湖北省黄冈市黄州中学2013年高三数学内部训练题一

2013年黄冈市高三月调考数学文科参考答案一、DCCBC ； BDACD.二、11、()+∞,1 12、716 13、23或5 14、(][)+∞-∞-,13, 15、 2(π3)+ 16、)21,∞-（ 17、96， 3223--⋅n n 三、解答题18.解：（Ⅰ）1=⋅n m ，即14cos 4cos 4sin32=+xx x ， ………………6分 即1212cos 212sin 23=++x x ， 21)62sin(=+∴πx ，21)62(sin 21)3cos(2=+-=+ππx x . ……………………12分19.（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，因为AD =2AB ,点F 是BC 的中点,所以⊥FD 平面PAF …………6分再过H 作PD HG //交PA 于G ，所以//GH 平面PFD ，且PA AG 41=………10分 所以平面//EHQ 平面PFD ，所以//EG 平面PFD ,G 点即为所求. 因为4==AB PA ,则3212EFD AED EBF FCD S S S S ∆∆∆∆=---=,AG=14E FDG G EFD V V --∴== (12)分20、（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设d >0 由a 2+a 7＝16.得12716a d += ① 由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++= ②由①得12167a d =-将其代入②得(163)(163)220d d -+=.即22569220d -=214,0,2,11(1)221n d d d a a n n ∴=>∴==∴=+-⋅=-又代入得① w.w.w.zxxk.c.o.m ……6分（Ⅱ）由（I ）得1-2n a n = 1421n -=+n a b =()1111111n 242+-=+=-+n n n n ）（ 11111(1)()()2231n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-+=1-1n 1+<1 100n m T <恒成立.1001100m≥⇔≥⇔m ……13分源:学21.解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为{}0>x x ，)0(,12)(22>+-='x xa x a x f ，根据题意有2)1(-='f ，所以0322=--a a 解得1-=a 或23=a . ………………………………4分 （Ⅱ）)0(,)2)((212)(222222>+-=-+=+-='x x a x a x x a ax x x a x a x f当0>a 时，因为0>x ，由0)(>'x f 得0)2)((>+-a x a x ，解得a x >， 由0)(<'x f 得0)2)((<+-a x a x ，解得a x <<0，所以函数)(x f 在),0(a 上单调递减，在()+∞,a 上单调递增； …………………6分 （Ⅲ）由（2）知，当a>0, )(x f 的最小值为()()ln 3,()ln 4g a f a a a a g a a '==+=+ 令()ln 40g a a '=+= 4()ln 40,g a a a e -'=+== 当44,(),()a e g a a e g a --><单调递增，当单调递减44()()g a g e e --=-的最小值为。

湖北省2013届高三最新理科数学（精选试题16套+2008-2012五年湖北高考理科试题）分类汇编8：解析几何一、选择题1 ．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b右支上的一点00(,)P x y 到左焦点距离与到右焦点的距离之差为,且到两条渐近线的距离之积为23,则双曲线的离心率为( ) （ ）A B C D 【答案】D2 ．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（二）（word 版） ）如图,F 1,F 2是双曲线C:)0(12222>>=+b a by a x l 的左、右焦点,过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A,B 两点.若 |AB|:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5,则双曲线的离心率为（ ）A ．13B ．15C ．2D ．3【答案】A3 ．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）抛物线24y x =的焦点为F ,点,A B 在抛物线上,且2π3AFB ∠=,弦AB 中点M 在准线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为（ ）AB C D【答案】B4 ．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面为m 千米,远地点B 距地面为n 千米,地球半径为R 千米,则飞船运行轨道的短轴长为（ ） A ．))((2R n R m ++ B ．))((R n R m ++C．mnD ．2mn【答案】A5 ．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）已知椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2.P 是椭圆上一点.∆PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形,当60°<∠PF 1F 2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A ．(1,213-) B ．(21,213-) C ．(1,21) D ．(021,) 【答案】B ．解析:由c PF 21=,2sin22112F PF PF PF ∠=,a PF PF 221=+ 可得 c c a F PF 22sin 21-=∠,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠23,2121F PF 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠23,212sin 21F PF 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈21,213a c 6 ．（2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北）将两个顶点在抛物线22(0)ypx p =>上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n ≥3【答案】C7 ．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）过点A(11,2)作圆22241640x y x y ++--=的弦,其中弦长为整数的共有（ ）A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条【答案】C8 ．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）抛物线28y x =的焦点为F ,O 为坐标原点,若抛物线上一点P满足||:||:2,PF PO POF =∆则的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C9 ．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）如图,P 为椭圆221259x y +=上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A,上顶点B 分别作y 轴,x 轴的平行线,它们相交于点C,过P 引BC ．AC 的平行线交AC 于N,交BC 于M,交AB 于D ．E,记矩形PMCN 的面积为1S ,三角形PDE 的面积为2S ,则12:S S =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．与点P 的坐标有关【答案】A10．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）如右下图,正三角形PA D 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直O 为正方形AB- CD 的中心,M 为正方形ABCD 内一点,且满足MP =MB ,则点M 的轨迹为【答案】B11．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）双曲线22221y x a b-=与抛物线218y x =有一个公共焦点F,双曲线上过点F 则双曲线的离心率等于 （ ）A ．2B C D【答案】B12．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）过抛物线y 2= 4x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点O 是原点,若|AF| = 3,则 ΔAOB 的面积为 （ ）A ．22B ． 2C ． 223D ．22【答案】C13．（2010年高考（湖北理））若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点,则b 的取值范围是（ ）A ．]221,1[+-B ．]