1.在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5． （1）求cos ∠ADB ； （2）若DC =22，求BC ．
2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c =2且c cos A +b cos C =b . （1）判断△ABC 的形状； （2）若C =6
π
，求△ABC 的面积.
3.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；
（2）若2c =， △ABC 的面积为3，求该三角形的周长.
4.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知()sin sin sin a b A c C b B -=-． （1）求C ；
（2）若ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积的最大值．
5.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已解sin()
sin sin a b A B c b A B
-+=
-+ （1）求角A ；
（2）若a =1c b -=，求b 和c 的值
6.已知函数()2sin cos 222
x x x f x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值．
7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ()
cos 2cos C b A =. （1）求角A 的大小；
（2）若a =2，求△ABC 面积的最大值.
8.在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，BC 边上的中线AD m =，且满足
2224a bc m +=.
（1）求BAC ∠的大小；
（2）若2a =，求ABC ∆的周长的取值范围.
9.)2
cos 2,cos 1(),2sin 2,cos 1(x x b x x a +=-=已知.
（1）若sin 2)(x x f --+=,求)(x f 的表达式；
（2）若函数)(x f 和函数)(x g 的图象关于原点对称，求函数)(x g 的解析式； （3）若1)()()(+-=x f x g x h λ在⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-2,2ππ上是增函数，求实数λ的取值范围.
10.已知(3sin ,cos )a x m x =+r ，(cos ,cos )b x m x =-+r , 且()f x a b =v v
g
（1）求函数()f x 的解析式; （2）当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.
11.△ABC 的内角为A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos sin sin cos a b c
C B B C
=+
． （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值； （2）若2b =，当△ABC 的面积最大时，△ABC 的周长；
12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
3
cos 3
b A a
c +
=． （1）求cos B ；
（2）如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，
2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，6BC =，求AB 的长．
【试卷答案】
1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得
sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠.
由题设知，52
sin 45sin ADB
=
︒∠，所以sin 5ADB ∠=.
由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5
ADB ∠==
（2）由题设及（1）知，cos sin BDC
ADB ∠=∠=
在BCD △中，由余弦定理得222
2cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠
258255
=+-⨯⨯25=.所以5BC =.
2.（Ⅰ）因为cos cos c A b C b +=，由正弦定理，得
()sin cos sin 1cos C A B C =-，
即sin sin cos sin cos B C A B C =+＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，…4分
所以sin cos sin cos B C
A C =，故cos 0C =或sin sin A
B =．…5分
当cos 0C =时，2
C π
=，故ABC △为直角三角形；
当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．…7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，…9分
因为6C π=，所以由余弦定理，得222
42cos 6
a a a π=+-，
解得2
8a =+，…12分所以ABC △的面积21sin 226
S a π==…14分
3.（1）在△ABC 中，由正弦定理知sin sin sin a b c
A B C
==
R 2= 又因为
()2cos cos a b C c B -⋅=⋅
所以2sin sin cos AcosC BcosC BsinC =+，即2sin cos sin A C A = ……………… 4分
∵π<A ∴1
cos 2
C = ∵0C π<< ∴3C π= ……………… 8分
（2）∵1
sin 2
ABC S ab C ∆==∴4ab = ……………… 10分
又()2222
23c a b abcosC a b ab =+-=+-
∴
()
2
16a b += ∴4a b +=∴周长为6.
4.【试题简析】解：（Ⅰ）由正弦定理结合已知条件可得()22a a b c b -=-， 2分
所以2
22a
b c ab +-=， ........................................................................... 3分
所以2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===， ............................................................ 5分
又0πC <<，所以π
3
C =． ...................................................................... 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得222a b c ab +-=，所以()2222
3c a b ab a b ab =+-=+-， .................... 7分
