P D C B
A 【垂径定理】第5份
1、下列命题中：① 任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④ 平分弦的直径垂直于弦；⑤ 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2、如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A 、B 、C 。
（1）用尺规作图法，找出弧ABC 所在圆的圆心O （保留作图痕迹，不写作法）； （2）设△ABC 是等腰三角形，底边BC=8，AB=5，求圆片的半径R
3、已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm ，拱高CD=4cm ，那么拱形的半径是 cm.
4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若AP:PB=1:4, CD=8，则 AB=_______________.
5、填空：如图，在⊙O 中，直径CD 交弦AB （不是直径）于点E. (1)若CD ⊥AB ，则有 、 、 ； (2)若 AE = EB ，则有 、 、 ； (3)若 AC BC =，则有 、 、 .
6、某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，
现有一艘宽3m ，船舱顶部为长方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
7、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ） 【圆心角定理及推论】
1、圆的旋转不变性：将圆周绕圆心O 旋转 ，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。
2、圆心角： 叫做圆心角。
3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 （这就是圆心角定理）
4、n °的圆心角所对的弧就是 ，圆心角和 的度数相等。 注意：在题目中，若让你求⌒A
B ，那么所求的是弧长 5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么
都相等。（姑且称之为圆心角定理的逆定理）
注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
【常见题型】
1、下列说法：① 等弦所对的弧相等；② 等弧所对的弦相等；③ 圆心角相等，所对的弦相等；④ 弦相等，所对的圆心角相等；⑤ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PO 平分∠APD 。求证：AB=CD
3、如图⊙A 与⊙B 是两个等圆,直线CF ∥AB,分别交⊙A 于点C 、D ，交⊙B 于点E 、F 。求证：∠CAD=∠EBF
E
F
C
D
A B
4、如图所示，AB 、CD 是⊙O 的直径，CE ∥AB 交⊙O 于点E ，那么⌒A
D 与⌒A
E 相等吗？说明理由。 E
B
D
A
C
5、如图所示，C 是⊙O 的直径AB 上一点，过点C 作弦DE ，使CD=CO ，若⌒
A D 的度数为40°，求⌒
B E 的度数 第3题
第4题
P
s
s s s
N
M O A B
C D E
B
O A
C D
6、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M 、N 的位置，现在要在河边（直径所在的位置）修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最小需要多少米的水管？（提示：将半圆补全，将军饮马问题）
N
M
O
【随堂练习】
1、如果两个圆心角相等，那么（ ）
A.这两个圆心角所对的弦相等
B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D.以上说法都不对 2、下列命题中，正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等
B.相等的圆心角所对的弦相等
C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等
D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等 3、在半径为1的圆中，长为2的弦所对的圆心角的度数是（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4、在⊙O 中，AD 是直径，AB 、AC 是它的两条弦，且AD 平分∠BAC ，那么：① AB=AC ；②⌒A
B =⌒A
C ；③ ⌒B
D =⌒C D ；④ AD ⊥BC 。以上结论中正确的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5、如图所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 等于（ ） A.140° B.135° C.130° D.125°
6、如图，在⊙O 中，⌒A
B =2⌒
C
D ，则弦AB 和弦CD 的关系是（ ） A. AB>2CD B. AB<2CD C. AB=2CD D. 无法确定
7、如图，在条件：①∠COA=∠AOD=60°；②AC=AD=OA ；③点E 分别是AO 、CD 的中点；④OA ⊥CD 且 ∠ACO=60°中，能推出四边形OCAD 是菱形的条件有 个。
8、如图所示，在⊙O 中，弦AB>CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，M 、N 为垂足，那么OM 、ON 的关系是（ ） A. OM>ON B. OM=ON C. OM9、如图所示，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连续PA 、PB 。求证：PA=PB
P
D
C
B
O
A
10、如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是 .
11、如图.⊙O 中，AB 、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部，α=∠ABO ，β=∠ACO ，θ=∠BOC ，则下列关系中,正确的是（ ）
A.βαθ+=
B. βαθ22+= C ．︒=++180θβα D. ︒=++360θβα
【圆周角及定理】
1、顶点在 上，且两边 的角叫圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的
3、圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是
4、拓展一下：圆内接四边形的对角
5、圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等
6、⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120°
O A
B C 第5题 O B A
C
D 第6题 第7题 第8题
