实用文档之北师大版八年级下册数学第一章测试题

图1图2图3图4 图5图6图7八年级数学下册第一章综合测试卷-北师大版（含答案）一、填空题1. 如图1，等边△ABC 的周长是9，D 是AC 边上的中点，E 在BC 的延长线上．若DE= BD,则CE 的长为_ ．2.下列命题是真命题的是_________.①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形． ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形． ④三个外角都相等的三角形是等边三角形．3.如图2，△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为_____三角形.4.如图3，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若BC =4，则BE+ BF=____________．5. 如图4，已知AB ＝AC ＝BC ＝AD,則∠BDC ＝_________.6. 如图5，已知ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，垂足为E ，若DE ＝2cm ，则BC ＝_____cm .7.如图6所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，则BD ＝ ，CE ＝ ．8.利用反证法证明：垂直于同一条直线的两条直线平行。

第一步应先假设： 。

二、选择题1． 如图7，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC=35°，则∠ADB 的度数为( )A ．25°B ．60°C ．85°D ．95°2．下列每组三角形中，不一定全等的是（ ） A.有一个角是60°且腰长相等的两个等腰三角形 B.周长相等的两个等边三角形C.有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形图8图9图10图11D.有两条边分别相等的两个等腰三角形3.以下叙述中不正确的是( )．A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C．等腰三角形一定是锐角三角形；D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．4.△ABC中三边为a、b、c，满足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝0，则这个三角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形5.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°6.如图8，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．127.如图9,给出下列四组条件：①AB=DE, BC=EF, AC=DF; ②AB=DE,∠B=∠E, BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF, ∠C=∠F;④AB=DE, AC=DF,∠B=∠E;其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组8.如图10所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论不一定正确的是（）A.∠1=∠2B.BD=CDC.∠B=∠CD.AB=2BD9.如图11所示，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A.45°B.55°C.60°D.75°10．已知点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，OP=10cm，那么点P到边OA，OB的距离分别是（）A．5cm、53cm B．5cm、5cm C．4cm、5cm D．5cm、10cm三、解答题1．如图12．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．图12图13图15 图14（1）试判定△ODE 的形状，并说明理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．2.如图13等边△ABC ，P 为BC 上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，如图，当P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状.3. 如图14，已知B 、C 、E 三点共线，，都是等边三角形，连结AE 、BD 分别交CD 、AC 于N 、M ，连接MN. 求证：AE ＝BD ，MN ∥BE.4、如图15所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．ABC ∆DCE ∆5. 如图16，已知点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC.(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=6，AC=10，求DC的长；(3)若BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，且FD∥BC交AC于点D，连接FC，则△DFC是什么三角形？为什么？图166.如图17，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．（1）求点B的坐标；（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．图17参考答案第一章一、填空题1. 2. ①④ 3. 等边4. 2 5. 150° 6. 12 7. 5、4 8.略二、选择题1. Ｄ2. Ｄ3. Ｃ4. Ｂ5.Ｂ．6.Ｃ7.Ｃ8.Ｄ9.Ｃ10.Ｂ 三、解答题1. （1）△ODE 是等边三角形，其理由是：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°∴△ODE 是等边三角形； （2）答：BD ＝DE ＝EC ，理由：∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝∠OBD ＝30°，∵OD ∥AB ，∴∠BOD ＝∠ABO ＝30°，∴∠DBO ＝∠DOB ，∴DB ＝DO ， 同理，EC ＝EO ，∵DE ＝OD ＝OE ，∴BD ＝DE ＝EC ．2. 解：∵PE ⊥AB ，∠B ＝60°， 因此直角三角形PEB 中，BE ＝BP ＝BC ＝PC ，∴∠BPE ＝30°，∵∠EPF ＝60°， ∴FP ⊥BC ，∵∠B ＝∠C ＝60°，BE ＝PC ，∠PEB ＝∠FPC ＝90°，∴△BEP ≌△CPF ，∴PE ＝PF ，∵∠EPF ＝60°，3. 证明：，都是等边三角形 ∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠1＝∠3＝60° ∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠2＝60°∴∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴BD ＝AE （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） ∴△BMC ≌△ANC （ASA ）∴MC ＝NC （全等三角形对应边相等） ∵∠2＝60°∴△MCN 是等边三角形∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1 ∴MN ∥BE （内错角相等，两直线平行）4．