221,221[+-C ．[1-D ．]3,21[-【答案】C ．【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤,即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,依据数形结合,当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b 距离等于2,解得11b b =+=-,因为是下半圆故可得1b =+(舍),当直线过(0,3)时,解得b=3,故13,b -≤≤所以C 正确.14．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）若直线4x -3y -2=0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．-3<a <7B ．-6<a <4C ．-7<a <3D ．-21<a <19【答案】B15．（2009高考(湖北理)）已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点,则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是 （ ）A ．11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ B ．11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．K ⎡∈⎢⎣D ．2,,K ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎭【答案】A ．【解析】易得准线方程是2212a xb =±=±=±所以222241c a b b =-=-= 即23b =所以方程是22143x y += 联立 2 y kx =+可得22 3+(4k +16k)40x x +=由0∆≤可解得A16．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系.在平面斜坐标系xOy 中,若12OP xe ye =+(其中12,e e 分别是斜坐标系x 轴,y 轴正方向上的单位向量,,,x y R O ∈为坐标系原点),则有序数对(),x y 称为点P 的斜坐标.在平面斜坐标系xOy 中,若120,xOy ∠=点C 的斜坐标为()2,3,则以点C 为圆心,2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是 （ ）A ．096422=+--+y x y x B ．096422=++++y x y x C ．03422=+---+xy y x y xD ．034.22=+++++xy y x y x【答案】C17．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）已知抛物线M:y 2=4X ,圆N(x-1)2+y 2=r 2(其中r 为常数,r>0).过点(1,0)的直 线l交圆N 于C,D 两点,交抛物线财于（ ） A ．B两点,若满足丨AC 丨=|BD 丨的直线l 有三 条,则（ ）A ．1,0(∈r 23,1(∈r 2,23(∈r ),0(+∞∈r【答案】D18．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知O 为坐标原点,双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点F,以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点（ ） A ．B,若()0AO AF OF +⋅=,则双曲线的离心率e 为 （ ）A ．2B ．3CD【答案】C19．（湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线的焦距为,焦点到一条渐,则双曲线的标准方程为（ ）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=或2212x y -=D ．2212x y -=或2212y x -=【答案】答案:C解析:由题易知2c b ==,故1a =,这样的双曲线标准方程有两个.20．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）已知直线l:y=ax+1-a(a∈R).若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|,则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出四条曲线方程:①y=-2 |x-1|;②y=2x ;③(x -1)2+(y-1)2=1;④x 2+3y 2=4;则其中直线l 的“绝对曲线”有 （ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】D21．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直,则k =（ ）A ．-3或-1B ．3或1C ．-3或1D ．-1或3【答案】C22．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①a 1+c 1=a 2+c 2; ②a 1-c 1=a 2-c 2; ③c 1a 2>a 1c 2; ④11a c <22c a .其中正确式子的序号是 （ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B23．（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（理）试题）已知直线x=2与双曲线14:22=-y y C 的渐近线交于E 1、E 2两点,记2211,e OE e OE ==,任取双曲线C 上的点P,若),(21R b a be ae OP ∈+=,则（ ）A ．1022<+<b a B ．21022<+<b a C ．122≥+b aD ．2122≥+b a 【答案】D24．（湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（理）试题）则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C 【答案】C 二、填空题25．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）抛物线=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A 、B 两点,抛物线的准线与x 轴交于点K,则(1)以AB 为直径的圆与抛物线准线的位置关系为____(填“相交”、“相切”或“相离”);(2)△KAB 的面积的最小值为_________.【答案】(1)相切;(2)2p .26．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知椭圆22221(0),(,),(,)x y a b P x y Q x y a b''+=>>是椭圆上两点,有下列三个不等式①222();a b x y +≥+②2221111();x y a b+≥+③221xx yy a b ''+≤.其中不等式恒成立的序号是______.(填所有正确命题的序号)【答案】①②③27．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）过双曲线2222x y a b-=1(a >0,b >0)的左焦点F,作圆2224a x y +=的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若E 为PF 的中点,则双曲线的离心率为________. .【答案】粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符28．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)两点.则:(I) y 1 y 2=______;(Ⅱ)三角形ABF 面积的最小值是______.【答案】(Ⅰ)8-(Ⅱ)29．（2012年湖北高考试题（理数，word 解析版））如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则(Ⅰ)双曲线的离心率e =________;(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________. (二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第15题作答结果计分.)【答案】(1);(2)【解析】(1)由图象可知,OB 即为点O 到直线12F B 的距离,且OB a =,又易知直线12F B 的方程为0bx cy bc -+=,a =,整理得()22222c a a c -=,得22c a ac -=.所以210e e --=,解得e =(负值舍去) (2)连结OB ,设BC 与x 轴的交点为G,则1BF =.在直角三角形1OBF 中,有11,OB BF BG OF ⊥⊥, 所以1111122OBF S OB BF FO BG ∆==,得11BF OB ab BG F O c ==. 所以2a OG c ==.所以32242||2||a bS OG GB c=⋅=.而112121||||22SF F B B bc ==, 所以33132122S c e S a ===【点评】本题考查双曲线的离心率,点到直线的距离,四边形的面积以及运算求解的能力.由直线与圆相切,得到圆心到该直线的距离等于半径,这是求解本题的突破口.