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西工大计算方法试题参考(完整版)

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2002-2003第一学期 一．计算及推导（5*8） 1．已知*3.141,xx，试确定*x近似x的有效数字位数。

2．有效数***1233.105,0.001,0.100xxx，试确定***123xxx的相对误差限。 3．已知3()0.50.12fxxx，试计算差商0,1,2,3f 4．给出拟合三点(0,1),(1,0)AB和(1,1)C的直线方程。 5．推导中矩形求积公式 ''31()()()()()224baabfxdxbaffba

6．试证明插值型求积公式0()()nbiiaifxdxAfx的代数精确度至少是n次。 7．已知非线性方程()xfx在区间,ab内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。 8．用三角分解法求解线性方程组

123

121022331302xxx





二．给出下列函数值表

ix 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

()ifx 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736

要用二次插值多项式计算(0.63891)f的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程ln0xx在(0,1)内有一实根

（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x迭代法都收敛，并证明其收敛性。

（2）00.5x试用构造的迭代公式计算的近似值nx，要求3110nnxx。 四． 设有方程组 112233

131232axbaxbaxb





当参数a满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题

'2 (00.2)(0)1xyyxyy



取h=0.1，小数点后保留5位。（8分）

六．证明求解初值问题 '00(,) ()yfxyyxy的如下单步法 12121(,)11(,)22nnnnnnyyKKhfxyKhfxhyK





是二阶方法。（10分） 七．试证明复化梯形求积公式

101()(()2()()) 2nbinaihbafxdxfxfxfxhn



对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。（6分） 2003-2004第一学期 一．填空（3*5） 1．近似数*0.231x关于真值0.229x有_____-位有效数字。

2．*nx的相对误差为*x的相对误差的_______倍。 3．设()fx可微，求()xfx根的牛顿迭代公式______。

4．插值型求积公式0()()nbiiaifxdxAfx的代数精确度至少是______次。 5．拟合三点(1,0),(1,3)AB和(2,2)C的常函数是 ________。 二．已知()fx有如下的数据 ix 1 2 3 ()ifx 2 4 12 '()ifx

3

试写出满足插值条件()()iiPxfx以及'(2)'(2)Pf的插值多项式()Px，并写出误差的表达形式。

三．（1）用复化辛浦森公式计算10xedx为了使所得的近似值有6位有效数字，问需要被积函数在多少个点上的函数值？

（2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算721lgxxdx，小数点后至少保留4位。

四．曲线3yx与1yx在点（0.7，0.3）附近有一个交点(,)xy，试用牛顿迭

代公式计算x的近似值nx，要求3110nnxx 五． 用雅可比方法解方程组

123

122511112213xxx





是否对任意的初始向量(0)x都收敛，为什么？取(0)(0,0,0)Tx，求出解向量的近似向量，要求满足(1)()613max10kkiiixx。 六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题 '2+1 (0)0yyy



的解函数在0.6x处的近似值，要求写出计算格式。（步长0.3h,小数点后保留5位有效数字）

七．设有求解初值问题'00(,) ()yfxyyxy的如下格式 11(,)nnnnnyaybychfxy

如假设11(),()nnnnyyxyyx问常数,,abc为多少时使得该格式为二阶格式？

2005-2006第二学期 一．填空（3*5） 1.设近似数**121.2250,0.5168xx都是四舍五入得到的，则相对误差**12()rexx

______。

2.矛盾方程组112.83.2xx的最小二乘解为_______。 3.近似数*0.01999x关于真值*0.02000x有______位有效数字. 4.取31.732，迭代过程10.13nnyy是否稳定？ 5.求积公式31()2(2)fxdxf有几次的代数精确度？ 二． 取初值01.6x，用牛顿迭代法求3.1的近似值，要求先论证收敛性。当5110nnxx

时停止迭代。

三．用最小二乘法确定21yabxx中的常数a和b，使该曲线拟合于下面的四个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74） （计算结果保留到小数点后4位）

四．用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值1的第k次近似值()1k及相应的特征

向量1x，要求取初值0(1,1,1)Tu且()(1)31110kk

这里 A=512101613 五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组1231231239268888xxxxxxxxx 收敛性，并取(0)(1,0,0)Tx，求近似解(1)kx，使得(1)()310kkiixx（i=1，2，3） 六．已知单调连续函数()yfx的如下数据 1.120.001.802.20()1.100.500.901.70iixfx 用插值法求方程()0fx在区间（0.00，1.80）内根的近似值。（小数点后至少保留4位）

七．设有积分104dxIx 取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位） 用复化的simpson公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。

八．给定初值问题'0 (0)0xyyy11.4x 写出Euler预估校正格式 取步长为0.2，计算在1.4处的函数的近似值。

九．设矩阵A对称正定，考虑迭代格式 (1)()(1)()2kkkkxxxxAb







0,0,1,2,3...k对任意的初始向量(0)(1),kxx是否收敛到Axb的解，为什么？

2006-2007第一学期 一. 填空 1） 近似数253.1*x关于真值249.1x有____位有效数字；

2） 设有插值公式)()(111knkkxfAdxxf，则nkkA1=______；（只算系数） 3） 设近似数0235.0*1x，5160.2*2x都是有效数，则相对误差)(*2*1xxer____； 4） 求方程xxcos的根的牛顿迭代格式为______；

