2020年河南高三一模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是（ ）．
A.若，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
3.设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（ ）．A.
B.
C.
D.
4.在中，已知，，，则等于（ ）．
A.或
B.
C.
D.
5.下列四个结论：
①命题“，”的否定是“，”．
②若是真命题，则可能是真命题．
③“且”是“”的充要条件．
④当时，幂函数在区间上单调递减．
其中正确的是（ ）．
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
6.已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
7.的展开式中的系数为（ ）．
A.
B.
C.
D.
8.直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是
（ ）．
A.
B.
C.
D.
9.某校有人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满
分分，统计结果显示数学成绩优秀（高于分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在
分到分之间的人数约为（ ）．
A.
B.
C.
D.
10.
已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：与椭
圆相交于、两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为
（ ）．
A.
B.
C.
D.
11.若函数与都在区间上单调递减，则
的最大值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
12.已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数
的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若平面向量、满足，平行于轴，，则 ．
14.
实数，满足约束条件：，则的取值范围为 ．
15.半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与
面积之和的最大值为 ·
16.如图，
，
分别是椭圆
的左、右顶点，圆
的半径为，过点
作圆
的切
线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
（1）
（2）17.数列中，，当时，其前
项和满足．
求
的表达式．
设
，求数列的前
项和
．
（1）（2）18.在如图所示的三棱柱
中，
平面，
，，
的中点为，若线段
上存在一点使得
平面
．
求的长．
求二面角
的大小．
19.部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间（指乘
客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟）．将统计数据按
，
，
，
，
分组，制成频率分布直方图：
（1）（2）频率组距
乘车等待时间
甲站（分钟）
频率组距
乘车等待时间
乙站（分钟）
假设乘客乘车等待时间相互独立．
在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率．
从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量
的分布列与数学期望．
（1
）
（2
）
20.
已知为坐标原点，椭圆
：的左、右焦点分别为
，
，离心率
，椭圆上的点到焦点
的最短距离为
．
求椭圆的标准方程．
设为直线上任意一点，过
的直线交椭圆于点，，且
，求
的最小值．
（
1）
（2）
21.已知函数，．
若存在极小值，求实数的取值范围．
设是的极小值点，且，证明：
．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
（1
）
（2）
22.
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为
（为参数）．以坐标原点为
极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求的普通方程和
的直角坐标方程．
已知直线的极坐标方程为，
是与的交点，是
与
的交点，且，均异于原点，，求的值．
【答案】
解析:
，；
∴；
∴．
故选：．
解析:
构造函数，
由于函数与在定义域上都是单调递增函数，
故在定义域上单调递增，
由，
．
则函数的零点在之间，
故，．
解析:
由正弦定理知，，
∵，
∴或
又∵，
∴，
（1）
（2）
23.已知函数．
当，求不等式 的解集．
设对恒成立，求的取值范围．C
1.
或
C
2.
B
3.
C
4.