来年需注意双曲线的标准方程,轨迹问题,特别是双曲线的定义的应用.三、解答题30．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知椭圆1,C 抛物线2C 的焦点均在y 轴上,1C 的中心和2C 的顶点均为原点,O 从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:(1)求12,C C 的标准方程;(2)设斜率不为0的动直线l 与1C 有且只有一个公共点,P 且与2C 的准线相交于点,Q 试探究:在坐标平面内是否存在定点,M 使得以PQ 为直径的圆恒过点?M 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】31．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）如图所示,过点)1,(m M 作直线AB 交抛物线y x=2于B A ,两点,且MB AM =,过M 作x 轴的垂线交抛物线于点C .连接,,BC AC 记三角形ABC 的面积为∆S ,记直线AB 与抛物线所围成的阴影区域的面积为弓S . (1)求m 的取值范围; (2)是否存在常数λ,使得λ=∆弓S S ？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由【答案】解:(1)易知直线AB 的斜率存在,设AB 直线方程为()1y k x m =-+代入抛物线方程2x y =得,210x kx mk -+-= (*)设1122(,),(,)A x y B x y 因为M 是AB 的中点,所以1222x x km +==,即2k m = 方程(*)即为:222210x mx m -+-=(**)由224840m m ∆=-+>得11m -<< 所以m 的取值范围是(1,1)-; ......4＇ (2)因为2(,1),(,),M m C m m MC x ⊥轴,所以|MC |=21m -, 由方程(**)得212122,21x x m x x m +==- 所以S ∆=ACM BCM S S +=121||||2x x MC -．||MC ．2(1)m -．=322(1)m -; ...8＇ 常数λ存在且34λ=不妨设12x x < 212=[()1]x x S k x m x dx -+-⎰弓2122=[212]x x mx m x dx +--⎰212231[(12)]|3x x mx m x x =+--222332121211()(12)()()3m x x m x x x x =-+---- 222212122111()[()(12)()]3x x m x x m x x x x =-++--++22212121211()[()(12)(())]3x x m x x m x x x x =-++--+-由方程(**)得212122,21x x m x x m +==-, 代入上式化简得322224(1)(1)33S m m =-=-弓． 由(2)知S ∆=322(1)m -所以322322(1)3=44(1)3S m S m ∆-=-弓 所以常数λ存在且34λ=. 13＇ 32．（2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北）平面内与两定点1(,0)A a -,2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线.(Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系;(Ⅱ)当1m =-时,对应的曲线为1C ;对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞,对应的曲线为2C ,设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问:在1C 撒谎个,是否存在点N ,使得△1F N 2F 的面积2||S m a =.若存在,求tan 1F N 2F 的值;若不存在,请说明理由.【答案】本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想.解:(I)设动点为M,其坐标为(,)x y ,当x a ≠±时,由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a⋅=⋅==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±,又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意,曲线C 的方程为222.mx y ma -=当1,m <-时曲线C 的方程为22221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆;当1m =-时,曲线C 的方程为222x y a +=,C 是圆心在原点的圆;当10m -<<时,曲线C 的方程为22221x y a ma +=-,C 是焦点在x 轴上的椭圆;当0m >时,曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线. (II)由(I)知,当m=-1时,C 1的方程为222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时,C 2的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞,C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =① ②当0,0,a m <≤≤<或0m <≤时, 存在点N,使S=|m|a 2;当,a >即或m >, 不存在满足条件的点N,当150,m ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎭⎝时, 由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+--, 可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=,则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-可得,从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-,于是由2||S m a =, 可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即 综上可得:当m ⎫∈⎪⎪⎭时,在C 1上,存在点N,使得212||,tan 2;S m a F NF ==且当m ⎛∈ ⎝时,在C 1上,存在点N,使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且当15((,)m +-+∞时,在C 1上,不存在满足条件的点N. 33．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1),(0,1)-,且,AC BC 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠.(Ⅰ)求顶点C 的轨迹E 的方程,并判断轨迹E 为何种圆锥曲线;(Ⅱ)当12m =-时,过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点,设点N 关于x 轴的对称点为Q (M Q、不重合) 试问:直线MQ 与x 轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.【答案】.(Ⅰ)由题知:11y y m x x-+⋅= 化简得:221(0)mx y x -+=≠当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,1)-两点;当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是1的圆,且除去(0,1),(0,1)-两点; 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,1)-两点; 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,1)-两点;(Ⅱ)设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零,则可设l :1x ty =+,代入221(0)2x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-=12222t y y t -+=+,12212y y t -=+, 又因为M Q 、不重合,则1212,x x y y ≠≠-Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =,得1211211211121212()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++故直线MQ 过定点(2,0)解二:设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零,可设l :(1)y k x =-代入221(0)2x y x +=≠整理得:2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122412k x x k +=+,21222212k x x k-=+, Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =,得121121121211121212()(1)()2()2(2)2y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-∴直线MQ过定点(2,0)34．