高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量

第一讲 向量的概念与线性运算

一.【要点精讲】

1.向量的概念

①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法ABuuur,a;坐标表示法),(yxjyixa。

向量的模(长度),记作|ABuuur|、即向量的大小,记作｜a|。

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小、

②零向量:长度为0的向量,记为0,其方向就是任意的,规定0r平行于任何向量。(与0的区别)

③单位向量｜0a｜＝1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a∥b

⑤相等向量记为ba。大小相等,方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx

2.向量的运算

(1)向量加法:求两个向量与的运算叫做向量的加法、

如图,已知向量a,b,在平面内任取一点A,作ABuuura,BCuuurb,则向量AC叫做a与b的与,记作a+b,即 a+bABBCACuuuruuuruuur

特殊情况:ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAA

aabbbabaAABBCC)2()3(

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:

ABBCCDPQQRARuuuruuuruuuruuuruuuruuurL,但这时必须“首尾相连”。 高一数学平面向量知识点及典型例题解析

②向量减法: 同一个图中画出ababrrrr、

要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

(1)用平行四边形法则时,两个已知向量就是要共始点的,与向量就是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量就是另一条对角线,方向就是从减向量指向被减向量。

(2) 三角形法则的特点就是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的与;差向量就是从减向量的终点指向被减向量的终点、

(3)实数与向量的积

3.两个向量共线定理:向量b与非零向量a共线有且只有一个实数,使得b=a。

二.【典例解析】

题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念

例1判断下列各命题就是否正确

(1)零向量没有方向 (2)若baba则,

(3)单位向量都相等 (4) 向量就就是有向线段

(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若ba,cb,则ca;

(7)若ba//,cb//,则ca//

(8) ba的充要条件就是||||ba且ba//;

(9) 若四边形ABCD就是平行四边形,则DABCCDB,A

练习、 (四川省成都市一诊)在四边形ABCD中,“AB→＝2DC→”就是“四边形ABCD为梯形”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律

例2 化简)()(BDACCDAB=

练习1、下列命题中正确的就是

A.OAOBABuuuruuuruuur B.0ABBAuuuruuur

C.00ABruuurr D.ABBCCDADuuuruuuruuuruuur

2、化简ACuuurBDuuurCDuuurABuuur得

A.ABuuur B.DA C.BC D.0r

3.如图,D、E、F分别就是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则( ) 高一数学平面向量知识点及典型例题解析

A、AD→＋BE→＋CF→＝0 B、BD→－CF→＋DF→＝0

C、AD→＋CE→－CF→＝0 D、BD→－BE→－FC→＝0

题型三: 结合图型考查向量加、减法

例3在ABC所在的平面上有一点P,满足PAPBPCABuuuruuuruuuruuur,则PBC与ABC的面积之比就是( )

A.13 B.12 C.23 D.34

例4重心、垂心、外心性质

练习: 1.如图,在ΔABC中,D、E为边AB的两个三等分点,CA→ =3a,CB→ =2b,求CD→ ,CE→ .

2已知ababrrrr=求证abrr

3若O为ABC的内心,且满足()(2)0OBOCOBOCOAuuuruuuruuuruuuruuur,则ABC的形状为( )

A、等腰三角形 B、正三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

4.已知O、A、B就是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2AC→＋CB→＝0,则OC→＝( )

A.2OA→－OB→ B.－OA→＋2OB→ C、23OA→－13OB→ D.－13OA→＋23OB→

5.已知平面上不共线的四点O,A,B,C、若OA→－3OB→＋2OC→＝0,则|AB→||BC→|等于________.

6.已知平面内有一点P及一个△ABC,若PA→＋PB→＋PC→＝AB→,则( )

A.点P在△ABC外部 B.点P在线段AB上 C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上

7.在△ABC中,已知D就是AB边上一点,若AD→＝2DB→,CD→＝13CA→＋λCB→,则λ等于( )

A、23 B、13 C.－13 D.－23 A

B C D

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题型四: 三点共线问题

例4 设21,ee就是不共线的向量,已知向量2121212,3,2eeCDeeCBekeAB,若A,B,D三点共线,求k的值

例5已知A、B、C、P为平面内四点, A、B、C三点在一条直线上 PC→ =mPA→ +nPB→ ,求证: m+n=1.

练习:1.已知:2121212CD ,BC ),(3eeeeeeAB,则下列关系一定成立的就是( )

A、A,B,C三点共线 B、A,B,D三点共线

C、C,A,D三点共线 D、B,C,D三点共线

2.(原创题)设a,b就是两个不共线的向量,若AB→＝2a＋kb,CB→＝a＋b,CD→＝2a－b,且A,B,D三点共线,则实数k的值等于________.

第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示

一.【要点精讲】

1.平面向量的基本定理

如果21,ee就是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数21,使:2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底、

2.平面向量的坐标表示

如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的_单位向量_ ir、jr作为基底任作一个向量ar,有且只有一对实数x、y,使得axiyjr…………○1,把),(yx叫做向量ar的(直角)坐标,记作(,)axyr…………○2其中x叫做ar在x轴上的坐标,y叫做ar在y轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示

与ar相等的向量的坐标也为),(yx特别地,(1,0)ir,(0,1)jr,0(0,0)r

特别提醒:设yjxiOA,则向量OA的坐标),(yx就就是点A的坐标;反过来,点A的坐标),(yx也就就是向量OA的坐标因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示

3.平面向量的坐标运算 高一数学平面向量知识点及典型例题解析

B

C A

O M

D (1)若11(,)axyr,22(,)bxyr,则abrr=1212(,)xxyy,abrr= 1212(,)xxyy

(2) 若),(11yxA,),(22yxB,则ABuuur (3)若(,)axyr与实数,则ar(,)xy

4.向量平行的充要条件的坐标表示:设a=(x1, y1) ,b=(x2, y2) 其中ba

a∥b (b0)的充要条件就是12210xyxy

二.【典例解析】

题型一、

利用一组基底表示平面内的任一向量

[例1] 在△OAB中,OBODOAOC21,41,AD与BC交于点M,

设OA=ar,OB=br,用ar,br表示OM、

练习:1.若已知1e、2e就是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组就是

(

)

A.1e与—2e B.31e与22e C.1e＋2e与1e—2e D.1e与21e

2.在平行四边形ABCD中,E与F分别就是边CD与BC的中点,若AC→＝λAE→＋μAF→,其中λ、μ∈R,则λ＋μ＝________、

题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算

例3 已知A(—2,4)、B(3,—1)、C(—3,—4)且CACM3,CBCN2,求点M、N的坐标及向量MN的坐标、

练习:1、 (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(－1,－2),C(3,1),且BC→＝2AD→,则顶点D的坐标为(

)

A.(2,72) B.(2,－12) C.(3,2) D.(1,3)

2.若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MPuuurMN, 求P点的坐标; 高一数学平面向量知识点及典型例题解析

3.若M(3, -2) N(-5, -1),点P在MN的延长线上,且 12MPMNuuuruuuur,

求P点的坐标;

4、(2009年广东卷文)已知平面向量a=,1x（） ,b=2,xx（－）, 则向量ab ( )

A平行于x轴 B、平行于第一、三象限的角平分线

C、平行于y轴 D、平行于第二、四象限的角平分线

5.在三角形ABC中,已知A(2,3),B(8,－4),点G(2,－1)在中线AD上,且AG→＝2GD→,

则点C的坐标就是( )

A.(－4,2) B.(－4,－2) C.(4,－2) D.(4,2)

6.设向量a＝(1,－3),b＝(－2,4),c＝(－1,－2),若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为( )