极限知识点高三数学
在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、极限的定义
极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。例如
lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。
二、常见的极限运算法则
1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。
2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则：
(1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)
(2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)
(3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)
(4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0)
3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合
函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有
lim(x→a)f[g(x)]=L。
4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。例如，如果
lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。
三、例题分析
为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题：
例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰
勒级数展开来计算该极限。根据泰勒展开公式，sinx可以展开为
x-x^3/3!+x^5/5!-...，因此lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1-
x^2/3!+x^4/5!-...)=1。
例题2：求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x。
解析：这是一个关于自然对数的极限，利用自然对数的性质，
我们可以将其写为lim(x→∞)e^ln((1+1/x)^x)。根据极限的运算法则，可以得到
lim(x→∞)(1+1/x)^x=e^lim(x→∞)ln((1+1/x)^x)=e^lim(x→∞)xln(1+1/ x)。再利用极限的运算法则和乘法法则，我们可以得到
e^lim(x→∞)xln(1+1/x)=e^lim(x→∞)ln[(1+1/x)^x]=e^ln(e)=e。
通过以上两个例题的分析，我们可以看出，极限运算法则在解
题过程中起到了非常重要的作用。熟练掌握这些法则，将有助于
我们更准确地求解各类极限题目。
四、应用领域
除了在高中数学中常见的极限题目外，极限还在其他领域有广
泛的应用。例如，在微积分中，极限是求导和积分的基础。在物
理学中，极限用来描述精确计算和近似计算的过程。在经济学和
金融学中，极限在建模和预测中起到重要作用。因此，掌握好极限的概念和运算法则，对于日后的学习和研究具有重要意义。
总结起来，极限是高三数学中的重要概念，掌握好极限的定义和运算法则对于解题非常关键。通过不断的练习和实践，我们可以提高自己的极限问题解决能力，并能将其应用于其他学科和领域中。希望同学们通过本文的介绍，能够对极限有更深入的理解和掌握。祝大家在高三数学学习中取得好成绩！
数列的极限 1．数列的极限 【知识点的知识】 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0）， 那么就说数列{a n}以a 为极限，记作???a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项） ?→∞ 2、几个重要极限： 3、数列极限的运算法则： 4、无穷等比数列的各项和： （1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =???S n． ?→∞ （2） 1/ 3
【典型例题分析】 典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4??=(??+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项? 和．则??? ? ? =（） ?→∞ 1 A．0 B．1 C． 2D．2 解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2， ∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2， ∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数， ∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列， ∴a n＝2n﹣1． ??1∴???2?―1= ???2―1 ? ? =??? ?→∞?→∞?→∞ ?= 1 2 ． 故选：C． 典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式； （2）设 c n = 1 ?|?1??|(?≥2)，求???(?2+?3+?+ ? ? )的值； ?→∞ （3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点， ∴b n＝2a n+1，a1＝0， ∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）， ∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1． b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1． （2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
高考数学极限知识点总结及解题思路方法 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当 k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim
②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k n k n ∈=∞ → ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞ →lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞ →)(lim ②b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ③)0(lim ≠= ∞ →b b a b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么 Ca a C a C n n n n n =?=?∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为 )1(11 q q a S -= . （化循环小数为分数方法同上式） 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限； ⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限
极 限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1||πa 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在 当1φa 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么
高考数列极限知识点总结 在高考数学中，数列极限是一个十分重要的知识点。掌握数列极限的概念、性质及计算方法可以帮助学生更好地理解数列的变化规律和数学思维方法。本文将从数列极限的定义出发，逐步介绍与之相关的重要概念和技巧。 一、数列极限的定义 数列极限是指当数列的项趋近于某个数时，数列的极限就是这个数。常用的记号是：lim(an)=A，其中a是数列的项，A是数列的极限。 二、数列极限的性质 1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限是唯一的。 2. 有界性：若数列的极限存在，则数列是有界的。反之，若数列是有界的，则数列的极限必定存在。
3. 保序性：若数列的项逐项小于等于另一个数列的项，并且这 两个数列分别趋于同一个数，那么这两个数列的极限也满足这个 关系。 三、数列极限的计算方法 1. 数列的极限计算：我们可以通过直接观察数列的项与极限之 间的关系进行计算。例如，对于等差数列an=2n+3，我们可以观 察到当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列的 极限为正无穷。 2. 常用数列的极限：对于一些常见的数列，我们可以利用公式 或推导来计算它们的极限。例如，对于等比数列an=2^n，我们可 以发现当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列 的极限为正无穷。 四、数列极限的判断方法 1. 夹逼准则：如果数列bn≤an≤cn，并且bn与cn的极限都是L，那么数列an的极限也是L。
2. 单调有界准则：如果数列单调递增并且有上界或者数列单调递减并且有下界，那么数列的极限存在。 五、利用数列极限解题方法 1. 利用夹逼准则和单调有界准则判断数列极限是否存在。 2. 利用数列极限计算一些和式的极限，例如利用数列极限求解无穷级数的和。 3. 利用数列极限计算一些函数的极限，例如求函数在某点处的极限。 六、数列极限在实际中的应用 1. 数列极限的应用在物理学、工程学等领域中十分广泛，例如在电路分析和振动力学中经常会涉及到数列极限的计算问题。
高三数学第二章数列的极限知识点总结 极限，是指无限趋近于一个固定的数值。以下是查字典数学网为大家整理的高三数学第二章数列的极限知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限，解方程, 从而得到数列的极限值. b.利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解. ★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法： a.利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果. l b.利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值. c.利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限. d.利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用
高考数学极限知识点总结 高考复习已经开始，小编在此为大家整理了高考数学极限知识点，供大家参考，希望对高考生有所帮助。预祝大家取得理想的成绩! 考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求： (1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确;②假设当 ( )时，结论正确，证明当时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果 ①当 ( )时，成立; ②假设当 ( )时，成立，推得时，也成立. 那么，根据①②对一切自然数时，都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ②当时， .
⑵几个常用极限： ① ( 为常数) ③对于任意实常数， 当时， 当时，若a = 1，则 ;若，则不存在 当时，不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果，那么 特别地，如果C是常数，那么 ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为 . (化循环小数为分数方法同上式) 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限; ⑴当自变量无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .记作或当时， . 注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求 .(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.
极限知识点高三数学 在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。 一、极限的定义 极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。例如 lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。 二、常见的极限运算法则 1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。 2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则： (1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)