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）的直线交椭圆于(I)求橢圆Γ的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P,Q且OP⊥若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.OQ【答案】35．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）已知圆C:=8及点F(1,0),P为圆C 上一动点,在同一坐标平面内的动点M 满足:,││=││.(1)求动点M 的轨迹E 的方程;(2)过点F 作直线l 与(1)中轨迹E 交于不同两点R,S,设=λ,λ∈[-2,-1),求直线l 的纵截距的取值范围. 【答案】36．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）设双曲线C :12222=-by a x (a >0,b >0)的离心率为e ,若准线l 与两条渐近线相交于P 、Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形.(1)求双曲线C 的离心率e 的值;(2)若双曲线C 被直线y =ax +b 截得的弦长为ae b 22求双曲线c 的方程.【答案】(2)由(1)得双曲线C 的方程为把132222=-ay a x .把a ax y 3+=代入得0632)3(2222=++-a x a x a .依题意 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠-0)3(2412032242,a a a a ∴ 62<a ,且32≠a .∴ 双曲线C 被直线y =ax +b 截得的弦长为]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x a x x a y y x x l -++=-+=-+-=222242)3()1(2412)1(---+=a a a a a ∵ a a c b l 1222==.∴ 224222)3(1272)1(144--+=⋅a a a a a .整理得 010*******=+-a a .∴ 22=a 或13512=a . ∴ 双曲线C 的方程为:16222=-y x 或115313511322=-y x.(2)将b x y +=3代入862-=x y 得08)1(6922=++-+b x b x .由862-=x y 及22≤≤-y ,得234≤≤x .所以方程①在区间34[,2]有两个实根. 设8)1(69)(22++-+=b x b x x f ,则方程③在34[,2]上有两个不等实根的充要条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222b b b f b b f b b 之得34-≤≤-b . ∵ 7232984)]1(32[4)(||222122121--=+--=-+=-⋅b b b x x x x x x ∴ 由弦长公式,得721032||1||212--=-+=⋅b x x k EF 又原点到直线l 的距离为10||b d =, ∴71)711(73202732072320||222++-=--=--=b b b b b d EF ∵ 34-≤≤-b ,∴ 41131-≤≤-b .∴ 当411-=b ,即4-=b 时,35||max =d EF . 37．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）已知P(x 0,y 0)(a x ≠0)是双曲线E:)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点,M,N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM,PN 的斜率之积为51.(I )求双曲线的离心率;(II)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OB OA OC +=λ,求λ的值.【答案】38．（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（理）试题）设点A(3-,0),B(3,0),直线AM 、BM 相交于点M,且它们的斜率之积为32-. (1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)若直线l 过点F(1,0)且绕F 旋转,l 与圆5:22=+y x O 相交于P 、Q 两点,l 与轨迹C 相交于R 、S 两点,若|PQ|],19,4[∈求△F′RS 的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C 的左焦点).【答案】(Ⅰ)设(,)M x y ,则2(3MA MBk k x ⋅==-≠化简22132x y += ∴轨迹C 的方程为221(32x y x +=≠(Ⅱ)设:1l x my =+,O l 到的距离d =||[4,19]PQ ∴=203m ∴≤≤,将1x my =+代入轨迹C 方程并整理得:22(23)440m y my ++-=设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122423m y y m +=-+,122423y y m =-+12||y y ∴-==121||||2S y y FF ∆'∴=-⋅= 设21[1,4]m t +=∈,则1()4[1,4]f t t t =+在上递增,65()[5,]4f t ∴∈S ∆∴==min S ∴=,max S = 39．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（二）（word 版） ）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e=21,以右焦点F 2为圆心,长半轴为半径的圆与直线033=+-y x =O 相切. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,在x 轴上是否存在点 P(m,0)使PM = PN.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】40．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）已知点(1,0),(1,0),(,):||||M N P x y PM PN -+=动点满足(1)求P 的轨迹C 的方程;(2)是否存在过点(1,0)N 的直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,并且曲线C 存在点Q,使四边形OAQB 为平行四边形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)PM PN +=的轨迹是以MN 为焦点,长轴长为32的椭圆所以P 的轨迹C 的方程为22 1.32x y +=(2)设1122(,)(,)A x y B x y 、,由题意知l 的斜率一定不为0,故不妨设:1l x my =+,代入椭圆方程整理得22(23)440m y my ++-=, 显然0.∆> 则12122244,2323m y y y y m m +=-=-++①, 假设存在点Q ,使得四边形OAQB 为平行四边形,其充要条件为OQ OA OB =+,则点Q 的坐标为1212(,)x x y y ++.由点Q 在椭圆上,即221212()() 1.32x x y y +++= 整理得222211221212232346 6.x y x y x x y y +++++=又A B 、在椭圆上,即2222112223623 6.x y x y +=+=，故1212233x x y y +=-②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++代入由①②解得m = 即直线l 的方程是:1x y =+,即220x ±-= 41．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）如图,在以点O 为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C 过点P.(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程;(Ⅱ)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F. 若△OEF 的面积不小于．．．,求直线l 斜率的取值范围.【答案】本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(Ⅰ)解法1:以O 为原点,AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则A (-2,0),B (2,0),D (0,2),P (1,3),依题意得||MA |-|MB ||=|PA |-|PB |=221321)32(2222＝）（+--++< |AB |=4.∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ,虚半轴长为b ,半焦距为c , 则c =2,2a =22,∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x .