函数的四则运算

函数的四则运算

函数的四则运算：设A ，B 是非空数集，且A ∩B ≠有两个函数f ：A →R ，g ：

B →R ，函数f 与g 的和f ＋g ，差f －g ，积f ·g ，商g f

分别定义为：

（f ＋g ）（x ）＝f （x ）＋g （x ），x ∈A ∩B ；

（f －g ）（x ）＝f （x ）－g （x ），x ∈A ∩B ；

（f ·g ）（x ）＝f （x ）·g （x ），x ∈A ∩B ；

)()()(x g x f x g f =???? ??，x ∈A ∩B －｛x |g （x ）＝0｝．

函数的运算是构造新函数的一种重要的方法．在这里，可以提及一下运算．运算贯穿于中学数学的全过程，而且导致了代数结构思想的形成．代数结构是数学结构中的母结构之一，另两种结构是序结构和拓扑结构．从集合论的观点来看，运算是一种映射．

设集合A 、B 、C ，把一个从A ×B →C 的映射叫做A ×B 到C 的一个代数运算或二元运算．

例如，实数的加、减、乘是R 上的代数运算，除法是R ×M （M ＝R ／0）到R 的代数运算．

了解了上述知识后，请同学们思考这样的问题：函数y ＝f （x ）＋g （x ）的图像与y ＝f （x ），y ＝g （x ）的图像有怎样的关系呢？可以通过以下的例子予以说明．

设f （x ）＝x ，x x g 2)(=，F （x ）＝f （x ）＋g （x ），请同学们试试利用y

＝f （x ）及y ＝g （x ）的图像画出y ＝F （x ）的图像．

参考答案

f （x ）＝x 的定义域D 1＝R ，

g （x ）＝x 2

的定义域D 2＝（－∞，0）∪（0，

＋∞），故F （x ）的定义域Ｄ＝D 1∩D 2＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．

F （x ）＝x ＋,x 2x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞）．

过x 轴上不同于原点O 的任意点P （p ，0），作垂直于x 轴的直线l 交y ＝f

（x ）的图像于点A （p ，p ），交y ＝g （x ）的图像于点B （p ，p 2

），即PA ＝y A ＝p ，

PB ＝y B ＝.p 2

在l 上取点C ，使AC ＝PB ，于是PC ＝PA ＋AC ＝PA ＋PB ＝p ＋p 2

，即点C 是y ＝F （x ）的图像上的点．取一定数量的点P ，就能得到一定数量的点C ，然后用

描点法即可做出y＝F（x）的图像（如答案图1.2－1中的实线所示）．