(2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x) (3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x) (4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0) 3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合 函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有 lim(x→a)f[g(x)]=L。 4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。例如，如果 lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。 三、例题分析 为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题： 例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。 解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰 勒级数展开来计算该极限。根据泰勒展开公式，sinx可以展开为
高中数学中的数列极限定义及其求解法则 数列极限是高中数学课程中的一个重要内容，也是大学数学中 的基础概念之一。在高中阶段，我们需要学习数列极限的定义、 判定和求解法则，理解其本质和应用，为进一步深入学习数学打 好基础。 一、数列的极限定义 在数学中，数列是按照一定规律排列的数的序列，表示为{an}，其中an表示数列中第n个数。如1，2，3，4……即为一个自然数 数列。当数列中的数逐渐趋向于一个确定的数L时，我们称L为 该数列的极限，也称数列的极限存在。数学上表示为：lim（n→∞）an = L 其中lim表示“当n无限趋近于正无穷时的极限值”，an表示数 列中的第n个数，L为数列的极限值。 二、常用的数列极限判定法则
1. 夹逼准则 夹逼准则是求解数列极限的常用方法，其核心思路是通过夹逼 使得数列趋近于某个范围内的值。具体来说，对于数列{an}，如 果有： an ≤ bn ≤ cn, 且lim（n→∞）an = lim（n→∞）cn = L，则有lim（n→∞）bn = L。 其中，an和cn是分别代表着L的下限和上限的数列。该方法 的原理是利用如果一个数列逼近L，同时另外两个数列且夹在中间，则这两个数列同样逼近L。 例如：求解数列an =（n+2）/（2n+1）的极限。将分子分母同 时除以n，得到an = 1/2+3/（4n+2）。由于lim（n→∞）3/（4n+2）= 0，所以an的极限等于lim（n→∞）1/2=1/2。 2. 单调有界准则
单调有界准则是指如果数列{an}单调递增（或递减），且有一个数M使得|an|≤ M对于所有n成立，则该数列有极限。此时，数列的极限就是其单调递增（或递减）的极限。 例如：求解数列an =（n+1）/n²的极限。由于当n≥1时，有an ≤（n+1）/n，所以an为单调递减的数列。同时，1/n是单调递减的有界数列，其最小值为0，所以an也是单调有界的。因此，数列an有极限，其极限值等于an的单调递减极限：lim（n→∞） an=lim（n→∞）（n+1）/n²=0。 3. 常用极限公式 除了以上两种常用的数列极限判定法则，还有很多常用的极限公式，如指数函数、对数函数、三角函数等。这些公式可以在复杂的求解中起到重要的辅助作用。 例如：求解数列an = 2^n/ 3^n 的极限。对于任意正整数n，有2^n < 3^n，所以an <1。又因为 2^n> 1，3^n> 1，所以an > 0。根据夹逼准则可得lim（n→∞）an = 0。
高考数学中的极限与连续性知识点高考数学作为考试中的一门重要科目，其中的极限与连续性是必考知识点之一。本文将对这两个知识点进行详细介绍。 一、极限 1. 定义 极限是数列或函数自变量趋近于某一值时，因变量相应的取值趋近于一个确定的值或趋于无穷大或无穷小的现象。数列或函数在自变量趋近于某一值时，与所趋近的值的相差越来越小，但却始终无法达到这一值。 2. 常见极限 （1）$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ （2）$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=e$ （3）$\lim _{x \rightarrow a} (x-a)^n f(x)=0 (n>0)$ 3. 求极限的方法 （1）代入法：将趋近的值代入函数后直接计算。
（2）夹逼法：利用函数大小的矛盾（左右夹逼）进行推断。 （3）变形法：将式子化简后，使其成为已知极限的形式。 4. 连续性 函数的连续性是指函数在定义域内任何一个点的函数值与极限值相等的状态。也就是说，如果函数f(x)在x=a处极限存在且等于f(a)，则称函数f(x)在x=a处连续。如果函数在其定义域的任一点都连续，则称函数在其定义域内连续。连续性是一个函数的基本属性。 5. 连续函数 （1）定义：若一个函数在其定义域内的每个点都连续，则称这个函数为连续函数。 （2）充分必要条件：若函数f(x)在其定义域内各点均可导，则该函数连续，反之不一定成立。 （3）连续函数的性质：连续函数在其定义域内有以下几个性质： ①有界性：有界函数的定义是指其在任意一个区间中都有界。连续函数在有限区间内一定有界。
2021年高考数学极限知识点总结2021高考复习已经开始，查字典数学网小编在此为大家整理了高考数学极限知识点，供大家参考，希望对高考生有所帮助。预祝大家取得理想的成绩! 考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求： (1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确;②假设当 ( )时，结论正确，证明当时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果 ①当 ( )时，成立; ②假设当 ( )时，成立，推得时，也成立. 那么，根据①②对一切自然数时，都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ②当时， .
⑵几个常用极限： ① ( 为常数) ③对于任意实常数， 当时， 当时，若a = 1，则 ;若，则不存在 当时，不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果，那么 特别地，如果C是常数，那么 ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为 . (化循环小数为分数方法同上式) 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限; ⑴当自变量无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .记作或当时， . 注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求 .(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.
