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一类具有常数存放率的Kolmogorov捕食系统的极限环

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Ｌｉ ｍｉ ｔ Ｃｙ ｃ ｌ ｅ ｏ ｆ ａ Ｋｏ ｌ ｍｏ ｇ ｏ ｒ ｏ ｖ’ Ｓ Ｐｒ ｅ ｄ ａ ｔ ０ ｒ — ｐｒ ｅ ｙ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ Ｃｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ Ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ ｉ ｎ ｇ Ｒａ ｔ ｅ
ＹＵＡＮ Ｙｕ ｅ －ｄ ｉ ｎ ｇ
ｕ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｃ ｙ ｃ ｌ ｅ ｓ ｕ ｒ ｒ ｏ ｕ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｅ ｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ａ ｎ ｄ ｏｒ ｆ ｔ ｈ ｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ． Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｓ ｓ ｏ ｍｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｆ ｒ ｏ ｍ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ — ｐ ｒ ｅ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ；ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ ｉ ｎ ｇ ｒ ａ ｔ ｅ ；ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｃ ｙ ｃ ｌ ｅ ；ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
第１ １ 卷 第１ 期 ２ ０ １ ４年 ３月
邵阳学院学报 （ 自然 科 学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｏ ｙ ａ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
（ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｙ ｉ ｃ ｈ ｕ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｙ ｗ ｈ ｕ ｎ ， Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｘ ｉ ３ ３ ６ ０ ０ ０， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
２
邵 阳学 院学报 （ 自然科 学版 ）
第１ １卷
时， 表示 对 两 种 群 的投放 ； 当然 ， 也 可 以是 ｈ ｋ ＜ Ｏ ． 由于模型 的实际意义 … ， 引起 了许 多 学者 的兴 趣 ， 见 文 及 其参 考 文献． 但 是
２ 主 要 结 果
为 了 便 于 讨 论 ， 作 变 换 √ 詈 ， Ｙ ，
（ 宜春 学院 数 学与计算机科 学学院 ， 江西 宜春 ３ ３ ６ ０ ０ ０ ）
摘 要 ： 研 究一类具有 常数存放 率的 Ｋ ｏ ｌ ｍ ｏ ｇ ｏ ｒ ｏ ｖ 捕食 系统 ＝ （ ａ ０ ＋ １ 一 ａ ２ 一 （ Ｙ ） ） ＋ ｈ ， 夕 ＝ ｙ （ ｂ ｘ 一 ｄ ） ， 其中 （ ０ ） ＝０ ， （ Ｙ ） ＞ ８ ＞ Ｏ ， （ ｙ ＞ ０ ） ， 得 到 了存在唯 一极 限环 的充要条件及 系统全局 渐近稳 定的充要条件 ， 从 而推 广 了前人相 关的结果． 关键词 ： Ｋ ｏ ｌ ｍ ｏ ｇ ｏ ｒ ｏ ｖ 捕食 系统 ； 存放 率 ； 极限环 ； 全局渐近稳定 中图分 类号 ：０ １ ７ ５ ． １ ２ 文献标识码 ： Ａ
１ 引言及 问题 的提 出
被开发 的两种 群 的捕食 模 型 的最 一般 的形式是
＝
其中 ｈ 和ｋ 可 以是 常数 ， 也可 以是 ， Ｙ 或ｔ 的 函数． 当 ｈ和 ｋ均 为负数 时 ， 表 示对
（ ， Ｙ ） ＋ ， 夕 ｉ 厂 ２ （ ， Ｙ ） ＋ ，
（ １ ）
ｗ ｈ ｅ ｒ ｅ （ ０） ：０ ， （ Ｙ ） ＞ ｓ ＞ ０， （ ｙ ＞ Ｏ ）ａ ｒ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ， ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｓ ｓ ｕ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ａ ｎ ｄ ｎ ｅ ｃ ｅ ｓ ｓ ａ ｒ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ
ＶＯ １ ． １ １ Ｎｏ ． １
Ｍａ ｒ ． ２Ｏ １４
文章 编号 ： １ ６ ７ ２ — ７ ０ １ ０（ ２ ０ １ ４ ） ０ １ — ０ ０ １ — ０ ４
一
类 具 有 常数 存 放 率 的 Ｋ ｏ ｌ ｍ ｏ ｇ ｏ ｒ ｏ ｖ 捕 食 系统 的极 限环
袁 月 定
ｔ ： ， 则 系统 （ ２ ） 化 为等 价 系统 （ ， ， 仍
Ⅱ Ｏ
由于研 究方 法 或 理 论 的欠 缺 ， 对 某 些 有 意
两种群 的收 获 （ 捕捞） ； 当 ｈ和 ｋ 均 为正 数
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — １ ０ — ２ ３
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ １ １ ３ ６ １ ０ ６ ７ ， １ １ ２ ０ １ ４ １ １ ） ． 作者简介 ： 袁月定（ １ ９ ７ ６ 一 ） ， 男， 湖南汉 寿人 ， 讲师 ， 博士， 研究方 向： 常微 分方程定性理论的研究
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ， ｔ ｈ ｅ Ｋ ｏ ｌ ｍｏ ｇ ｏ ｒ ｏ ｖ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗ ｉ ｔ ｈ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ ｉ ｎ ｇ ｒ ａ ｔ ｅ ， ＝ （ ａ ｏ ＋ Ⅱ ｌ ｘ － ａ ２ 一 （ Ｙ ） ） ＋ ＾ ， 夕＝ ｙ （ ｂ ｘ 一 ｄ ） ，

