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新版北师大8下数学教案(导学案)--第四章 分解因式

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北师大版 八年级数学下册教学案

第 1 页 共 17 页 第四章 分解因式

§2.1 分解因式

知识与技能目标：

1. 使学生了解因式分解的意义。

2. 知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。

过程与方法目标：

1. 通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。

2. 培养学生的观察能力和语言概括能力。

情感态度与价值观目标：

1. 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系。

2. 让学生了解事物间的因果联系

教学重点

1.理解因式分解的意义;

2.识别分解因式与整式乘法的关系.

教学难点

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.

教学方法

师生共同讨论法.

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.

教具准备

有两个边长为1的正方形，剪刀.

投影片两张：

第一张：做一做(记作§2.1.1A);

第二张：补充练习(记作§2.1.1B).

教学过程 北师大版 八年级数学下册教学案

第 2 页 共 17 页 Ⅰ.创设问题情境,引入新课

计算(a+b)(a-b)=a2-b2.

这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子(a+b)(a-b)=a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢?即a2-b2=(a+b)(a-b)是否成立呢?

a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢?这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.

Ⅱ.讲授新课

1.讨论993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流.

93-99能被100整除.因为993-99=99×992-99=99×(992-1)=99×9800=99×98×100，其中有一个因数为100，所以993-99能被100整除.

993-99还能被哪些正整数整除?(99，98，980，990，9702)

从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.

2.议一议

你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗?与同伴交流.

大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式.

a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)

3.做一做

(1)计算下列各式：

①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________;

③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________;

⑤a(a+1)(a-1)=__________.

(2)根据上面的算式填空：

①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( );

③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2.

⑤a3-a=( )( ).

能分析一下两个题中的形式变换吗?

在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解. 北师大版 八年级数学下册教学案

第 3 页 共 17 页 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

4.想一想

由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同?你还能举一些类似的例子加以说明吗?

总结一下：

联系：等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式.

区别：等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

5.例题

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解?

(1)4a(a+2b)=4a2+8ab;(2)6ax-3ax2=3ax(2-x);

(3)a2-4=(a+2)(a-2);(4)x2-3x+2=x(x-3)+2.

Ⅲ.课堂练习

Ⅳ.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式;还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.

Ⅴ.课后作业

见作业本

六、活动与探究

已知a=2，b=3，c=5，求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.

VI板书设计

§2.1 分解因式

一、1.讨论993-99能被100整除吗?

2.议一议 3.做一做

4.想一想 5.例题讲解

二、课堂练习

三、课时小结 北师大版 八年级数学下册教学案

第 4 页 共 17 页 §2.2.1 提公因式法(一)

知识与技能目标：

1. 让学生了解多项式公因式的意义。

2. 初步会用提公因式法分解因式。

过程与方法目标：

1.通过找公因式，培养学生的观察能力。

情感态度与价值观目标：

1. 在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性。

2. 让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识。

3. 还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.

教学重点

能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.

教学难点

让学生识别多项式的公因式

教学方法

师生共同讨论法.

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果

教具准备

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

一块场地由三个矩形组成，矩形的长分别为 ， ， ，宽都是 ，求这块场地的面积.

从两种不同的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.

Ⅱ.讲授新课

1.公因式与提公因式法分解因式的概念. 北师大版 八年级数学下册教学案

第 5 页 共 17 页 若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc，或m(a+b+c)，可以用等号来连接.

从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么特点?

由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.

由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式(a+b+c)，作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2.例题讲解

例1 将下列各式分解因式：

(1)3x+6; (2)7x2-21x; (3)8a3b2-12ab3c+abc; (4)-24x3-12x2+28x.

分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.

3.议一议

通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.

首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如(3)中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最低的.

4.想一想

从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系?

提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.

Ⅲ.课堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.

(1)ma+mb; (2)4kx-8ky; (3)5y3+20y2; (4)a2b-2ab2+ab。

2.把下列各式分解因式

(1)8x-72=8(x-9)(2)a2b-5ab=ab(a-5)

(3)4m3-6m2=2m2(2m-3)(4)a2b-5ab+9b=b(a2-5a+9)

(5)-a2+ab-ac=-(a2-ab+ac)=-a(a-b+c)

(6)-2x3+4x2-2x=-(2x3-4x2+2x)=-2x(x2-2x+1) 北师大版 八年级数学下册教学案

第 6 页 共 17 页 3.把3x2-6xy+x分解因式。 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1)。

将x写成x•1，这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.

Ⅳ.课时小结

1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m(a+b+c).

这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.

2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.

3.找公因式的一般步骤

(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数;

(2)取相同的字母，字母的指数取较低的;

(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

(4)所有这些因式的乘积即为公因式.

4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.

5.公因式相差符号的，如(x-y)与(y-x)要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.

Ⅴ.课后作业

利用分解因式计算：(1)32004-32003; (2)(-2)101+(-2)100.