证明：∵ △ABC 为等边三角形， ∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴ ∠BPQ ＝60°． ∵ BQ ⊥AD ，∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴ BP ＝2PQ ． 5.（1）证明：∵ ∠AEB=∠ABC ， 且∠AEB=∠EBC ＋∠C ，∠ABC=∠EBC ＋∠ABE ， ∴ ∠321213ABC ∆DCE ∆ ECA BCD ∠=∠54∠=∠EBC＋∠C＝∠EBC＋∠ABE，∴∠ABE＝∠C；（2）解：∵∠BAE的平分线AF交BE于F，∴∠BAF＝∠DAF，∵FD∥BC交AC于D，∴∠ADF＝∠C，∵∠ABE＝∠C，∴∠ADF＝∠ABE，即∠ADF＝∠ABF，∵AF＝AF，∴△BAF≌△DAF，∴AD＝AB＝6,∴DC＝AC－AD＝10－6＝4.（3）解：△DFC是等腰三角形.理由是：过点F分别作FH⊥AB，FN⊥BC，FM⊥AC，易证：△AFH≌△AFM（AAS），从而知FH＝FM，△BFH≌△BFM（AAS），从而知FH＝FN，∴FM＝FN，又FC＝FC，可证Rt△CFM≌Rt△CFN（HL）∴∠MCF＝∠NCF，∵FD∥BC，∴∠DFC＝∠BCF，∴∠DFC＝∠MCF，∴DF＝DC，∴△DFC是等腰三角形.6（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，∵△AOB为等边三角形，且OA=2，∴∠AOB=60°，OB=OA=2，∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，∴BC=OB=1，OC=，∴点B的坐标为B（，1）；（2）∠ABQ=90°，始终不变．（3）∵△APQ、△AOB均为等边三角形，∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，∴∠PAO=∠QAB，∴△APO≌△AQB，∴∠ABQ=∠AOP=90°；（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．OB=OA=2，BQ=，由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，∴此时P的坐标为（﹣，0）．。

第一章测试卷（考试时间：90分钟满分：100分）1.下列命题不正确的是( )A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形2.如图1所示,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠CBD的度数是( )图1A.20°B.30°C.35°D.40°3.如图2,在△ABC中,∠B=∠C,AD为△ABC的中线,那么下列结论错误的是( )图2A.△ABD≌△ACDB.AD为△ABC的高线C.AD为△ABC的角平分线D.△ABC是等边三角形4.如图3,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )图3A.B.2C.3D.25.如图4所示,B,C,D,E在同一条直线上,且BC=AC=AD=DE,则图中的等腰三角形共有( )图4A.3个B.4个C.5个D.6个6.如图5所示,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC的度数为( )图5A.15°B.50°C.65°D.80°7.如图6所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,DE⊥AC于点E,若CE=1,则AB等于( )图6A.2B.2C.3D.48.如图7所示,已知AC=AD,BC=BD,给出以下结论:①△ACD与△BCD都是等腰三角形;②AB是∠CAD和∠CBD的平分线;③AB⊥CD,且AB平分CD;④图中有三对全等三角形.其中判断正确的是( )图7A.①B.①②C.①②④D.①②③④9.如图8,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是.图810.已知两条线段的长为10cm和24cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.11.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,且BD=BE,∠BAC=72°,则∠DEC=.图912.如图10所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,若AD⊥BC,D为垂足,CD=1,则AB=.图1013.如图11所示,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分线交BC于点D,E,BC=6cm,则∠DAE的度数为,△ADE的周长为cm.图1114.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.15.如图12,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.图1216.用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角.17.如图13所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC 的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的角平分线上.图1318.某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图14所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路),现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离相等.(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图中画出你的设计方案;(2)阐述你设计的理由.图1419.如图15,已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,求∠A的度数.图1520.如图16,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.图16参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.AC=DE10.26或者11.103.5︒12.213.20︒ 614.4：315.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°.∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠BAD.16.解:已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B和∠C都是锐角.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.假设∠B和∠C不都是锐角,则∠B=∠C≥90°.∴∠B+∠C≥180°,∴∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以假设不成立.