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微分方程第5章.4 极限环

微分方程第5章.4 极限环


例1 证明平面二次系统
dx 2 y m xy n y dt d y x (1 a x ) dt
(1)
当 m n 0 时无闭轨线。 证明 由系统的第一个方程得到
dx dt
x 1 m
ny
2
故轨线与直线 x
1 m
相交时只能从它的一侧向
另一侧,因此系统若有闭轨线.它只能位于直线
例2
用定理5.4.4的结论判定非线性方程组
dx 2 2 2 2 y 0 .0 5 x ( x y 1)( x y 4 ) dt d y x 0 .0 5 y ( x 2 y 2 1)( x 2 y 2 4 ) dt
引入极坐标
R1 (1 R1 ) 0,
2
d dt d dt

*
1 0
轨线按顺时针方向从圆 r R1 上走出圆外
沿圆 R R 2 1,
R 2 (1 R 2 ) 0,
2
1 0

*
轨线按顺时针方向从圆r R 2 上走到圆内
r 1
注： 孤立的周期闭轨 r 1 称为极限环
T
(
0
f ( x ( t ), y ( t )) x

g ( x ( t ), y ( t )) y
)dt 0( 0)
则 是稳定(不稳定)的.其中 T 是 的周期。
定理5.4.5
给定微分方程
d x dt
2
2
f (x)
dx dt
x 0,
其等价方程组为：
x
其中 F ( x )dy g ( x, y ) dt
捕食与被捕食模型研究进展

捕食与被捕食模型研究进展


＝ｘ ａ ） 似 ＋ｘｅｈ） ＝Ｐ ｘ ） （ 一 一（ ２— ｙ （ ，， ）
＝ ）一 ， ｄ＋ｃ — ） （ ｅｈ ＝Ｑ（ ， ） ） ，
ｄ ｔ
这 里 七为 Ｈｏｌ ｇ Ｔ ｐ － Ｖ 功 能 反 应 函 数 。 ｌｎ ｙ ｅ Ｉ ｉ
是 非 单 调 的 “ 型 ” 数 ，ｘ ｘｅｉ 示 捕 食 种 群 捕 钟 函 ａ＋ ２－表 ＇ 食 率 函 数 ．即捕 食 种群 捕 食 量 随 食 饵 的增 加 而 增
散 、 有 收 获 率 或 存 放 率 等 方 面 ， 究 的结 果 主 要 具 研 体 现 在 平 衡 点 的局 部 稳 定 或 全 局 稳 定 、解 的 有 界
函数 （）研究的结果也大不相同。欧阳军分析了 ， （） 、 模型 ＝ ／
— ＝ ‘ — — Ｌ 一／ｙ Ｏ Ｘ ； －
应 函数 研 究较 多 ， 是 对 于 不 同 的具 体 功 能 性 反应 但
贴近实际 ， 研究更具有现实意义。将最新的抽象结 果应用于 具有实际意 义的模型而得到具有指 导性
意 义 的 结 果 是现 代 应 用 数学 的一 大特 征 。 究模 型 研 的影 响 因 素 主要 体 现 在 功 能 反应 、 体 防 御 、 滞 、 群 时 基 于 比 率 、 有 年 龄 或 性 别 结 构 、 自 治 、 应 扩 具 非 反
有 特殊 功能 反应 函 数 的模 型 ， 研 究 的 是 功能 反应 所
得 到如 下 定理 。
函 数 是 非 单调 的 函数 ， 捕 食 者 的捕 获 量 并 不 随食 即
定理 ３ １ 假设 ｎ） Ｅｌ（ ｔ Ｉｆ ＥＩ（ Ｉ Ｉ ．： （＞ ａｆ ， ） ｃｔ ｆ ＋ ） （＞ ｅ＋ ） ｃ
．
国内 研究 也逐 渐 兴起 ， 大 了对这 类模 型的 研究 ，． 加 ［１ ８ ９ 笔者 在 “ 类 捕 食 系统 解 的 有界 性 与计 算机 仿 真 ” 一 中主 要 分析 了 捕食 系统
3.8捕食系统的Volterra方程