5） 矛盾方程组1211212121xxxxxx与121222212121xxxxxx得最小二乘解是否相同______。 二. 用迭代法（方法不限）求方程1xxe在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于210时迭代结束。 三. 用最小二乘法xbeaxy2中的常数a和b，使该函数曲线拟合与下面四个点 （1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位） 四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组





717353010342110100201

4321

xxx

x

五．设要给出xxfcos的如下函数表

用二次插值多项式求)(xf得近似值，问步长不超过多少时，误差小于310 。 六. 设有微分方程初值问题

2)0(2.00,42yxxyy－

1）写出欧拉预估－校正法的计算格式； 2)取步长h=0.1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。

七. 设有积分101xdxI 取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小数点侯保留4位）； 用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位）。 八. 对方程组



314122111221321xxx－

1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ 2.取初始向量T)0,0,0(x，用雅可比迭代法求近似解)1(kx，使 )3,2,1(103)()1(ixxkiki

ix hx0 0x hx0

)(ixf )(0hxf )(0xf )(0hxf

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《计算方法》上机实验试题

《计算方法》上机实验试题

《计算方法》上机实验试题
1. (25分)计算积分
dx x x I n n ⎰
+=105， n=0,1,2,…,20 若用下列两种算法 (A) n I I n n 151+
-=- (B) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-n n I n I 1511 试依据积分I n 的性质及数值结果说明何种算法更合理。

2. (25分)求解方程f(x)=0有如下牛顿迭代公式
)()(111---'-
=n n n n x f x f x x ， n ≥1，x 0给定 (1) 编制上述算法的通用程序，并以ε<--1n n x x （ε为预定精度）作为终止迭
代的准则。

(2)
利用上述算法求解方程 0cos :)(=-=x x x f
这里给定x 0=π/4，且预定精度ε=10-10。

3. (25分) 已知)3()(x x e x e x f -=，
(1)
利用插值节点x 0=1.00，x 1=1.02，x 2=1.04，x 3=1.06，构造三次Lagrange 插值公式，由此计算f(1.03)的近似值，并给出其实际误差； (2) 利用插值节点x 0=1，x 1=1.05构造三次Hermite 插值公式，由此计算f(1.03)的近
似值，并给出其实际误差。

4. (25分) 利用Romberg 算法计算积分
⎰
+4802cos 1dx x
精确到10
－4
总体要求：打印各题的程序代码及数值结果。

计算方法_习题集(含答案)

计算方法_习题集(含答案)

10.已知函数 的下列数值，试用两点和三点微分公式计算 的一阶和二阶导数。
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
11.求公式 的代数精度。
12.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度。
13.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度.
11.解：取 代入公式，得到：
当 左边=1，右边=1。当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ,当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ，
所以公式具有三次代数精度。
12.解：令 ，代入积分公式，有
解之： ,积分公式为： ，
由于当 时，左= 右= ,
所以积分公式具有一次代数精度。
13.解：令 ，代入积分公式，有
16.解：增广矩阵的变换为
，
等价于方程组：
，解之， 。
17.解：消元过程： ，
回代可求出： 。
18.解：
，
， ，
，
所以
19.解：增广矩阵变换为：
等价于方程组
， 所以，方程组的解为
20.解：
等价的三角方程组为
回代可得 。
21.解：迭代格式： ， ，
。 ，所以迭代不收敛.
22.解：因为系数矩阵 是严格的对角占优矩阵，
21.对于方程组 ，写出 迭代的迭代格式并判断是否收敛。
22.对于方程组 ，分析Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代的收敛性。
23.设线性方程组的系数矩阵为 ，求能使Jacobi迭代收敛的 的取值范围
24.用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代于方程组 是否收敛？为什么？若将两个方程对调，结论又如何？
西工大2020年4月《计算机操作系统》作业机考参考答案