故∠B和∠C都是锐角.17.证明:连接BE,∵ED⊥BC,∴∠BDE=∠A=90°.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).∴∠ABE=∠DBE.∴点E在∠ABC的角平分线上.18.解:(1)仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点上.作图如图所示,点P 即为所求的位置.(2)理由为:角平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 19.解:连接BE , ∵△ABC 是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=180.①∵DE 是线段AB 的垂直平分线, ∴AE=BE , ∴∠A=∠ABE.∵CE 的垂直平分线正好过点B ,与AC 相交于点F ,可知△BCE 是等腰三角形, ∴BF 是∠EBC 的平分线,∴(∠ABC-∠A )+∠C=90°,即(∠C-∠A )+∠C=90°.②由①②联立,得∠A=36°.故∠A=36°. 20.(1)证明:∵在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB , ∴CD=DE ,∠AED=∠C=90°,∠CAD=∠EAD.在△ACD 和△AED 中,∴△ACD ≌△AED ,∴AC=AE.(2)解:∵DE ⊥AB ,点E 为AB 的中点, ∴AD=BD ,∴∠B=∠DAB=∠CAD. ∵∠C=90°, ∴3∠B=90°,∴∠B=30°.∵CD=DE=4,∠DEB=90°,∴BD=2DE=8,=4.由勾股定理,得BE=8。

第一章三角形的证明1.1 全等三角形和等腰三角形的性质1．如图所示，BA⊥CA，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD，则△ABC≌，理由是，所以∠ABC＝，∠ACB＝，由此可知BC与DE的位置关系为．2．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ .3. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为 .4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为 .5．如图，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°则∠ACE的度数是 .6. 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD7. 如图所示为农村居民住宅侧面截面图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为长方形．若测得∠FAG＝110°，则∠FBD等于( )A．35° B．40° C．55° D．70°8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC9．若实数m、n满足等式|m－2|＋n－4＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．12 B．10 C．8 D．610. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD11. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是( )A．70° B．55° C．50° D．40°12. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的顶角为( ) A．80°或20° B．70°或55° C．60°或50° D．50°或40°13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为( )A．70° B．72° C．80° D．85°12．在△ABC中，AB＝AC，且BC＝8 cm，BD是腰AC的中线，△ABC的周长分为两部分，已知它们的差为2 cm，则等腰三角形的腰长为( )A. 15cm或3cmB. 12cm或5cmC. 12cm或6cmD. 10cm或6cm15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．16. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.17. 如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE.求∠A的度数．18. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，连接AD、AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以这三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ；(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后再证明)．答案;1. △CED SAS ∠CED ∠CDE2. 互相垂直3. 40°4. 40°5. 35°6. D7. C8. C9. D 10. D 11. D 12. A 13. B 14. D15. 解：∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠C ＝180°－∠A2＝70°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝35°，∴∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝75°.16. 证明：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B(等边对等角)，在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)，∴AD ＝AE(全等三角形的对应边相等)．17. 解：设∠A ＝x°，∵AD ＝BE ＝DE ，∴∠EDB ＝12x°，∵AC ＝AB ，∴∠C ＝90°－12x°，∵BC ＝BD ，∴∠CDB ＝90°－12x°，∴∠EDC ＝12x°＋90°－12x°＝90°，∴∠A ＝45°.18. (1) ①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①(2) 解：选择①③⇒②，证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE.1．2直角三角形一．选择题1．下列可使两个直角三角形全等的条件是( ) A ．一条边对应相等 B ．两条直角边对应相等 C ．一个锐角对应相等 D ．两个锐角对应相等2．已知直角三角形ABC ，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是( )． A ． 30° B ． 40° C ． 45° D ． 50°3．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．如图，AB ⊥BC 于点B ，AD ⊥DC 于点D ，若CB ＝CD ，且∠1＝30°，则∠BAD 的度数是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．15° 5．下列命题中，逆命题不正确的是（ ）A ． 两直线平行，同旁内角互补B ． 