解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得||MA |-|MB ||=|PA |-|PB |<|AB |=4.∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=->0,b >0).则由 .4,11)3(222222=+=-b a ba 解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理得(1-K 2)x 2-4kx-6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F , ∴,0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔.33,1<<-±≠k k∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). ② 设E (x 1,y 1),F (x 2, y 2),则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212,于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-=.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d =212k+,∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥,则有　解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1) ∪(1, 2). 解法2:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1-K 2)x 2-4kx -6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F , ∴.0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔33,1<<-±≠k k .∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). ② 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得|x 1-x 2|=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一支上时(如图1所示),S △OEF =;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时(如图2所示).+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF =,2121x x OD -⋅于是 由|OD |=2及③式,得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1)∪(1,2).42．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）如图,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为,以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T :222(2)(0)x y r r ++=>,设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程;(2)求TM TN ⋅的最小值,并求此时圆T 的方程;(3)设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点,且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ,O 为坐标原点,求证:OR OS ⋅为定值.T SRNMPyxO【答案】解:(1)依题意,得2a =,c e a ==1,322=-==∴c a b c ;故椭圆C 的方程为2214xy += .(2)方法一:点M 与点N 关于x 轴对称,设),(11y x M ,),(11y x N -, 不妨设01>y .由于点M 在椭圆C 上,所以412121xy -=. (*),由已知(2,0)T -,则),2(11y x TM +=,),2(11y x TN -+=,21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x .由于221<<-x ,故当581-=x 时,TM TN ⋅取得最小值为15-. 由(*)式,531=y ,故83(,)55M -,又点M 在圆T 上,代入圆的方程得到21325r =.故圆T 的方程为:2213(2)25x y ++=.方法二:点M 与点N 关于x 轴对称,故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-,不妨设sin 0θ>,由已知(2,0)T -,则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ.故当4cos 5θ=-时,TM TN ⋅取得最小值为15-,此时83(,)55M -,又点M 在圆T 上,代入圆的方程得到21325r =. 故圆T 的方程为:2213(2)25x y ++=.(3) 方法一:设),(00y x P ,则直线MP 的方程为:)(010100x x x x y y y y ---=-,令0y =,得101001y y y x y x x R --=, 同理:101001y y y x y x x S++=,故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ (**), 又点M 与点P 在椭圆上,故)1(42020y x -=,)1(42121y x -=,代入(**)式,得:4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R .所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值.方法二:设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-,不妨设sin 0θ>,)sin ,cos 2(ααP ,其中θαsin sin ±≠.则直线MP 的方程为:)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ,令0y =,得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ,同理:θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ,故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x . 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值.43．（2010年高考（湖北理））已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(I)求曲线C 的方程;(II)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有?0<⋅FB FA 若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.解:(I)设P(x,y)是曲线C 上任意一点,那么点P(x,y)满足:).0(1)1(22>=-+-x x y x化简得).0(42>=x x y(II)设过点M(m,0))0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为),(),,(2211y x B y x A设l 的方程为,0)(16,0444,222>+=∆=--⎩⎨⎧=+=+=m t m ty y xy mty x m ty x 得由 于是⎩⎨⎧-==+my y ty y 442121①又).,1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x FB FA ② 又,42y x =于是不等式②等价于01)44(442221212221<++-+⋅y y y y y y 01]2)[(4116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y③由①式,不等式③等价于22416t m m <+-④对任意实数t,24t 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于.223223,0162+<<-<+-m m m 即由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有0<⋅FB FA ,且m 的取值范围是).223,223(+-44．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）在矩形ABCD 中,|AB|=23,|AD|=2,E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点,以HF 、GE 所在直线分别为x ,y 轴建立直角坐标系(如图所示).若R 、R ′分别在线段0F 、CF 上,且|OF ||OR |=|OF ||CR'|=n1. (Ⅰ)求证:直线ER 与GR ′的交点P 在椭圆Ω:32x +2y =1上;(Ⅱ)若M 、N 为椭圆Ω上的两点,且直线GM 与直线GN 的斜率之积为32,求证:直线MN 过定点;并求△GMN面积的最大值.