2010年高考试题数学文(全国卷1)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学(文史类)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 是虚数单位，复数3i1i+=-（ ） A .12i + B .24i + C .12i -- D .2i -【测量目标】复数的基本运算. 【考查方式】考查了复数的除法运算，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化. 【参考答案】A 【试题解析】3i 1i +=-(3i)(1i)2++24i12i 2+==+，故选A .2.设变量,x y 满足约束条件311x y x y y +⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥,则目标函数42z x y =+的最大值为（ ）A .12B .10C .8D .2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值．【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过平移图象求最优解．【参考答案】B【试题解析】画出平面区域可知，当直线42z x y =+经过点21（，）时，目标函数42z x y =+取得最大值10，故选B .3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A .1-B .0C .1D .3 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据所给程序框图读出其循环结构表示的计算功能并计算求解.【参考答案】B【试题解析】由程序框图知：当1i =时，13113S =⨯-+=（）； 当2i =时，33214S =⨯-+=（）；当3i =时，43311S =⨯-+=（）； 当4i =时，13410S =⨯-+=（），因为当i 大于4，就输出S 了，故选B . 4.函数e 2xf x x =+-（） 的零点所在的一个区间是（ ）A .2,1--（）B .1,0-（）C .0,1（）D .1,2（）【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】给出函数，利用函数根的存在性定理判断.【参考答案】C【试题解析】因为0(0)e 210f =-=-<，1(1)e 12e 10f =+-=->，故选C .5.下列命题中，真命题是（ ）A .m ∃∈R ，使函数2f x x mx x =+∈R （）（）是偶函数B .m ∃∈R ，使函数2f x x mx x =+∈R （）（）是奇函数C .m ∀∈R ，使函数2f x x mx x =+∈R （）（）是偶函数D .m ∀∈R ，使函数2f x x mx x =+∈R （）（）是奇函数 【测量目标】全称命题与存在性命题真假的判断.【考查方式】直接给出条件，判断函数的奇偶性进而判断命题的真假. 【参考答案】A【试题解析】当0m =时，函数22()f x x mx x =+=是偶函数，故选A .6.设54log 4,log 3,log 5a b c ===25（），则（ ）A .a c b <<B .b c a <<C .a b c <<D .b a c << 【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】将,,a b c 分别与1作比较，根据题意结合排除法作比较. 【参考答案】D【试题解析】因为55log 4log 5=1a =<，2255(log 3)(log 5)=1b =<，44log 5log 41c =>=，（步骤1） 所以c 最大，排除A 、B ；（步骤2）又因为(0,1)a b ∈、，所以a b >，故选D .（步骤3）7.设集合{}{}|||1,,|15,.A x x a x B x x x A B =-<∈=<<∈=∅R R 若，则实数a 的取值范围是A .{}|06a a ≤≤B .{}|2,a a a ≤或≥4 C .{}|0,6a a a ≤或≥ D .{}|24a a ≤≤ 【测量目标】集合间的关系及不等式求解问题.【考查方式】根据题意用绝对值不等式解法求解. 【参考答案】C【试题解析】因为{}|11A x a x a =-<<+，A B =∅ ，所以11a +≤或15a -≥，解得实数a 的取值范围是{}|0,6a a a ≤或≥，故选C .8.右图是函数sin y A x x ωϕ=∈R （+）（）在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将sin y x x =∈R （）的图象上所有的点（ ）A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B . 向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变换.【考查方式】先求出函数解析式中的字母取值，再根据正弦三角函数的图象变换性质得出结果.【参考答案】A【试题解析】由给出的三角函数图象知，1A =，2ππω=，解得2ω=，（步骤1）又π2(06ϕ⨯-=)+，所以π3ϕ=，即原函数解析式为πsin(2)3y x =+.（步骤2） 所以只要将sin y x x =∈R （）的图象上所有的点先向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变即可得到函数πsin(2)3y x =+的图象，故选A .（步骤3）9.如图，在ABC △中，AD AB ⊥，BC = ，1AD =，则AC AD =( )A .B .2 C .3D 【测量目标】平面向量的数量积计算.【考查方式】给出条件，利用平面向量的数量积运算转化求值. 【参考答案】D【试题解析】AC AD cos AC AD DAC =∠ cos AC DAC =∠ ||sin AC BAC =∠= ||sin BC B =|sin BD B=D .10.设函数2()2()g x x x =-∈R ，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩≥，则()f x 的值域是（ ）A .9,0(1,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦ B .[0,)+∞ C .9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D .9,0(2,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦【测量目标】函数解析式表达与其的值域.【考查方式】已知两个函数的解析式，利用两函数之间的关系求出分段函数的值域. 【参考答案】D【试题解析】由题意222,()()2,()x x x g x f x x x x g x ⎧++<⎪=⎨-->⎪⎩222,(,1)(2,)2,(1,2)x x x x x x ⎧++∈-∞-+∞⎪=⎨--∈-⎪⎩2217(),(,1)(2,)2419(),(1,2)24x x x x ⎧++∈-∞-+∞⎪⎪=⎨⎪--∈-⎪⎩ ，（步骤1）所以当(,1)(2,)x ∈-∞-+∞ 时，()f x 的值域为(2,)+∞；当(1,2)x ∈-时，()f x 的值域为9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选D .