word 1 / 18 §13.3 垂直的判定与性质
考纲解读
考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017
1.线面垂直的判定与性质 1.线面垂直的证明
2.线面垂直的性质应用 B 16题
14分 解答题 ★★★
2.面面垂直的判定与性质 1.面面垂直的证明
2.面面垂直的性质应用 B 15题
14分 解答题 ★★★
分析解读 空间垂直问题是某某高考的热点内容,主要考查线面垂直和面面垂直的判定与性质运用,复习时要认真掌握解决垂直问题常用的方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.
五年高考
考点一 线面垂直的判定与性质
1.(2016某某理,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则以下说法正确的是.
①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n.
答案 ③
2.(2015某某,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
证明 (1)由题意知,E为B1C的中点,
又D为AB1的中点,因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C. word
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(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,
BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1,
所以BC1⊥AC.
因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,
因此BC1⊥B1C.
因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.
直线与平面垂直
文字语言
图形
符号
定义：
直线和平面内的每一条直线都垂直。
baab任意
直线与平面垂直的判定：
如果一条和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 ,mnmnAaaman
直线与平面垂直的判定：
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
//abab
平面与平面平行的性质：
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另外一个平面。
//aa
平面与平面垂直的性质：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
baaab
例题讲解
1.线面垂直
1．如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．
证明：
abAnmabaaba1111DCBAABCD1BDDAC平面2．如图，平行四边形ABCD中， CDBD，正方形ADEF和平面ABCD成直二面角，
（Ⅰ）求证：CDEBD平面；
2.线线垂直
3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点是的中点。
（Ⅰ）求证：
4．已知三棱柱ABC—A1B1C1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB1A1A和侧视图A1ACC1均为矩形，其中AA1=4。俯视图ΔA1B1C1中，B1C1=4，A1C1=3，A1B1=5，D是AB的中点。
（1）求证：AC⊥BC1；
ABCDPACABABCDPA面EPDPBACA
B C D E F
G
H 3.面面垂
1.如图，已知平面，平面，△为等边三角形，
，为的中点.平面； 求证：平面平面；
2. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，BD=2AD，将△ACD绕CD旋转至△A/CD，使二面角A/-CD-B为600。求证：平面CBA/⊥平面A/CD。
垂直问题
直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
a⊥αb⊥α⇒a∥b
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直
l⊂βl⊥α⇒α⊥β
性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α
1．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BCD＝90°．
求证：PC⊥BC；
2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，
PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
求证：(1)CD⊥AE；
(2)AE⊥平面PCD．
3.如图，在直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3．
证明：BE⊥平面BB1C1C
4.(2014·高考江苏卷) 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．
求证：平面BDE⊥平面ABC．
5.如图，已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD．
求证：平面AOC⊥平面BCD；
1
线面、面面垂直的判定与性质
知识回顾
1．直线与平面垂直的判定
（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α．
（2）判定定理
文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号表述： l⊥al⊥b
⇒l⊥α．
2．直线与平面垂直的性质
文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述： a⊥αb⊥α⇒ a∥b
3. 直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
4．平面与平面的垂直的判定
（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．
（2）面面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
符号表示： a⊥β
⇒α⊥β．
5．平面与平面垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．
6．二面角 2
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
二面角的平面角：
如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．
题型讲解
题型一
例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
答案：C
例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：A
例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