函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：①.左极限：或 ②.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==⇔ =+-→)()()(lim 0 )()()()()(0000lim 0 x f x f x f x f x f x x ==⇔=+ -→)(x f 0x x →
极限的概念 一、基本内容 1. 数列极限：若当n 无限增大时，数列n x 无限接近于一个确定的常数a ，则a 就叫做数列n x 的极限，记为a x n n =∞ →lim 或当∞→n 时，a x n →。 2. 函数极限： （1）函数)(x f 在点0x 处的极限及左右极限： 在点0x 处的极限)(lim 0 x f x x →； 左极限)(lim )0(0 0x f x f x x -→=-； 右极限)(lim )0(0 0x f x f x x +→=+。 关系：极限)(lim 0 x f x x →存在的充要条件是左、右极限均存在且相等。 （2）当∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x ∞ →； 当-∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x -∞ →； 当+∞→x 时，函数)(x f 的极限)(lim x f x +∞ →。 关系：极限)(lim x f x ∞→存在⇔)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞ →均存在且相等。 二、学习要求 1. 理解极限的概念； 2. 掌握函数极限存在的充要条件。 三、基本题型及解题方法 题型1 求数列的极限 解题方法：通过观察数列的项的变化，结合定义判断数列的敛散性。 【例1】 判断数列=n x 2 )1(11 +-+n 的敛散性。 解：由通项公式得该数列为1，0，1，0，…，2 )1(11 +-+n ，…，可见该数列随着n 的
增大没有无限接近于一个确定的常数，所以该数列发散。 【例2】 判断数列n n x n n 1 )1(--+=的敛散性。 解：由通项公式得该数列为 )1(43342121，，，，，，n n n --+，可见当n 无限增大时，表示数列n n x n n 1 )1(--+=的点逐渐密集在1=x 的附近，即数列n x 无限接近于1，1)1(1lim 1 =-++∞→n n n ，所以该数列收敛。 题型2 确定函数在0x 的左右极限及由此判定函数在0x 的极限 解题方法：当)(x f 在0x 左右两侧的解析式不一致时，要求极限往往要根据极限存在的充要条件：A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0 0 来确定函数的极限；当函数的解析式中有指数函数或反正、余切函数时，也需利用极限存在的充要条件。 【例3】 设⎪⎩ ⎪⎨⎧>-=<=1210 1)(x x x x x x f ，求)(lim 1x f x →。 解： 因 1lim )(lim 11==--→→x x f x x 1)2(lim )(lim 1 1=-=++→→x x f x x 所以 1)(lim 1 =→x f x 【例4】 选择：=→x x 1arctan lim 0（ ）。 A ．2 π； B ．2π-； C ．∞； D ．不存在但不为∞。 解：因+∞=+→x x 1lim `0，-∞=-→x x 1lim 0， 所以21arctan lim 0π=+→x x ，2 1arctan lim 0π-=- →x x ， 故x x 1arctan lim 0→不存在但不为∞，应选择D 。 题型3 求自变量趋于无穷大（∞→x ）时函数的极限 解题方法：可结合函数图像观察函数随∞→x 的变化情况，有时还需从+∞→x 与-∞→x 两个角度来考虑，因为 A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞ →+∞→∞→)(lim )(lim )(lim
高中数学函数与极限知识点总结函数是数学中一种非常重要的概念，具有广泛的应用。在高中数学中，函数与极限是一项重点内容。本文将对高中数学函数与极限的知识点进行总结和说明。 一、函数的概念及性质 函数是一种表达两个变量之间关系的方法，通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是函数值或因变量。函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。 定义域是指在函数中自变量的取值范围，值域是函数在定义域上的取值范围。单调性用来描述函数在定义域上的增减特点，可以分为增函数和减函数。奇偶性是指函数的对称性，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。 二、常见函数 1. 一次函数：y=ax+b，其中a和b为常数，a为斜率，b为截距。一次函数的图像为直线，表示比例关系。 2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不为0。二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。 3. 指数函数：y=a^x，其中a为正实数且不等于1。指数函数的图像为曲线，呈指数增长或指数衰减。