直角三角形的两个锐角互余C ． 全等三角形对应角相等D ． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（ ） A ．任意两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．至少有两个角是锐角D．内角和等于180°7．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1．2 km，则M，C两点间的距离为( )A．0．5 km B．0．6 km C．0．9 km D．1．2 km8．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为( )A．120°B．135°C．150°D．120°或135°9．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，将△ACD沿AD所在的直线折叠，点C恰好落在BC的中点E处，则∠B等于（）A． 25° B． 30° C． 45° D． 60°10．下列命题为假命题的是（）A．若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019 B．若a＝b，则C．若a＞b，则a2＞ab D．若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c二．填空题11．命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是________．12．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC 于点E，若AE＝12 cm，则DE＝_________cm．13．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）14．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b（a＞b），∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是________．15．命题“两直线平行，同旁内角相等”是命题（填“真”或“假”）．16．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝__________时，△ABC与△QPA全等．17．举一个能证明命题“若x，y都是实数，则+≠”是假命题的反例：．18．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________（不包括5）．三．解答题19．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，那么CE＝DF吗？请说明理由．20．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？21．如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E．(1)求证：BE＝CE；(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．22．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．23．边长为6的等边△ABC中，点P从点A出发沿射线AB方向移动，同时点Q从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点D．（1）如图①，当点P、Q分别在边AB、BC上时，①连接PQ，当△BPQ是直角三角形时，AP等于________；②∠CDQ的大小是否随P，Q的运动而变化？如果不会，请求出∠CDQ的度数；如果会，请说明理由；________（2）当P、Q分别在边AB、BC的延长线上时，在图②中画出点D，并直接写出∠CDQ的度数．24．按要求完成下列各小题．（1）将命题“两个钝角的和一定大于180°”写成“如果…那么…”的形式，并判断该命题是真命题还是假命题；（2）判断命题“若a2＞b2，则a＞b”是真命题还是假命题，若是真命题，则举一个满足命题的例子；若是假命题，则举一个反例．25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是边AB 的中点，CH ⊥AB 于点H ，CD 平分∠ACB ．(1)求证：∠1＝∠2．(2)过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，连结AE ，BE ．求证：CM ＝EM ．答案提示1．B. 2．B. 3．A ．②正确．4．B. 5．C . 6．B ．7.D.8．B.9．B. 10．C ．11．在同一个三角形中，等边对等角. 12．12．13.AB ＝DC （答案不唯一）.14．a ＜b ＜a . 15．假． 16．5或10.17．x ＝1，y ＝﹣4（答案不唯一）．18．9或13或4919． 解：CE ＝DF ．理由如下：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧BC ＝AD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)，∴AC ＝BD ，∠CAB ＝∠DBA ．在△ACE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠CAB ＝∠DBA ，∠AEC ＝∠BFD ＝90°，AC ＝BD ，∴△ACE ≌△BDF(AAS)，∴CE ＝DF ．20．解：连接BD在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52 ，在△CBD中，CD2=132 ，BC2=122 ，而122+52=132 ，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD·AB+ DB· BC= ×4×3+ ×5×12=36所以需费用36×200=7200（元）21．解：(1)证明：∵DB＝DC，DE⊥BC，∴CE＝BE(三线合一)．(2)结论：∠ABC－∠ACB＝2∠ADE．点拨：作BF⊥AD于点F，交AC于点G，求出∠ABG＝∠BGA，∠ADE＝∠CBG．(3)作DM⊥AC于点M，DN⊥AB的延长线于点N，图略．∵∠DAN＝∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM＝DN，∵DB＝DC，∴Rt△DBN≌Rt△DCM(HL)，∴∠BDN＝∠CDM，∴∠CDB＝∠MDN，∵∠CAB＋∠MDN＝180°，∴∠CDB＋∠CAB＝180°，∵∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，∴∠ABC＝80°．∴∠CAB＝180°－80°－40°＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠EDB＝∠EDC＝60°，∴∠DCB＝90°－∠EDC＝30°．22．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．23．