（步骤2）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.11.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若1PB =，3PD =，则BCAD的值为 .【测量目标】四点共圆与相似三角形的性质.【考查方式】给出四点共圆的条件，根据题意得出两三角形相似，再利用相似三角形的性质求解.【参考答案】13【试题解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =PCB ∠，CDA PBC ∠=∠，（步骤1）因为P ∠为公共角，所以△PBC ∽△PAB ，（步骤2）所以PB PD =PC PA =BC AD，所以BC AD =PB PD =13.（步骤3） 12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】根据图象得出几何体为底面为直角梯形的直棱柱及它的各边长，再利用体积公式求解. 【参考答案】3【试题解析】由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱，棱柱的高为1，梯形的上下底面边长分别为1、2，梯形的高为2，所以这个几何体的体积为1(12)2132+⨯⨯=.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同.则双曲线的方程为 .【测量目标】圆锥曲线之间的关系以及各自本身的性质. 【考查方式】给出双曲线渐近线方程及其与已知抛物线的关系，根据双曲线和抛物线的定义和性质利用待定系数法求双曲线方程.【参考答案】221412x y -= 【试题解析】由题意知，双曲线的一个焦点为40（，），即2216a b +=，（步骤1）又因为已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y =，所以有ba=，即b =，（步骤2） 可解得24a =，212b =，故双曲线的方程为221412x y -=.（步骤3） 14.已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切.则圆C 的方程为 .【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系. 【考查方式】给出圆心和该圆与已知直线的位置关系，求出圆心坐标再根据圆与直线相切的性质求圆的方程.【参考答案】22(1)2x y ++=【试题解析】因为圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，所以圆心坐标为10-（，），（步骤1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r==C的方程为22(1)2x y++=.（步骤2）15.设{}n a是等比数列，公比q=n S为{}n a的前n项和.记*2117,n nnnS ST na+-=∈N.设nT为数列{}n T的最大项，则0n= .【测量目标】等比数列的通项公式与前n项和公式的应用、均值不等式求最值.【考查方式】给出等比数列的公比以及两数列的关系，根据题意设参数代入关系式利用均值不等式求解.【参考答案】4【试题解析】因为211*1(1)(1)1711,n nn na q a qq qT na q-----=∈N217(1)(1)(1)n nnq qq q---=-，（步骤1）设n q t=，则nT2=2==-≤-+=（步骤2）=，即4t=，所以当nT为数列{}n T的最大项时，04n=.（步骤3）16.设函数1()f x xx=-，对任意[1,()()0x f mx mf x∈+∞+<），恒成立，则实数m的取值范围是.【测量目标】函数中的恒成立问题.【考查方式】给出函数解析式及恒成立的函数关系式，求实数m的取值范围.【参考答案】(,1)-∞-【试题解析】因为对任意[1,)x∈+∞，1()()20mf mx mf x mxmx x+=--<恒成立，所以当0m<时，有222210m x m-->对任意[1,)x∈+∞恒成立，即222110m m⨯-->，解得21m>，即1m<-；（步骤1）当0m>时，有222210m x m--<对任意[1,)x∈+∞恒成立，x无解，综上所述实数m的取值范围是1m <-.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，cos cos AC BAB C=. （Ⅰ）证明B C =；（Ⅱ）若1cos 3A =-，求πsin 43B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【测量目标】正弦定理、余弦定理及其应用并熟练应用倍角公式.【考查方式】给出三角形的边角关系，根据正弦定理及两角和与差的正弦求解． 【试题解析】（Ⅰ）证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin sin B C cos cos BC=.于是sin cos cos sin 0B C B C -=，即sin 0B C -=（）.（步骤1）因为ππB C -<-<，从而0B C -=. 所以B C =.（步骤2）（Ⅱ）解：由πA B C ++=和（Ⅰ）得π2A B =-,故cos2cos π2B B =--（）1cos 3A =-=.（步骤3）又02πB <<,于是sin2B =3=.（步骤4）从而sin 42sin 2cos 29B B B ==，227cos 4cos 2sin 29B B B =-=-.（步骤5）所以πππsin(4)sin 4cos cos 4sin 333B B B +=+=.（步骤6） 18.（本小题满分12分）有编号为12,,A A …10A 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据：其中直径在区间[]1.481.52，内的零件为一等品.（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.（i ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2个零件直径相等的概率. 【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 【试题解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则6()10P A =35=.（步骤1） （Ⅱ）（i ）解：一等品零件的编号为123456,,,,,A A A A A A .从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{}{}{}121314,,,,,A A A A A A ,{}{}1516,,,A A A A ,{}23,A A ,{}{}2425,,,A A A A ,{}{}{}263435,,,,,A A A A A A ,{}{}{}364546,,,,,A A A A A A ,{}56,A A 共有15种.