3.8捕食系统的Volterra方程

§3.8捕食系统的Volterra 方程问题背景：意大利生物学家D’Ancona 曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。

在1914~1923年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。

战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.Volterra ，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。

Volterra 将鱼划分为两类。

一类为食用鱼（食饵），数量记为x 1(t )，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x 2(t )，并建立双房室系统模型。

1、模型建立大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为r 1的指数律增长（Malthus 模型），既设：111dx r x dt λ⎛⎫= ⎪⎝⎭由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：1112dx x x dt λ⎛⎫= ⎪⎝⎭出对于食饵（Prey ）系统：λ1反映了捕食者掠取食饵的能力对于捕食者（Predator ）系统：捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r 2，即：222dx r x dt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭出但食饵提供了食物，使生命得以延续。

这一结果也要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到：1212dx x x dt λ⎛⎫= ⎪⎝⎭入综合以上分析，建立P-P 模型（Volterra 方程）的方程组：1111222221()()xx r x xx r x λλ=-⎧⎨=-+⎩ （3.31）方程组（3.31）反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的相互制约关系。

一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性

一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性

一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性一类三次系统是一种常见的非线性系统，具有广泛的应用领域，如控制系统、生物学、经济学等。

对于这类系统的稳定性分析和极限环的存在性是一个重要的研究课题。

本文将对一类三次系统的奇点分析和极限环的存在性进行探讨。

首先，我们考虑一般形式的三次系统：$$\dot{x} = f(x)$$其中，$x \in \mathbb{R}^3$为系统状态变量，$f(x)$表示系统的动力学方程。

为了简化问题，我们假设$f(x)$为一个三次多项式：$$f(x)=Ax+Bx^2+Cx^3$$其中，$A,B,C$为系统参数矩阵。

这类系统的平衡点通常可以通过求解方程$f(x)=0$来获得，即解析求解系统的平衡点。

通过线性化分析，我们可以求得平衡点的稳定性。

若系统的所有平衡点都是非超流形的，且非孤立的，则系统中存在奇点。

奇点是系统中的一种特殊状态，通常对应于系统动力学发生突变的情形。

接下来，我们考虑极限环的存在性问题。

极限环是一种周期解，它在非线性系统中起到重要作用。

我们希望能够证明对于一类三次系统，当系统参数满足一些条件时，系统一定存在极限环。

极限环的存在性分析通常可以通过利用折叠法、分支方程等方法来进行推导。

通过对系统进行适当的变量变换和参数选择，我们可以将系统方程转化为较为简单的形式。

然后，利用动力学系统理论、中心流形理论等数学工具，我们可以进行系统的分析和证明。

通过合理地选择参数和假设条件，我们可以证明在一定的条件下，系统中存在极限环。

在实际应用中，极限环的存在性对于系统的稳定性和控制性能具有重要的影响。

通过研究系统的极限环，我们可以设计出更加有效的控制策略，提高系统的性能和鲁棒性。

总之，一类三次系统的奇点分析和极限环的存在性是一个复杂而重要的研究方向。

通过对系统动力学方程的分析和数学推导，我们可以揭示系统的稳定性特性和周期解的存在性。

这对于系统控制、优化和应用具有深远的意义，有助于推动相关领域的发展和进步。