⎫=++=⎝-⎪⎭，所以4)4(2f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.因为384x ππ-≤≤，554444x πππ-≤+≤，所以1sin 414x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即(2)f x ⎡∈⎣.故答案为：[8．（2021·上海高三模拟预测）方程sec 4cos 0sin csc x x xx=的解集为___________.【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭【分析】首先根据行列式的计算得到sec csc 4cos sin 0x x x x ⋅-=，从而得到sin 21x =±，再解方程即可.【详解】sec 4cos 0sec csc 4cos sin 0sin csc x xx x x x x x =⇒⋅-=， 即14cos sin 0cos sin x x x x-=， 2114sin 204x -⨯=，即2sin 21x =，sin 21x =±， 所以222x k ππ=+或222x k ππ=-+，k Z ∈， 即4x k ππ=±+，k Z ∈. 故答案为：|,4x x k k Z ππ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭9．（2022·上海高三模拟预测）若2log 1142x -=-，则x =__________【答案】【分析】根据行列式及对数的运算法则、性质求解. 【详解】因为2log 1142x -=-， 所以22|2log 4||21o |14x x g -==，即2211o log 42x g =±=±解得x =x =故答案为：。