（步骤2） (ii )解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}{}{}141646,,,,,A A A A A A ，{}{}{}232535,,,,,A A A A A A ，共有6种.（步骤3）所以62()155P B ==.（步骤4） 19.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC AD ，1CD =，AD =45BAD CDA ︒∠=∠=.（Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD ⊥平面ABF ；（Ⅲ）求二面角B EF A --的正切值. 【测量目标】几何体中的线与线、线与面以及面与面的综合考察.【考查方式】找出异面直线所成的角，根据题意利用线面垂直的性质求其余弦值；作辅助线根据线面关系证明线面垂直；找出二面角的平面角利用已知条件和线面关系求其正切值. 【试题解析】（Ⅰ）解：因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ED .故CED ∠为异面直线CE 与AF 所成的角.（步骤1）因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA CD ⊥.故ED CD ⊥.（步骤2）在Rt CDE △中，1CD =，ED =3CE ==,故cos CED ∠ED CE ==所以异面直线CE 和AF 所成角的余弦值为3.（步骤3） (Ⅱ)证明：过点B 作BG CD ,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠=.(步骤4)由45BAD ︒∠=,可得BG AB ⊥,从而CD AB ⊥,（步骤5）又CD FA ⊥,FA AB A = ,所以CD ⊥平面ABF .（步骤6）(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG =G 为AD 的中点.（步骤7）取EF 的中点N ，连接GN ，则G N E F ⊥,因为BC AD ,所以BC EF .（步骤8）过点N 作NM EF ⊥，交BC 于点M ，则GNM ∠为二面角B EF A --的平面角.（步骤9）连接GM ，可得AD ⊥平面GNM ,故AD GM ⊥.从而BC GM ⊥.由已知，可得2GM =.（步骤10） 由F NG A ,FA GM ⊥,得NG GM ⊥. 在Rt NGM △中，1tan 4GM GNM NG ∠==,所以二面角B EF A --的正切值为14.（步骤11）20.（本小题满分12分） 已知函数323()1()2f x ax x x =-+∈R ，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 【测量目标】曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式.【考查方式】给出函数式，利用导数求函数的切线方程并判断其单调性和极值，解不等式组．【试题解析】（Ⅰ）解：当1a =时，323()12f x x x =-+，(2)3f =；（步骤1） 2()33f x x x '=-,(2)6f '= .所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为36(2)y x -=-，即69y x =-.（步骤2）（Ⅱ）解：2()=333(1)f x ax x x ax '-=-.令()0f x =，解得10x x a==或.（步骤3） 以下分两种情况讨论：（1） 若1102a <≤，则≥，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：当11022x f x ⎡⎤∈->⎢⎥⎣⎦，时，（）等价于510()08215()0028a f a f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即，（步骤4） 解不等式组得55a -<<.因此02a <≤.（步骤5）（2） 若2a >，则11<<.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：当1122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()0f x >等价于1()021()0f f a ⎧->⎪⎪⎨⎪>⎪⎩即25081102a a-⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，（步骤6）解不等式组得52a <<或2a <-.因此25a <<.（步骤7） 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为05a <<.（步骤8）21.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A B 、，已知点A 的坐标为(,0)a -.（i ）若AB |l 的倾斜角； （ii ）若点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =，求0y 的值.【测量目标】椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量. 【考查方式】给出椭圆的离心率及内接菱形的面积根据椭圆方程的几何性质求解；给出直线与椭圆交点坐标，根据弦长求直线倾斜角及0y . 【试题解析】（Ⅰ）解：由c e a ==2234a c =.再由222c a b =-，解得2a b =.（步骤1） 由题意可知12242a b ⨯⨯=，即2ab =.（步骤2） 解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩，得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=.（步骤3） (Ⅱ)( i )解：由（Ⅰ）可知点A 的坐标是2,0-（）.设点B 的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k .则直线l 的方程为(2)y k x =+.（步骤4）于是A B 、两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=. 由212164214k x k --=+，得2122814k x k-=+.从而12414k y k =+.（步骤5）所以2||14AB k =+.（步骤6）由||5AB =2145k =+. 整理得42329230k k --=，即22(1)(3223)0k k -+=，解得1k =±.（步骤7） 所以直线l 的倾斜角为π4或3π4.（步骤8） （ii ）解：设线段AB 的中点为M ，由（i ）得到M 的坐标为22282,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤9）以下分两种情况：（1）当0k =时，点B 的坐标是2,0（），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是()()002,,2,.QA y QB y =--=- 由4QA QB =，得y =±0.