（1）2或4；解：∠CDQ的大小不变∵P、Q用时出发，速度相同，所以AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴BA=AC，∠B=∠CAP=60°，在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠B=∠APC，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°；（2）解：如图4，∠CDQ=120°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠ABQ=∠CAP，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP，∴∠Q=∠P，∵∠P+∠BCP=60°，∴∠Q+∠DCQ=60°，∴∠CDQ=120°．24.解：（1）如果两个角是钝角，那么这两个角的和一定大于180°，真命题；（2）假命题，反例：a＝﹣2，b＝﹣1．25．解：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＋∠ACH＝90°．∵CH⊥AB，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠CAH＝∠BCH．∵M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM，∴∠CAM＝∠ACM．∴∠BCH＝∠ACM．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，即∠1＝∠2．(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，∴ME∥CH，∴∠1＝∠MED．∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MED，∴CM＝EM．1.3线段的垂直平分线一．选择题1．如图，∠B＝35°，CD为AB的垂直平分线，则∠ACE＝（）A．55°B．60°C．70°D．80°2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC ＝2，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．103．如图，△ABC的边长AB＝8cm，AC＝10cm，BC＝4cm，作BC的垂直平分线交AC于D，则△ABD的周长为（）A．18cm B．14cm C．20cm D．12cm4．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处5．如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O．若∠BOC＝148°，则∠BIC＝（）A．120°B．125°C．127°D．132°6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°7．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C＝（）A．30°B．40°C．17.5°D．35°8．如图，△ABC中，∠B＝90°，边AC的垂直平分ED，交AC于点D，交BC于点E，已知∠C＝36°，则∠BAE的度数为（）A．16°B．17°C．18°D．19°9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小4，则△ADE的面积为（）A．4B．3C．2D．110．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°二．填空题（共5小题）11．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是cm．12．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若AC＝9，BC＝5，则△BDC的周长是．14．如图，△ABC中，∠A＝68°，点D是BC上一点，BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，则∠EDF＝度．15．如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为°．三．解答题16．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，交AC于点E，连接BE，∠CBE＝2∠ABE，求∠C的度数．18．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝5，求△ADE的周长．（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．参考答案一．选择题1．解：∵CD为AB的垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠B＝∠A＝35°∴∠ACE＝∠B+∠A＝70°．故选：C．2．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵△ADC的周长为10，∴AC+DC+AD＝10，∴AC+CD+BD＝AC+BC＝10，∵BC﹣AC＝2，∴BC＝6，故选：B．3．解：∵BC的垂直平分线交AC于D，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝8+10＝18（cm），故选：A．4．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．5．解：连接OA，∵∠BOC＝148°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝32°，∵O是三边的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠OBA+∠OCA＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∴∠ABC+∠ACB＝74°+32°＝106°，∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝127°，故选：C．6．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，∴∠ABE＝∠A＝30°，∵∠A＝30°，∠C＝110°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，∴∠EBC＝40°﹣30°＝10°，故选：A．7．解：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，∴∠A+∠C＝∠ABC，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，∴∠DOE＝145°，∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°；故选：D．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝36°，∴∠BAC＝90°﹣36°＝54°，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝36°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝18°，故选：C．9．解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴点D是AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC，∵S△BDC﹣S△CDE＝4，∴S△ADC﹣S△CDE＝4，即△ADE的面积为4，故选：A．10．