【答案】解:(Ⅰ)∵1OR CR OF CF n '==,∴R,1)n R n-'又(0,1)G 则直线GR '的方程为1y x =+ ① 又(0,1)E - 则直线ER的方程为1y x =- ②由①②得221)1n P n -+∵2222222214(1)()11(1)n n n n n -+-+==++ ∴直线ER 与GR '的交点P 在椭圆22:13x y Ω+=上(Ⅱ)①当直线MN 的斜率不存在时,设:(MN x t t =<<不妨取((,M t N t ∴31=⋅GN GM k k ,不合题意②当直线MN 的斜率存在时,设:MN y kx b =+ 1122(,),(,)M x y N x y联立方程2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(13)6330k x kbx b +++-=则2212(31)0k b ∆=-+>22212213133316kb x x k kb x x +-=⋅+-=+， 又()()()321111212212122211=-++-+=-⋅-=⋅x x b x x b k x x k x y x y k k GNGM即221212(32)3(1)()3(1)0k x x k b x x b -+-++-=将22212213133316kb x x k kb x x +-=⋅+-=+，代入上式得0322=-+b b 解得3-=b 或1=b (舍) ∴直线过定点(0,3)T -∴||1||212x x k MN -+=,点G 到直线MN 的距离为214kd +=∴2221221213183344)(2||2||21k k x x x x x x d MN S GMN+-⋅=-+=-=⋅=△ 由3-=b 及0>∆知:0832>-k,(0)t t => 即2238k t =+∴211996t t t t==≤++ 当且仅当3t =时,()332max=∆GMN S 45．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为22221(0),x y a b a b +=>>它的离心率为12,一个焦点是(-1,0),过直线4x =上一点引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A 、B.(Ⅰ)求椭圆Ω的方程;(Ⅱ)若在椭圆Ω22221(0)x y a b a b +=>>上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C 的坐标;(Ⅲ)是否存在实数λ使得||||||||AC BC AC BC λ+=⋅恒成立?(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(I)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>的焦点是()1,0-,故1c =,又12c a =,所以2,a b ===,所以所求的椭圆Ω方程为22143x y +=(II)设切点坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 上一点M 的坐标()4,t ,则切线方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y +=,又两切线均过点M ,即11221,133t tx y x y +=+=,即点A,B 的坐标都适合方程13t x y +=,故直线AB 的方程是13tx y +=,显然直线13t x y +=恒过点(1,0),故直线AB 恒过定点()1,0C(III)将直线AB 的方程13t x y =-+,代入椭圆方程,得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭,即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭, 所以121222627,1212t y y y y t t -+==++,不妨设120,0y y ><,1AC y ===,同理2BC y =,所以2112121111y y AC BC y y y y ⎛⎫-+=-== ⎪⎝⎭43===, 即43AC BC AC BC +=⋅,故存在实数43λ=,使得AC BC AC BC λ+=⋅46．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C 上任意一点M(x,y)满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++.(1) 求曲线C 的方程;(2)动点Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2)在曲线C 上,曲线C 在点Q 处的切线为l 向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l 与PA,PB 都不相交,交点分别为D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求t 的值.若不存在,说明理由.【答案】【解析】解:(1)依题意可得(2,1),(2,1)MA x y MB x y =---=--,22||(2)(22),()(,)(0,2)2MA MB x y OM OA OB x y y +=-+-⨯+=⨯=,22y =+,化简得曲线C 的方程: 24x y = (2)假设存在点P (0,t )(t <0)满足条件,则直线PA 的方程是12t y x t -=+,直线PB 的方程是12ty x t -=+,曲线C 在点Q 处的切线l 的方程为200,24x x y x =-它与y 轴的交点为20(0,)4x F -,由于022x -<<,因此0112x -<< ①当10t -<<时, 11122t --<<-,存在0(2,2)x ∈-,使得0122x t -=,即l 与直线PA 平行,故当10t -<<时不符合题意②当1t ≤-时,00111,12222x x t t --≤-<≥>,所以l 与直线PA ,PB 一定相交,分别联立方程组2200001122,2424t t y x t y x t x x x x y x y x --⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩, 解得D ,E 的横坐标分别是22000044,2(1)2(1)D E x t x tx x x t x t ++==+-+- 则202204(1)(1)E D x t x x t x t +-=---,又2||4x FP t =--, 有220220(4)11||||28(1)PDE E D x t t SFP x x t x +-=⨯-=⨯--,又2200414(1)242QABx x S -=⨯⨯-= 于是2224222000022422000(4)[(1)][4(1)]4(1)441(4)1816QAB PDES x x t x t x t St x t t x tx t ----+-+-=⨯=⨯-+-++对任意0(2,2)x ∈-,要使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数,只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎪⎨-=⎪⎩,解得t =-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为2,故存在t =-1,使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.47．（2012年湖北高考试题（理数，word 解析版））设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)如图1,设(,)M x y ,00(,)A x y ,则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且, 可得0x x =,0||||y m y =,所以0x x =,01||||y y m=. ① 因为A 点在单位圆上运动,所以22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞,所以当01m <<时,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0),0); 当1m >时,曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0,-,(0,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,0k ∀>,设11(,)P x kx ,22(,)H x y ,则11(,)Q x kx --,1(0,)N kx , 直线QN 的方程为12y kx kx =+,将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -,2x ,于是由韦达定理可得 21122244k x x x m k -+=-+,即212224m x x m k =+.。