（步骤10） （2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 令0x =，解得02614k y k=-+.（步骤11）由()02,QA y =-- ，()110,QB x y y =- ，()()210102222228646214141414k k k k QA QB x y y y k k k k --⎛⎫=---=++ ⎪++++⎝⎭()()4222416151414k k k +-==+， 整理得272k =.故7k =±.所以05y =±步骤12)综上，0y =±或05y =±（步骤13）22.（本小题满分14分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k ∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为2k . （Ⅰ）证明456,,a a a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记2222323n nn T a a a =+++ ，证明32222n n T n <-≤（≥）. 【测量目标】等比数列的性质及求数列的通项公式、等差等比数列的综合应用.【考查方式】给出数列的首项，根据等比数列的定义证明等比数列；利用等差数列的性质求通项公式并根据数列求和分类讨论证明.【试题解析】（Ⅰ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，65618a a =+=.（步骤1） 从而655432a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列.（步骤2） （Ⅱ）解：由题设可得21214,k k a a k k *+--=∈N所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+-()441...41k k =+-++⨯()21,k k k *=+∈N .（步骤3） 由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.（步骤4）所以数列{}n a 的通项公式为221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数或写为()21124n n n a --=+，n *∈N .（步骤5）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知()2121k a k k +=+，222k a k =，（步骤6） 以下分两种情况进行讨论：（1） 当n 为偶数时，设()2n m m *=∈N ， 若1m =，则2222nk k k n a =-=∑，（步骤7） 若m ≥2，则()()()22222112211112212214441221nm m m m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==⎡⎤+⎡⎤⎛⎫=++=++-⎢⎥ ⎪⎢⎥++-⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑ ()11312211222m m n m n ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭.（步骤8） 所以223122n k k k n a n =-=+∑，从而22322,4,6,8,2n k kk n n a =<-<=∑ （步骤9） （2） 当n 为奇数时，设()21n m m *=+∈N . ()()()22222222121213142221n m k k k k m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()11314222121m n m n =+-=---+.（步骤10） 所以2231221n k k k n a n =-=++∑，从而22322,3,5,7,2n k k k n n a =<-<=∑ （步骤11） 综合（1）和（2）可知，对任意2,n n *∈N ≥有3222n n T <-≤.（步骤12）。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）（1）已知向量a 、b 满足| a |=1，| b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （2）设集合}2|||{},0|{2<=<-=x x N x x x M ，则 （A ）=N M ∅ （B ）M N M =（C ）M N M =（D ）=N M R（3）已知函数xe y =的图像与函数)(xf y =的图像关于直线x y =对称，则 （A ）∈=x e x f x()2(2R ） （B ）2ln )2(=x f ·x ln （0>x ）（C ）∈=x e x f x (2)2(R ）（D ）+=x x f ln )2(2ln （0>x ）（4）双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（A ）41-（B ）－4 （C ）4 （D ）41 （5）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=（A ）8（B ）7（C ）6（D ）5（6）函数)4tan()(π+=x x f 的单调增区间为（A ）∈+-k k k ),2,2(ππππZ（B ）∈+k k k ),)1(,(ππZ（C ）∈+-k k k ),4,43(ππππZ（D ）∈+-k k k ),43,4(ππππZ （7）从圆012222=+-+-y y x x 外一点P （3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（A ）21 （B ）53 （C ）23 （D ）0（8）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 若a 、b 、c 成等比数列，且==B a c cos ,2则（A ）41（B ）43 （C ）42 （D ）32 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （10）在10)21(xx -的展开式中，4x 的系数为（A ）－120（B ）120（C ）－15（D ）15（11）抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（12）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（A ）58cm 2（B ）106cm 2 （C ）553cm 2（D ）20cm 2（13）已知函数.121)(+-=xa x f 若)(x f 为奇函数，则a = . （14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等于 .（15）设x y z -=2，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+-≥-,1,2323,12y y x y x 则z 的最大值为 .