西工大2020年4月《计算机操作系统》作业机考参考答案

B.进程申请的资源数超过了系统资源总数
C.由于程序性错误引起的循环等待
D.由于进程占有资源后不被剥夺
正确答案:
12.（）是一旦有处理请求和要求处理的数据时，CPU就应该立即处理该数据并将结果及时送回。
A.实时操作系统
B.多道批处理系统
C.分时操作系统
D.微机操作系统
正确答案:
13.当用户程序执行访管指令时，中断装置将使中央处理器（）工作。
C.内存空间利用率得以改善
D.内存空间利用率不影响
正确答案:
8.进程和程序是两个既有联系又有区别的概念，下面描述中，（）是错误的。
A.进程是动态的，程序是静态的
B.一个程序可对应多个进程
C.进程有生命周期，而程序相对是永久的
D.程序是可以并发执行的
正确答案:
9.外存（如磁盘）上存放的程序和数据（）。
A.灵活性和可适应性
B.系统效率和吞吐量
C.交互性和响应时间
D.实时性和可靠性
正确答案:
41.进程从运行状态变为阻塞状态的原因是（）。
A.输入或输出事件发生
B.时间片到
C.输入或输出事件完成
D.某个进程被唤醒
正确答案:
42.主要由于（）原因，使UNIX易于移植。
A.UNIX是由机器指令编写的
B.UNIX大部分用汇编少部分用C语言编写
正确答案:C
5.操作系统中采用缓冲技术的目的是为了增强系统（）的能力。
A.串行操作
B.控制操作
C.重执操作
D.并行操作
正确答案:
6.进程间的基本关系为（）。
A.相互独立与相互制约
B.同步与互斥
C.并行执行与资源共享
D.信息传递与信息缓冲
计算方法各习题及参考答案

计算方法各习题及参考答案

第二章 数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造一多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使用多少个节点能够保证误差不超过61102-⨯． 答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b ah n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章 函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差．答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-，二次最佳平方逼近的平方误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平方逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章 数值积分与数值微分4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =⎰，并与精确值比较．答案：计算结果如下表所示4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度． （１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰ （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-⎰答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++⎰中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的二次插值多项式，用2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =⎰的数值积分公式h I ，并用台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+． 答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+⎰．4.5 给定积分10sin xI dx x =⎰（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-⨯． （２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ 答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=⨯ （３）取７个节点处的函数值．4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分10sin xI dx x =⎰．要求用事后误差估计法时，截断误不超过31102-⨯和61102-⨯． 答案：使用复化梯形公式时，80.946I T ≈=满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，40.946 083I s ≈=满足精度要求．4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+⎰，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈． （２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--⎰，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，而 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 用龙贝格方法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字． 答案：49.6884l I =≈．4.9确定高斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+⎰的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证高斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+⎰的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章 解线性方程组的直接法5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中111210110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭． 答案： 1110331203321133A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭5.2 用矩阵的直接三角分解法解方程组1234102050101312431701037x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 用追赶法求解三对角方程组123421113121112210x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章 解线性代数方程组的迭代法６.１ 对方程1212123879897x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，用该方法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤． 答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２ 讨论松弛因子 1.25ω=时，用SOR 方法求解方程组121232343163420412x x x x x x x +=⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩ 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<⨯． 答案：方程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３ 给定线性方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛．６.４ 设有方程组112233302021212x b x b x b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，讨论用雅可比方法和高斯－赛得尔方法解此方程组的收敛性．如果收敛，比较哪种方法收敛较快．答案：雅可比方法收敛，高斯－赛得尔方法收敛,且较快．６.５ 设矩阵A 非奇异．求证：方程组Ax b =的解总能通过高斯－赛得尔方法得到．６.６ 设()ij n nA a ⨯=为对称正定矩阵，对角阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：高斯－赛得尔方法求解方程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章 非线性方程求根例７.４ 对方程230xx e -=确定迭代函数()x ϕ及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ∀∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ϕ+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<． 答案：若取2()x x ϕ=，则在[1,0]-中满足收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟一解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ϕ=，在[0,1上满足收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟一解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原方程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ϕ==．满足收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟一解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６ 对于迭代函数2()(3)x x c x ϕ=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ϕ+=产生的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ϕ51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所示表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ϕ+=的迭代函数()x ϕ具有二阶连续导数，*x 是()x ϕ的不动点，且*()1x ϕ'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y xϕϕ+==⎧⎪=-⎨=-⎪-+⎩二阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ϕ=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ϕ为迭代函数的迭代法至少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有高阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第八章 矩阵特征值8.1 用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这里()1k λ表示1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 用反幂法求矩阵110242012A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的按模最小的特征值．知A 的按模较大的特征值的近似值为15λ=，用5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最小的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设方阵A 的特征值都是实数，且满足121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ而作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 用二分法求三对角对称方阵1221221221A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小特征值，使它至少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 用平面旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平行的向量．答案：203/2/00001010/0T ⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎝0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭8.6 若532644445A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后用QR 方法求A 的全部特征值．第九章 微分方程初值问题的数值解法9.1 用反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤⎧⎨=⎩，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-． 答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ⎧=+≤⎪⎨⎪=⎩的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位小数)．答案：用二阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈用二阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 用如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，小数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使二阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-⎧⎨=⎩为实常数绝对稳定，试求步长h 的大小应受到的限制条件． 答案：2h λ≤．9.5 用如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++⎧=+⎪⎪=++⎨⎪⎪==⎩，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '⎧=<≤⎨=⎩时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛． 答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式二步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能高，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时方法的局部截断误差阶最高，为五阶5()O h ．9.7 试用欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx⎧=-⎪⎪≤⎨⎪=+=⎪⎩，取步长0.1h =，小数点后至少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =⎧⎨=⎩ ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩ 220.604 820z 2.090 992y =⎧⎨=⎩ ， 22(0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩。