固定效应模型估计方法

固定效应模型的估计方法给定个体i ，将方程两边对时间平均：将原方程减去上式：定义：i i i i iy x z u βδε''=+++()()it i it i i it i y y x x βεε'−=−+−，，it i y y y ≡−it i x x x ≡−it iεεε≡−得到：it it ity x βε=+上式已经消去了个体异质性u i ，只要与不相关，用OLS 就可以得到β的一致估计量，称为“固定效应估计量”（Fixed effects Estimator ），记为。

由于使用了每个个体的组内离差信息，也称为“组内估计量”。

it x it εˆFEβˆFEβ固定效应模型，是最常用的面板数据模型，特别是在宏观经济分析中。

12 3主要使用了每个个体的组内离差信息，因此也称“组内估计量(within estimator)ˆFEβ但是，在作离差转换时，也被消掉了，无法估计δ，故FE无法估计不随时间而变的变量z的影响，这是固定效应模型的一大缺点。

izδ'即使个体特征ui与解释变量xit相关，组内估计量也满足一致性，这是面板数据的一大优势！ˆFEβ为保证与不相关，要求第i 个观测值满足严格外生性，也即，，因为中包含了所有的信息()it i εε−()it i x x −1(,,)0it i iT E x x ε=i x 1(,,)i iT x x it ε也即，扰动项须与各期解释变量均不相关(不仅仅是当期解释变量)这个假定比较严格最小二乘虚拟变量（Least Square Dummy Variable, LSDV ）•在原方程中引入(n-1)个虚拟变量来代表不同的个体•LSDV 方法得到与相同的估计结果ˆFE上述固定效应模型没有考虑时间效应，被称为“单向固定效应”（One-way FE ），引入时间固定效应，可解决不随个体而变(individal invariant)但随时间而变(time varying)的遗漏变量问题，称为“双向固定效应（Two-way FE)。

模型设为：it iti t i it y x z S u βδγε''=++++t t S λγ≡S t 是不可观测的时间趋势项。

定义，则：it iti t i it y x z u βδλε''=++++（Time Fixed Effects ）:λt 可视为第t 期时间趋势对y 的影响时间固定效应这个模型同时考虑了个体固定效应u i 和时间固定效应λt 所以称为双向固定效应模型（Two-way Fixed Effect Model ）可使用LSDV 法，通过定义（T-1）个时间虚拟变量来对模型进行估计：其中，时间虚拟变量D 2t =1，当t =2；D 2t =0，当t ≠2；以此类推。

22it it i t T t i ity x z D DT u βδγγε''=++++++双向固定效应是双重差分模型的基础LSDV 需要设置很多虚拟变量，有可能超出模型和软件所允许的解释变量个数，为节省参数、简化运算，可引入时间趋势项，替代（T-1）个时间虚拟变量：也即，我们视每个时期的时间效应相等，每期均增加γit iti i it y x z t u βδγε''=++++个体异质性还可能表现为个体的不同时间趋势：γit为个体时间趋势it it i i i ity x z t uβδγε''=++++称此模型为随机趋势模型（Random Trend Model）3.时间个体效应*对方程两边做一阶差分，可去掉u i ：从而在形式上回复到标准的个体效应模型。

it iti it y x βγε'∆=∆++∆如果γi 与解释变量不相关，可视为随机效应模型；it x ∆如果γi 与解释变量相关，可用固定效应模型的FE （组内法）或者FD 法进行估计itx ∆《经济研究》2014年第4期产业结构、城市规模与中国城市生产率*柯善咨赵曜内容提要：本文分析产业结构和城市规模对我国城市经济效益的协同影响机制，估计与产业结构相适应的最优城市规模以及在城市规模约束下产业结构转变的边际效益。

使用地级及以上城市面板数据的计算估计显示，生产性服务业—制造业结构对生产率的影响取决于城市规模，城市需要达到一定的门槛规模方能从上下游产业关联中获得效益。

随着城市规模的增大，城市经济效益发生先增长后下降的倒U型变化……《经济研究》2014年第4期检验产业结构和城市规模协同效应的计量模型如下：为保持统计口径的一致性，本文使用2003-2008年除拉萨外286个地级及以上城市数据。

个别城市数据缺失，实际样本记录为1688组。

主要数据来源于各年《中国城市统计年鉴》。

价格指数数据来源于各年《中国统计年鉴》，因为没有分城市的价格指数，所以以各省的相关指数替代。

201234567ln ln (ln )ln ln ln ln i i i i i i i i i iN N N q u ϕββββμβμβεβτβ=++++++++《经济研究》2014年第4期变量意义变量意义pgdp市辖区人均GDP（元/人）ε市辖区零售额占全国比例k市辖区人均资本存量（万元/人）rw人均铁路运量（万吨/万人）fdi市辖区人均FDI存量（万元/人）hw人均公路运量（万吨/万人）cstu市辖区每万人大学生数（人）boat人均水路运量（万吨/万人）N市辖区年末总人口（万人）air人均航空运量（万吨/万人）n市辖区年末非农业人口（万人）str市辖区人均城市道路面积（m2）μ生产服务业—制造业就业比bus市辖区每万人公共汽车数（辆）变量意义变量意义pgdp 市辖区人均GDP （元/人）ε市辖区零售额占全国比例k 市辖区人均资本存量（万元/人）rw 人均铁路运量（万吨/万人）fdi 市辖区人均FDI 存量（万元/人）hw 人均公路运量（万吨/万人）cstu市辖区每万人大学生数（人）boat 人均水路运量（万吨/万人）N市辖区年末总人口（万人）air 人均航空运量（万吨/万人）n 市辖区年末非农业人口（万人）str 市辖区人均城市道路面积（m 2）μ生产服务业—制造业就业比bus 市辖区每万人公共汽车数（辆）我们使用随机效应模型中的Hausman 检验确定面板模型设置。

以市辖区总人口和市辖区非农业人口作为城市规模的两方程的Hausman 检验都在1%的显著性水平下拒绝了个体效应与解释变量不相关的零假设。

因此，本文使用固定效应模型控制城市个体效应，保证参数估计的一致性。

表2报告两个固定效应模型的参数估计。

①表2 2003—2008年城市经济效率面板数据固定效应回归结果变量回归方程Ⅰ，被解释变量lnpgdp 回归方程Ⅱ，被解释变量lnpgdp参数估计标准误差t 值P>|t|参数估计标准误差t 值P>|t|μN 0.03080.0147 2.100.036μln n 0.03400.0083 4.070.000ln g 0.04470.0283 1.580.1150.06620.0285 2.330.020ln rw 0.00350.0029 1.220.2240.00620.0029 2.160.031hw 0.05660.0149 3.800.0000.05790.0150 3.850.000ln boat -0.00230.0041-0.570.571-0.00060.0041-0.130.894ln air 0.00620.0025 2.520.0120.00600.0025 2.400.017R 2和样本R 2=0.6988 样本数=1688R 2=0.6940 样本数=1688注：实际计算中使用去均值（mean-differenced ）数据控制固定效应，所得的R 2是within R2 。

下同。

ln k 0.53380.021624.660.0000.50180.023121.680.000ln fdi 0.07200.00917.880.0000.07990.00918.75ln cstu0.06440.0139 4.630.0000.06220.0141 4.430.000str0.03230.01641.970.0490.02140.01651.300.194ln bus0.05530.0181 3.050.0020.03490.0180 1.930.054ln N1.27680.2945 4.340.000(ln N )2-0.10250.0323-3.180.002ln n 0.94250.2317 4.070.000(ln n )2-0.09010.0276-3.260.001μ-0.11620.0560-2.080.038-0.08650.0215-4.030.000《经济研究》2014年第4期方程Ⅰ和方程Ⅱ的估计结果都与理论预期高度相似。

首先，扼要说明控制变量参数估计。

国内资本、FDI和人力资本的参数估计均显著为正，意味着物质资本投资仍然是我国城市经济发展的主要。

《经济研究》2014年第4期我们重点考察城市规模和生产服务业—制造业比对城市经济效率的作用。

方程Ⅰ和Ⅱ中所有人口规模和产业结构指标的参数估计不仅显著，而且比较稳健。

由于方程中有几个相关变量，它们对城市经济效率的综合作用表现得比较复杂。

为了更直观地认识生产性服务业—制造业比（μ）和城市规模（ln n）对城市生产率（ln pgdp）的非线性协同作用，首先根据方程Ⅱ的参数估计绘制三变量曲面图，见图4。

其它的解释变量只影响方程的截距，因而可以从图中略去。

易于看出，ln pgdp随μ值的变化而变化，如果城市规模ln n很小，ln pgdp随μ值的增大（向图面左方）而下降，但是当ln n较大时，ln pgdp随μ值的增大而上升。

在另一维度，给定一个μ值，ln pgdp随ln n的增长呈倒U型变化，而且，倒U型曲线顶部所代表的城市最优规模随μ值的增大而上升。

《经济研究》2014年第4期图4 中国城市产业结构-城市规模协同效应回归拟合曲面24601232468ln n μ。