解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝5cm，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），故答案为：18．12．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．13．解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴△BDC的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝14，故答案为：14．14．解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，∴EB＝ED，FD＝FC，∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），∴∠EDF＝∠A＝68°．故答案为68．15．解：连接DA、DC，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，∴DA＝DB，DA＝DC，∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，故答案为：10．三．解答题16．（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为14cm，∴AB+BC+AC＝14（cm），∴AB+BC＝8（cm），∵AB＝EC，BD＝DE，∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．17．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠CBE＝∠C，∵∠CBE＝2∠ABE，∴∠ABE＝∠C，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠C+∠C+∠C＝90°，∴∠C＝36°．18．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；（2）∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，∴∠BAC＝120°．。

第一章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论.分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，∵＜，449+∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；②当三角形的三边是4，9，9时，++=.此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是49922故选C.2.【答案】C△≌△，可以判断相应的选项，然后通【解析】根据等腰三角形的性质，得出相等角，通过求证ABD ACD⊥，即可解决.过等角的补角相等，得出AD BC如下图：AB AC∵，=∴ABC ACB∠=∠∵，=DB DC∴，∠=∠DBC DCB∴∠=∠ABD ACD∴△≌△ABD ACD∴（B选项正确）BAD CAD∠=∠∠=∠（D选项正确）ABD ACD∠=∠∴ADB ADC∠=∠故BDE CDE∴⊥DE BC⊥（A选项正确）AD BC故选C【考点】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.3.【答案】D【解析】添加AE AD BD CE ECB DBC ==∠=∠、、可利用AAS 判定ABD ACE △≌△，进而可得AB AC =，从而可得ABC △是等腰三角形；添加BEC CDB ∠=∠不能判定ABD ACE △≌△，因此也不能证明AB AC =，进而不能证明ABC △是等腰三角形.A .添加AE AD =，在ABD △和ACE △中A A ABD ACE AE AD ∠∠⎧⎪∠∠==⎨=⎪⎩，()ABD ACE AAS ∴△≌△，AB AC =∴，ABC ∴△为等腰三角形，故此选项不合题意；B .添加BD CE =，在ABD △和ACE △中A A ABD ACE BD CE ∠∠⎧⎪∠∠==⎨=⎪⎩，()ABD ACE AAS ∴△≌△，AB AC =∴，ABC ∴△为等腰三角形，故此选项不合题意；C .添加ECB DBC ∠=∠，又ABD ACE =∠∠∵，ABC ACB ∠=∠∴，AB AC =∴，ABC ∴△为等腰三角形，故此选项不合题意；D .添加BEC CDB ∠=∠，不能证明ABD ACE △≌△，因此也不能证明AB AC =，进而得不到ABC △为等腰三角形，故此选项符合题意；故选D .【考点】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法.4.【答案】B【解析】设两个锐角分别为x y 、，由题意得，°°9020x y x y ⎧+=⎨−=⎩，解得5535x y ︒︒==⎧⎨⎩， 所以，最大锐角为55°.故选B .5.【答案】D【解析】由三角形的三个内角度数比为1:1:2，可设三角形的三个内角分别为：°°°2x x x ，，，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：°2180x x x ++=，解此方程即可求得答案.设三角形的三个内角分别为：°°°2x x x ，，.由三角形内角和定理得：°2180x x x ++=解得：°45x =.当°45x =时，°°°224590x =⨯=.三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°.故这个三角形是等腰直角三角形.故选D .【考点】本题考查了三角形的内角和定理.解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1:1:2，设三角形的三个内角分别为：°°°2x x x ，，，利用方程思想求解.6.【答案】C【解析】根据线段垂直平分线的判定和全等三角形的判定定理判断即可.AB AD CB CD ==∵，，AC ∴垂直平分BD ，故A 正确；OB OD =∴，AO AO CO CO ==∵，，()()ABO ADO SSS CBO CDO SSS ∴△≌△，△≌△，()ABC ADC SSS △≌△；故图中共有三对全等三角形，故B 正确；OD ∵不一定等于OC ，OCD ∠∴不一定等于ODC ∠，故C 错误；AC ∵垂直平分BD ，BO DO =∴，∵四边形ABCD 的面积111222ABC ADC S S S AC BO AC DO AC BD ===⨯+⨯=⨯△△， 故D 正确，故选：C . 【考点】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积公式，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.7.【答案】B【解析】先由°106BAC ∠=及三角形内角和定理求出B C ∠+∠的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出B BAEC CAN ∠=∠∠=∠，，即B C BAE CAN ∠+∠=∠+∠，由()EAN BAC BAE CAN ∠=∠−∠+∠解答即可.ABC ∵△中，°°°°°10618018010674BAC B C BAC EF MN ∠=∠+∠=−∠=−=，∴，∵、分别是AB AC 、的中垂线，B BAE C CAN ∠=∠∠=∠∴，，即°74B C BAE CAN ∠+∠=∠+∠=，()°°°1067432EAN BAC BAE CAN ∠=∠−∠+∠=−=∴.故选B .