湖北省 2013届高三上学期期末联合考试文 科 数 学一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集R U =，集合10x A xx⎧⎫-=<⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =≥，则集合{}0x x ≤等于（ ）A ．AB B ．A BC ．()U A B ðD ．()U A B ð2．已知i 是虚数单位，则201311i i +⎛⎫⎪-⎝⎭的值是 （ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8710∶∶，用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出，已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，则高三观看演出的人数为 （ ） A ．14 B ．16 C ．20 D ．254．已知命题:R p x ∃∈，使221x x -+=；命题:R q x ∀∈，都有()2lg 230x x ++>．下列结论中正确的是 （ ） A ．命题“p q ∧”是真命题 B ．命题“p q ∧⌝”是真命题 C ．命题“p q ⌝∧”是真命题 D ．命题“p q ⌝∨⌝”是假命题5．已知平面向量a 、b 满足2a = ，1b = ，且25a b - 与a b +垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．23π6．已知R a ∈，0x >，0y >，且1x y +=，则“8a ≤”是“14a xy+≥恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．过点()1,2M 的直线l 与圆C ：22(3)(4)25x y -+-=交于A 、B 两点，C 为圆心，当A C B ∠最小时，直线l 的方程是 （ ）A ．230x y +-=B ．10x y -+=黄冈中学孝感高中C ．30x y +-=D ．230x y -+=8．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对x D ∀∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数．则下列定义在R 上的函数中，不是有界函数的是（ ）A ．()2sin f x x =B ．()f x =C ．()12xf x -=- D ．()()2log 1f x x =-+9. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且对任意正整数n ，都有点()1,n n a S +在直线220x y +-=上. 若数列2n n S n λλ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭为等差数列，则λ的值为 （ ）A ．12B ．12-C ． 2D ． 2-.10．规定[]x 表示不超过x 的最大整数，()()[][)22,,0,0,xx f x x x x -⎧-∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若方程()1f x ax =+ 有且仅有四个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．11,34⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．11,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．若变量x 、y 满足约束条件421x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则目标函数 2z x y =+的最小值是 ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． ：13．已知如图所示的程序框图，当输入99n =时，输出S 的值是 ．正视图侧视图14．已知圆224:M x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于的概率为 ．15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，它的图像的相邻两条对称轴之间的距离是2π，当函数()f x 的图像向右平移6π个单位时，得到函数()g x 的图像，并且()g x 是奇函数，则ϕ= ．16．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为()0k k >的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在x 轴的上方），与准线交于C 点，若2BC BF =，且8AF =，则p = ．17．已知数列{}n a 、{}n b ，且通项公式分别为32n a n =-，2n b n =，现抽出数列{}n a 、{}n b 中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列{}n c ，则可以推断： （1）50c = （填数字）； （2）21k c -= （用k 表示）． 三、解答题：本大题共5小题，共65分。

湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试数学文试题（B 卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{0,},{|250,}P m Q x x x x Z ==-<∈，若PQ ≠∅，则m 等于（ ）A ．1或2 B ．1或25C ．1D ．22．下列四个命题中，假命题为（ ）A ．x ∃∈R ，使lg 0x >成立B ．x ∃∈R ，使122x =成立 C ．x ∀∈R ， 20x >均成立 D ．x ∀∈R ，2310x x ++>均成立3.已知a b <，则下列不等式正确的是A ．22a b >B ．11a b> C ．22a b > D ．22a b ->- 4．已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[－2，1]，则b －a 的值不可能是 （ ）A ．π2B ．67π C ．65π D ．π5．如图的算法流程图中，当输入61=n 时，则输出的=n （ ）A ． 64B ．63C ．62D ．61（第5题图） （第6题图）6. 一几何体的三视图如上图，它的体积为 （ ）A ．2B ．52 C ．32 D ．437．在等比数列{}n a 中,若3578a a a =,则28a a = （ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-正视图 侧视图俯视图8．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）A ．45 B ．25 C ．910 D ．7109．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A． B ．(1,2) C ．D ．(1,3)10．已知⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=011101)(22x xx xx f 且0,1||0,1||0<<<<<mn n m ，则使不等式0)()(>+n f m f 成立的m 和n 还应满足条件是（ ）A ．0m n +<B ．0m n +>C ．0m n -<D ．0m n ->二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11． i 是虚数单位，复数z=()()321i i i ++-的虚部．．为_________. 12．已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 ．13．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 14．若函数 ()(0xf x a x a a =-->且1)a ≠ 有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．15．通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示：那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20，60）之间的人大约有 万．16．实数,x y 满足11260y x x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，目标函数z x y =+，则当3z =时，y x 的取值范围是 ．17．函数()2|}f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，（1）m 的取值范围是_______________.（2）123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值．19．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 所在的平面与正方形ABEF 所在的平面相互垂直，M 、N 分别是EC 、AD 的中点． （1）求证：面EFDC ⊥面ECB ； （2）求直线MN 与平面EFDC 所成的角正弦值．20．（本小题满分13分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款（即无利息贷款），旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学 2013届毕业生小王在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.小王计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一个月多x 元.（1）假设小王在第m 个月还清贷款（36,m m N +≤∈），试用x 和n 表示小王第n （,n m n N +<∈）个月的还款额n a ；（2）当40x =时，小王将在第几个月还清最后一笔贷款？（3）在（2）的条件下，他还清最后一笔贷款的那个月工资的余额是否能满足此月3000元的基本生活费？（参考数据：201.05 2.653=）21．(本小题满分14分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，则12λλ+是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．22．(本小题满分14分）已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，'()f x 是()f x 的导函数，且'()()0xf x f x ->在(0,)+∞内恒成立．（1） 求函数()()f x F x x=的单调区间； （2） 若2()ln f x x ax =+，求a 的取值范围； （3） 设0x 是()f x 的零点，0,(0,)m n x ∈，求证：()1()()f m n f m f n +<+湖北省黄冈中学2013届毕业生适应性考试数学（文史类）试题参考答案1【解析】}2,1{},250|{=∈<<=Z x x x Q ，因为P Q φ≠，故1m =或2． 2．【答案】B【解析】易知231y x x =++是可令1x =-显然不成立． 3．【答案】C【解析】根据不等式的性质易得4．【答案】D【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选D 5．【答案】C 【解析】：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一次运行616218912⨯=，不大于2013，n 变为62 第二次运行626319532⨯=，不大于2013，n 变为63第三次运行636420162⨯=，所以输出63．答案为636．【答案】A 【解析】：显然有三视图我们易知原几何体为左边是一个正方体，右边是正方体沿对角线切去一半所得到的三棱柱，这样不难得到体积为327．【答案】D【解析】：由335758a a a a ==，所以58a =，22854a a a ⋅==，故选D8. 【答案】C【解析】本题考查茎叶图和古典概型的求法，记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是1(80290389210)905⨯⨯+⨯+++++=，乙的5次综合测评的平均成绩是1442(8039023379)55x x +⨯⨯+⨯+++++=，令442905x+>，解得8x <，即x 的取值可以是07，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是84105=，选C.9．【答案】A【解析】由于ABE ∆为等腰三角形，可知只需045AEF ∠<即可，即2||||b AF EF a c a<⇒<+，化简得23012e e e --<⇒<<．10．【答案】B【解析】画出()f x 的图象，可知函数为奇函数，则使不等式0)()(>+n f m f 成立的m 和n 还应满足条件为0<+n m 11．【答案】 －3 【解析】 z =()()23122131 3.i i i i i ii ii-++-+-+===----12．【答案】【解析】a 在b 方向上的投影为5cos ,===-a b a b a a b a a b b ． 13．【答案】3【解析】圆C 即为22(1)(1)4x y ++-=，圆即为(1,1)-到直线的距离为3． 14．【答案】1a >【解析】作图分析知当01a <<时只有一个零点，当1a >时有两个零点15．【答案】116【解析】20，60）之间的频率为0.58，则人数有200⨯0.58=115万16．【答案】 1[,2]2【解析】不等式组表示的区域D 以74(,)33，(1,0)，(1,4)为顶点的三角形内部及其边界，当3z =时，点(,)x y 应点D 与直线3x y +=相交所得的线段上，联立1y x =-与3x y +=，解得一个端点为(2,1)，联立1x =与3x y +=得另一端点为(1,2)，yx表示与原点连线的斜率，易得1[,2]2y x ∈．17．【答案】（1）02m <<-；（2）1 【解析】如图，由2-得 即2840x x -+=，解得4Bx =- 或4C x =+，所以422B y =--=，由图象可知要使直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则有02m <<，即实数m 的取值范围是02m <<-．不妨设123x x x <<，则由题意可知m =，所以214m x =，由2x m -=得232,2x m x m =-=+，2123(2)(2)4m x x x m m =-+=22222(4)14()4442m m m m -+-≤=，当123x x x 取最大值1时，(0,2)m =-．18．解：（1）由题意可得2=Aπ22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-=函数)321cos(2)(π-=x x f …… ………………………………………………6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=…………………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………………12分 19．（1）∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥又ABEF 为正方形，∴AB BE ⊥，∴AB ⊥面ECB .……3分 又//CD AB ，∴CD ⊥面ECB .而CD ⊂面EFDC ，∴面EFDC ⊥面ECB . ………6分 （Ⅱ）作N 在DF 上的射影H ，连MH .…7′ ∵//AF BE ，//AD BC ，∴面//ADF 面BCE ， ∴面ADF ⊥面EFDC ，∴NH ⊥面EFDC ，∴NMH ∠为MN 与面EFDC 所成的角． …9分 作M 在BC 上的射影G ，连NG .设2AD a =，则NH HD ===，12MG EB a ==.∴MN ===NH sin NMH MN ∠===∴直线MN 与平面EFDC. …………12分20．解：（1）500(112)500(12)(13)n n a n x n m ≤≤⎧=⎨+-≤<⎩ m 、*n N ∈ 且36m ≤ ……………6分（2）设王某第n 个月还清，则应有(12)(121)12500(50040)(12)40240002n n n ---⨯++⨯-+⋅≥整理可得2210680n n +-≥，解之得113231n ≥-+>-+=，取32n =. 即王某工作32个月就可以还清贷款. ……………9分 （3）在（2）的条件下，第32个月小王的还款额为(3112)(31121)24000[12500(50040)(3112)40]9002-⨯---⨯++⨯-+⋅=元第32个月王某的工资为201500 1.051500 2.6533979.5⨯=⨯=元.因此，王某的剩余工资为3979.59003079.5-=，能够满足当月的基本生活需求.………………………………………13分 21．（1）解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x = …………………………3分 同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,b c a ==∴=．得椭圆222:12y C x +=． …………………………6分（2）12λλ+是定值，且定值为－1．设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ …………………………9分由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-=整理得：121212,11x xx x λλ==-- 2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x kλλ+-+-∴+===-+-++-+． …………………………14分22．（1）2'()()'()xf x f x F x x-=，∵'()()0xf x f x ->在(0,)+∞内恒成立 ∴'()0F x >在(0,)x ∈+∞内恒成立，∴()F x 的单调区间为(0,)+∞ ………………4分（2）1'()2(0)f x ax x x=+>，∵'()()0xf x f x ->在(0,)+∞内恒成立 ∴21(2)ln 0x ax x ax x +-->在(0,)+∞内恒成立，即2ln 1x a x->在(0,)+∞内恒成立， 设2ln 1()x h x x -=，332ln '()xh x x -=32(0,)x e ∈，'()0h x >，32(,)x e ∈+∞，'()0h x <，故函数()h x 在32(0,)e 内单调递增，在32(,)e +∞内单调递减， ∴32max 31()()2h x h e e ==，∴312a e> ………………8分 （3）∵0x 是()f x 的零点，∴0()0f x =由（1），()F x 在(0,)+∞内单调递增， ∴当0(0,)x x ∈时，0()()F x F x <，即00()()0f x f x x x <=， ∴0(0,)x x ∈时()0f x <，∵0,(0,)m n x ∈，∴()0,()0f m f n <<， 且()(),()(),F m F m n F n F m n <+<+即()()()(),f m f m n f n f m n m m n n m n++<<++ ∴()()()()()mf m n nf m n f m f n f m n m n m n+++<+=+++，∴()1()()f m n f m f n +<+ ………………14分。