VI板书设计

§2.2.1 提公因式法(一)

一、1.公因式与提公因式法分解因式的概念

2.例题讲解(例1)

3.议一议(找公因式的一般步骤)4.想一想

二、课堂练习(1.随堂练习，2.补充练习)

三、课时小结

北师大版 八年级数学下册教学案

第 7 页 共 17 页 §2.2.2 提公因式法(二)

知识与技能目标：

1.进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。

过程与方法目标：

1.进一步培养学生的观察能力和类比推理能力。

情感态度与价值观目标：

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.

教学重点

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.

教学难点

准确找出公因式，并能正确进行分解因式.

教学方法

师生共同讨论法.

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.

教具准备

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.

Ⅱ.讲授新课

1.例题讲解

例2 把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.

合集下载

八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义(新版)北师大版

八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义(新版)北师大版

1 因式分解

因式分解在整个初中学习中占有很重要的地位，它是解方程与不等式的基础，更是很多综合题目的重点，因此，今天和大家分享如何啃下因式分解这个骨头。

【基础知识查漏补缺】

首先我们关于因式分解的基础知识一定要了然于胸，否则一切都是空谈。基础知识有：

1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式。

因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形；

因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。

2. 整式乘法的特点：

单项式乘以多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc；

多项式乘以多项式：（m+n）(a+b)=ma+mb+na+na，特殊情况（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab

【因式分解的基础方法】

1.提取公因式法

顾名思义，就是将多项式中各项相同的因式（公因式）提取出来，例如（x+1）a+（x+1）b-（x+1）c=（x+1）（a+b-c）；

判据（多项式具备什么特征选取这个方法）：多项式的每一项有相同的因式；

2.公式法

说白了，就是套公式；

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,主要就是这两个公

判据：多项式的项数为2或3项

3.十字相乘法

就是类似形式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);

判据： a）多项式的项数为3项；

b）看常数项分解成两个数乘积后，这两个数相加是否等于x项前面的系数；

举例如下图：

2

4.分组分解法

简而言之，就是将多项式分成二或三组，分别分解，在提取公因式，如xy-x-y+1=(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1);

判据：多项式项数在4项或以上

注意：一定要理解并记住每一种方法的判据，它是我们确定解题方法的关键！

【解题思路】

当我们拿到一道因式分解题目的时候，有这么多方法，我们到底选哪一种呢?

注意，这里我们千万不能碰运气式的随机尝试方法，我们选取方法是有先后顺序的，如下图：

北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)

北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)

因式分解的四种方法（讲义）

➢ 课前预习

1. 平方差公式：___________________________；

完全平方公式：_________________________；

_________________________．

2. 探索新知：

（1）39999能被100整除吗？

小明是这样做的：

3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100

所以39999能被100整除．

（2）38989能被90整除吗？你是怎样想的？

（3）3mm能被哪些整式整除？

➢ 知识点睛

1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．

2. 因式分解的四种方法

（1）提公因式法

需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．

（2）公式法

两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．

（3）分组分解法

如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．

（4）十字相乘法

十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()xpqxpqxpxq

因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；

➢ 精讲精练

1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．

①222233xyxy； ②2(3)(3)9aaa；

③22+1()()1ababab； ④222()mRmrmRr；

八年级数学下册《第四章因式分解》教案(新版)北师大版

八年级数学下册《第四章因式分解》教案(新版)北师大版

第四章 因式分解

教学目的：

（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；

（2）提高学生因式分解的基本运算技能；

（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．

（4）通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

教学重点：提高学生因式分解的基本运算技能；能熟练地综合运用几种因式分解方法．

教学难点：提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

教学过程：

知识点一：对分解因式概念的理解例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。

A.

B.

C.

D.

知识点二：利用提公因式法分解因式

例2.把下列各式分解因式

⑴

⑵

知识点三：利用公式法分解因式

例3.把下列各式分解因式

⑴

⑵

⑶

⑷

练一练：把下列各式分解因式

（1）（a2+4）2–16a2

（2）

知识点四：综合运用多种方法分解因式

例4.把下列各式分解因式

⑴

⑵

⑶

⑷

知识点五：运用分解因式进行计算和求值

例5.利用分解因式计算：

⑴

⑵

⑶（–2）101+（–2）100

例6．已知 ，求 的值。

例7.已知x+y=1，求的值．

例8.计算下列各式：

你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：

知识点六：分解因式的实际应用

例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．

（1）用代数式表示剩余部分的面积；

（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积． 练一练：

1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。

2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？

新北师大版数学八下第四章 因式分解教案

新北师大版数学八下第四章 因式分解教案

1 第四章 因式分解

4.1 因式分解

教学目标：

知识与技能：

使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。

过程与方法：

认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。

情感与态度：

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

重点：因式分解的概念

难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法

教学过程：

第一环节 复习回顾：

下题简便运算怎样进行

问题1：736×95+736×5 问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67

第二环节 比较探究：

问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)

∴993-99能被99整除

(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）

2 = 99（99+1）（99-1）

= 99×98×100

所以993-99能被100整除

想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？

（2）请你说明小明每一步的依据。

（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？

（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）

小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。