4. 对数函数：y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。对数函数的图像为曲线，与指数函数相反，呈对数增长或对数衰减。 5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。三角函数的图像为曲线，具有周期性。 三、函数的性质与变化 1. 定义域：函数的定义域是自变量的取值范围，通常由函数的表达式决定。 2. 增减性：函数的增减性描述了函数值随自变量变化的趋势。增函数在定义域上递增，减函数在定义域上递减。 3. 最值与极值：函数在定义域上的最大值或最小值称为最值，函数的极大值或极小值称为极值。 4. 对称性：函数的对称性包括关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。 四、极限的概念与计算 极限是函数与自变量无限接近某一值时，函数值趋于的稳定值。常用的极限计算方法包括代入法、夹逼准则和无穷小量等。 1. 代入法：对于绝大多数函数，可以通过代入变量的值进行计算，得出极限值。 2. 夹逼准则：当一个函数在无限接近某一值时，可以通过将其夹在两个已知的函数之间来确定极限值。
高中数学中的数列极限知识点总结数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限是数学分析的核心内容之一。我们在学习数列时，需要理解和掌握数列极限的相关概念和性质，以提升数学思维和解题能力。本文将对高中数学中的数列极限知识点进行总结，并提供一些例题进行讲解。 1. 数列与数列极限的基本概念 数列是由一列数按照一定规律排列而成的，可以用数学公式表示为 {an}，其中n表示序号，an表示第n项。对于数列来说，我们常常关注的是数列的极限。 数列极限是指数列在无限项情况下逐渐接近的数值，可以用极限符号lim表示。当数列的极限存在时，我们可以通过计算极限值来求解相关问题。 2. 数列极限的性质 数列极限具有以下性质： (1) 唯一性：数列的极限值唯一，即一个数列只有唯一一个极限值。 (2) 有界性：如果数列有极限，那么它一定是有界的，即数列的项在某一范围内。 (3) 保号性：如果数列的极限值大于0（或小于0），那么数列的部分项也大于0（或小于0），反之亦然。
(4) 夹逼性：如果数列的每一项都被两个趋于相同极限的数列夹逼，那么它们的极限也相同。 3. 数列极限的计算方法 在实际运用中，我们常常需要计算数列的极限。对于一些简单的 数列，我们可以通过常用的计算方法求解。 (1) 常数数列的极限等于该数列的常数项。 例如：数列 {an} = {2, 2, 2, ...} 的极限等于2。 (2) 等差数列的极限等于首项（a1）。 例如：数列 {an} = {1, 3, 5, ...} 的极限等于1。 (3) 等比数列的极限在一定条件下存在，存在时等于首项乘以公 比（ |r| < 1）。 例如：数列 {an} = {2, 1, 0.5, ...} 的极限等于0。 4. 数列极限的收敛与发散 数列极限可以分为收敛和发散两种情况。 (1) 收敛：如果数列的极限存在，我们称数列是收敛的。 (2) 发散：如果数列的极限不存在，我们称数列是发散的。 例如：数列 {an} = {1, -1, 1, -1, ...} 是发散的，因为其极限不存在。 5. 数列极限的应用
极限 一、数列的极限： 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时，数列的相应项n x 无限趋近一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限，记为 )(lim ∞→→=∞ →n A x A x n n n 或 式子中“→〞读作“趋于〞，这时也称数列{}n x 是收敛的，假设数列{}n x 没有极限，则称数列{}n x 是发散的 二、函数的极限 1.当∞→x 时函数的极限 2.当+∞→x 或-∞→x 时函数的极限 得到一个充要条件是：A x f x =∞→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞ →+∞→)(lim )(lim 3.当0x x →时函数的极限 4.当+→0x x 或- →0x x 时函数的极限 得到一个充要条件是：A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00 三、极限的运算法则 〔1〕极限的唯一性 如果极限)(lim 0x f x x →存在，则它只有一个极限，即假设A x f x x =→)(lim 0，B x f x x =→)(lim 0,则A=B 〔2〕极限的运算法则 设B x v A x u ==)(lim ,)(lim 则有 （1）[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim （2）[]B A x v x u x v x u •=•=•)(lim )(lim )()(lim （3）当0)(lim ≠=B x v 时，B A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim 推论1 如果)(lim 0 x u x x →存在，c 为常数，则)(lim ))((lim 00x u c x cu x x x x →→= 推论2 如果)(lim 0x u x x →存在，N n ∈,则n x x n x x x u x u )](lim [)]([lim 0 0→→= 四、函数的连续点 连续点的分类：