【考点】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出°74B C BAE CAN ∠+∠=∠+∠=是解答此题的关键.8.【答案】B【解析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AD 的长，再根据角平分线的性质，即可得到CD 的长，进而得出AC 的长.解：°30A DE ∠=∵，垂直平分2AB DE =，，4AD BD ==∴，°30ABD A ∠=∠=∴，°30DBC ABD ∠=∠=∴，即BD 平分ABC ∠，又DE AB DC BC ⊥⊥∵，，2CD DE ==∴，426AC =+=∴，故选：B .【考点】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质.此题注意掌握数形结合思路的应用.9.【答案】A【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD DE =，然后利用“HL ”证明ACD Rt △和AED Rt △全等，根据全等三角形对应边相等可得AC AE =，再求出DBE △的周长AB =，从而得解. 解：°90C AD ∠=∵，平分CAB DE AB ∠⊥，，CD DE =∴，在ACD Rt △和AED Rt △中，AD AD CD DE ==⎧⎨⎩， ()ACD AED HL ∴Rt △≌Rt △，AC AE =∴，DBE ∴△的周长DE BD BE =++，CD BD BE =++，BC BE =+，AC BE =+，AE BE =+，AB =，6AB =∵，DBE ∴△的周长6=.故选：A .【考点】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并求出DBE △的周长AB =是解题的关键.10.【答案】A【解析】因为OB OC 、是ABC ACB ∠∠、的角平分线，所以ABO CBO ACO BCO ∠=∠∠=∠，，所以°°°180120=60ABO ACO CBO BCO ∠+∠=∠+∠=−，所以°°602120ABC ACB ∠+∠=⨯=，于是°°°18012060A ∠=−=.故选A .二、11.【答案】75°（或者75°/30°、120°）【解析】分为两种情况讨论，①30°是顶角；②30°是底角；结合三角形内角和定理计算即可.解：①30°是顶角，则底角()°°°118030752=−=； ②30°是底角，则顶角°°°180302120=−⨯=.∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°.故答案是75°；75°或30°、120°.【考点】此题考查等腰三角形的性质，难度不大12.【答案】24【解析】2226810+=∵，此三角形为直角三角形， 此三角形的面积为：168242⨯⨯=. 故答案为：24.13.【答案】45°【解析】根据题意证HBD CAD △≌△，推出AD DB =，推出DAB DBA ∠=∠，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出ABD ∠，即可求出答案.解：AD BC BE AC ⊥⊥∵，，°90ADB ADC BEC ∠=∠=∠=∴，°90HBD C CAD C ∠+∠=∠+∠=∴，HBD CAD ∠=∠∴，∵在HBD △和CAD △中，HBD CAD HDB CAD BH AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBD CAD AAS ∴△≌△，AD BD =∴，DAB DBA ∠=∠∴，°90ADB ∠=∵，°45ABD ∠=∴，即°45ABC ∠=故答案为：45°【考点】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.14.【答案】15°【解析】先判断出AD 是BC 的垂直平分线，进而求出°45ECB ∠=，即可得出结论.解：∵等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，BD CD =∴，即：AD 是BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 上，BE CE =∴，EBC ECB ∠=∠∴，°45EBC ∠=∵，°45ECB ∠=∴，ABC ∵△是等边三角形，°60ACB ∠=∴，°15ACE ACB ECB ∠=∠−∠=∴，故答案为：15°.【考点】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出ECB ∠是解本题的关键.15.【答案】9【解析】DE ∵是AB 的垂直平分线，AD BD =∴，°30DAE B ∠=∠=∴，°60ADC DAE B ∠=∠+∠=∴，°30CAD ∠=∴，AD ∴为BAC ∠的角平分线，°90C DE AB ∠=⊥∵，，3DE CD ==∴，°30B ∠=∵，26BD DE ==∴，9BC =∴.【考点】本题主要考查的知识点有线段垂直平分线的性质、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练运用各性质是解题的关键.16.【答案】108°【解析】根据°36AB AC A =∠=，求出ABC ∠的度数，利用BD 平分ABC ∠求出ABD ∠，再利用三角形的内角和求出ADB ∠的度数.°36AB AC A =∠=∵，，()()°°°°11180180367222ABC A ∠=−∠=−=∴， BD ∵平分ABC ∠，°1362ABD ABC ∠=∠=∴， °°°°°1801803636108ADB A ABD ∠=−∠−∠=−−=∴，故答案为：108°.【考点】此题考查角度的加减计算，注意三角形的内角和定理、角平分线定理的应用.17.【答案】10.【解析】过点O 作MN AB ⊥于M ，交CD 于N ，根据角平分线的性质和平行线的性质解答可得解. 如下图，过点O 作MN AB ⊥于M ，交CD 于N ，AB CD ∵∥，MN CD ⊥∴，AO ∵是BAC ∠的平分线，5OM AB OE AC OE ⊥⊥=，，，5OM OE ==∴，CO ∵是ACD ∠的平分线，OE AC ON CD ⊥⊥，，5ON OE ==∴，10MN OM ON =+=∴，即AB 与CD 之间的距离是10.故答案为10.【考点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键.三、18.【答案】（1）作法：1.以点A 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角BAC 两边于点M N ，.2.分别以点M N ，为圆心，以大于12MN 的长度为半径画弧，两弧交于点D . 3.作射线AD ，交BC 与点P ，如下图所示，点P 即为所求.（2）作法：1.以线段的AC 两个端点为圆心，以大于AC 一半长度为半径分别在线段两边画相交弧；2得出相交弧的两个交点F E 、；3用直尺连接这两个交点，所画得的直线与射线AP 交与点Q ，如下图所示，点Q 即为所求.【解析】（1）根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故做角A 的角平分线交BC 于点P P ，点即为所求.（2）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故作出线段AC 的垂直平分线，交射线AP 与点Q Q ，点即为所求.【考点】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，根据角平分线和垂直平分线的作法即可解决问题，能够熟练掌握二者的作法是解决本题的关键.19.