高中数学第十三章-极限 考试内容： 教学归纳法.数学归纳法应用. 数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求： (1) 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2) 了解数列极限和函数极限的概念. (3) 掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限. (4) 了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. § 13.极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个m时结论正确；②假设当n k ( k N ,k 时，结论 n0)正确，证明当n k 1时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①当n n0 ( n0N )时，P(n)成立； ②假设当n k (k N ,k no)时，P(n)成立，推得n k 1时，P(n)也成立. 那么，根据①②对一切自然数n n0时，P(n)都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①lim a n a n ②当n 时，a n a . ⑵几个常用极限： ①lim C C ( C为常数) n a 1 ........ ②lim w 0 (k N,k是常数) n n k ③对于任意实常数， 当|a| 1 时，lim a n 0 n 当 a 1 时，若 a = 1,贝U lim a n 1 ；若a 1,贝U lim a n lim ( 1)n不存在 当a 1时，lim a n不存在n ⑶数列极限的四则运算法则： 如果lim a n a, lim b b b,那么n n ①lim (a n b n) a b n ②lim (a n b n) a b n ③lim 色a(b 0) n b n b 特别地，如果C是常数，那么 lim (C a n) lim C lim a n Ca. n n n ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S —(q 1). (化循环小数为分数方法同上式)
第十二章 极限和导数 一、数学归纳法： 1、数学归纳法的步骤：“两步一结论”. 2、数学归纳法的应用：主要用于证明与自然数有关的恒等式和不等式. 3、重要的数学思想和方法：“归纳—猜想—证明”. 习题：① 用数学归纳法证明：1111111 1 1234 21212 2n n n n n - +-++ -=+++ -++. ② (n n + <+*(N )n ∈ ③ 已知数列{}n a 满足2n n S n a =-，求n a .
二、极限 1、数列极限： （1）公式：lim n C C →∞ =（C 为常数）；1 lim 0p n n →∞=（p>0）； 0 1lim 1 1 11n n q q q q q →∞ ⎧<⎪ ==⎨⎪>=-⎩ 不存在或. （2）运算法则： 若数列{}n a 和{}n b 的极限都存在，则{}n a 和{}n b 的和、差、积、商的极限等于{}n a 和{}n b 的极限的和、差、积、商. 例题：① 将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（* n N ∈，2n ≥） 围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞ = . ② 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111p q n n n ∞ ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭ → ． 习题：① 135(21) lim (21) n n n n →∞++++-=+ . ② 设0 高中数学数列及其极限知识点总结及练习题 中国魏晋时期的数学家刘徽创「割圆术」﹐利用圆的内接正多边形﹐当边数愈来愈多时﹐会愈靠近圆的面积﹐从而得出了圆周率 π 的近似值。刘徽采用的「割圆术」﹐其程序蕴含了「无穷」﹑「极限」等数学概念。 例题1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 写出下列各数列的前 8 项。 (1)〈3n －1〉。 (2)〈（－1）n 〉。 (3)〈a n 〉﹐其中 a 1＝1﹐a n ＝a n －1＋n ﹐n 为正整数且 n ≥2。 (4)〈a n 〉﹐其中 a n ＝20＋21＋…＋2n －1﹐n 为正整数。 随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 写出下列各数列的前 6 项： (1)n 1。 (2)〈2n －1〉。 (3)()2 11n n -+。 (4)〈a n 〉 ﹐其中 a 1＝1﹐a n ＝a n －1＋n 2﹐n 为正整数且 n ≥2。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------高中数学数列及其极限知识点总结及练习题
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