【答案】证明：AC BC BD AD ⊥⊥∵，90D C ∠=∠=︒∴，在ABD Rt △和BAC Rt △中，BD AC AB BA =⎧⎨=⎩()ABD BAC HL Rt △Rt △∴≌，DBA CAB ∠=∠∴，OA OB =∴，即OAB △是等腰三角形.【解析】利用HL 定理得出ABD BAC △≌△即可得出DBA CAB ∠=∠，再利用等腰三角形的判定得出即可.【考点】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出ABD BAC ≌Rt △Rt △是解题关键.20.【答案】解：CD AB ⊥∵，90ADC BDC ︒∠=∠=∴.在BCD Rt △中，2BC CD ==∵，，1BD =∴.在ACD Rt △中，3AC CD AD ==∵.(()2222222163116AC BC AB ====∵＋＋，＋， 222AC BC AB =∴＋，ABC ∴△是直角三角形.【解析】由勾股定理分别求出AD 和BD 的长，再用勾股定理的逆定理证明ABC △是直角三角形. 四、21.【答案】解：（1）DE ∵垂直平分AB ，90AED BED DA DB ︒∠=∠==∴，，40ADE ︒∠=∵，50A ABD ︒∠=∠=∴，又AB AC =∵，()18050265ABC ︒︒︒∠=−÷=∴，655015DBC ABC ABD ︒︒︒∠=∠−∠=−=∴；（2）DE ∵垂直且平分AC ，AD CD =∴，BDC △的周长15BC BD CD =++=，又6BC =∵，9AB AC ==∴.【解析】（1）由DE 垂直平分AB ，根据线段垂直平分线的性质，可得90AED BED DA DB ︒∠=∠==，，又由40ADE ︒∠=，即可求得ABD ∠的度数，又由AB AC =，即可求得ABC ∠的度数，继而求得答案；（2）由已知条件，运用线段垂直平分线定理得到AD CD =，结合6BC CDB =，△的周长为15，求AB 即可.【考点】线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.22.【答案】证明：（1）AB AE D =∵，为线段BE 的中点，AD BC ⊥∴90C DAC ︒∠+∠=∴，90BAC ︒∠=∵90BAD DAC ︒∠+∠=∴C BAD ∠=∠∴（2）AF BC ∵∥FAE AEB ∠=∠∴AB AE ∵＝B AEB ∠=∠∴B FAE ∠=∠∴，且90AEF BAC AB AE ︒∠=∠==，()ABC EAF ASA ∴△≌△AC EF =∴【解析】（1）由等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，由余角的性质可得C BAD ∠=∠；（2）由“ASA ”可证ABC EAF △≌△，可得AC EF =.【考点】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.23.【答案】（1）证明：AB AC =∵，ABC C ∠=∠∴，DE BC ∵∥，ADE ABC AED C ∠=∠∠=∠∴，，ADE AED ∠=∠∴，AD AE =∴；（2）证明：BD DE =∵，DBE DEB ∠=∠∴，DE BC ∵∥，DEB CBE ∠=∠∴，DBE CBE ∠=∠∴，BE ∴平分ABC ∠.【解析】（1）根据等边对等角可得ABC C ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得ADE ABC =∠∠，AED C ∠=∠，从而得到ADE AED ∠=∠，然后根据等角对等边可得AD AE =；（2）根据等边对等角可得DBE DEB ∠=∠，再根据两直线平行，内错角相等可得DEB CBE ∠=∠，从而得到DBE CBE ∠=∠，然后根据角平分线的定义证明即可.【考点】本题考查了等腰三角形的判定及性质，以及角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定及性质.五、24.【答案】（1）ABC ∵△中，9090ACB ACD BCE ︒︒∠=∠+∠=，∴，又直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D BE MN ⊥，于E ，9090ADC CEB ACD DAC BCE DAC ︒︒∠=∠=∠+∠=∠=∠∴，∴，∴，在ADC △和CEB △中，°90ADC CEB DAC ECBAC BC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵， ()ADC CEB AAS CD BE AD CE DE CD CE AD BE ===+=+∴△≌△，∴，，∴；（2）ABC ∵△中，90ACB ︒∠=，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D BE MN ⊥，于E ，9090ADC CEB ACD BCE BCE CBE ︒︒∠=∠=∠+∠=∠+∠=∴，，ACD CBE ∠=∠∴.而AC BC ADC CEB CD BE CE AD DE CE CD AD BE ====−=−，∴△≌△，∴，，∴； （3）如图3.ABC ∵△中，90ACB ︒∠=，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D BE MN ⊥，于E ，9090ADC CEB ACD BCE BCE CBE ︒︒∠=∠=∠+∠=∠+∠=∴，，ACD CBE ∠=∠∴.AC BC ADC CEB CD BE CE AD DE CD CE BE AD ====−=−∵，∴△≌△，∴，，∴；DE AD BE 、、之间的关系为DE BE AD =−.【解析】（1）证明ADC CEB △≌△，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）证明ADC CEB △≌△，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，仍然ADC CEB △≌△，然后利用全等三角形的性质可以得到DE BE AD =−.【考点】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高.25.【答案】证明：（1）2222290016002500cm 2500cm BC AC AB ++=∵，==，222BC AC AB +∴=， 90ACB ︒∠=∴，ABC ∴△是直角三角形； （2）设AB 边上的高为cm h ， 由题意得50304022ABC h S ⨯==△， 解得24h =.AB ∴边上的高为24cm ；（3）①2t ②当t 15s =或18s 或25s 2时，BCD △为等腰三角形.【解析】（1）运用勾股定理的逆定理即可证得90ACB ︒∠=； （2）运用等面积法列式求解即可；（3）①由路程=速度x 时间，可得2t BD =；②分三种情况进行求解，即可完成解答. ①∵点D 从点B 出发在线段AB 上以2cm /s 的速度向终点A 运动，2t BD =∴；故答案为：2t ；②如图1，若30cm BC BD ==，则3015s 2t ==，如图2，若CD BC =，过点C 作CE AB ⊥，由（2）可知：24cm CE =，18cm BE ===∴，CD BC =∵，且CE BA ⊥，18cm DE BE ==∴， 36cm BD =∴，3618s 2t ==∴， 若CD DB =，如图2，222CD CE DE =+∵，()2218576CD CD =−+∴，25CD =∴， 25s 2t =∴， 综上所述：当15s t =或18s 或25s 2时，BCD △为等腰三角形. 【考点】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等面积法等知识，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键。