（16）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）（17）已知}{n a 为等比数列，320,2423=+=a a a . 求}{n a 的通项公式. （18）△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2cos 2cos CB A ++取得最大值，并求出这个最大值.（19）A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A 有效的概率为32，服用B 有效的概率为21.（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.（20）如图，1l 、2l 是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段. 点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，AM = MB = MN .（Ⅰ）证明NB AC ⊥；（Ⅱ）若60=∠ACB ，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.（21）设P 是椭圆)1(1222>=+a y ax 短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值.（22）设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求 a 的取值范围.2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）1．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST = A ．∅ B ．1{|}2x x <- C ．5{|}3x x > D ．15{|}23x x -<< 2．α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= A ．513 B ．513- C ． 512 D ．512-3．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种 6．下面给出的四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是A ．(0,2)B ．(2,0)-C ．(0,2)-D ．(2,0) 7．如图，正棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A ．15B ．25 C ．35 D ．451A8．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =A B ．2 C ． D ．49．()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件 10．函数22cos y x =的一个单调增区间是A ．(,)44ππ-B ．(0,)2πC ．3(,)44ππD ．(,)2ππ 11．曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A ．19B ．29C ．13D ．2312．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是A ．4B ．C ．D ．813．从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）A (2)B (3)B (4)C (5)A （6）D (7)C (8)A (9)D (10)D(1)i 是虚数单位，复数31ii+-= (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。

进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。

(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2 【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z 取得最大值10. (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 【答案】B【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。

第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0.【温馨提示】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。

（4）函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q = ( )A.{|12}x x -<<B.{|31}x x -<<-C.{|14}x x <<-D.{|21}x x -<<【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的基本运算，给出两集合，用图象法求其交集. 【参考答案】D【试题解析】2422x x ∴<⇒-<<，{}2Q x x ∴=-＜＜1，{}21P Q x x ∴=-<<，故选D.2.已知函数 2()log (1),f x x =+若()1,f α= α= ( )A.0B.1C.2D.3【测量目标】对数函数的性质.【考查方式】给出对数函数解析式，()f α的值，求未知数α. 【参考答案】B 【试题解析】2()log (1)f αα=+，12α∴+=，故1α=，选B.3.设i 为虚数单位，则5i1i-=+ ( ) A.23i -- B.23i -+ C.23i - D.23i +【测量目标】复数代数形式的四则运算..【考查方式】考查了复数代数形式的四则运算，给出复数，对其进行化简. 【参考答案】C 【试题解析】5i (5i)(1i)46i23i 1i (1i)(1i)2----===-++-，故选C ， 4.某程序框图所示，若输出的S=57，则判断框内为 ( )A.4?k >B.5?k >C.6?k >D.7?k > 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出部分程序框图，输出值，利用与数列有关的简单运算求判断框内的条件. 【参考答案】A【试题解析】程序在运行过程中各变量变化如下表：k S 是否继续循环 循环前 1 1第一次 2 4 是 第二次 3 11 是 第三次 4 26 是 第四次5 57否故4k >.5.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = ( ) A.11- B.8- C.5 D.11 【测量目标】等比数列的通项公式与前n 项和公式. 【考查方式】给出数列中两项关系，求数列的和. 【参考答案】A【试题解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得2q =-，带入所求式可知答案选A.6.设0＜x ＜π2，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分条件，必要条件，充分必要条件.【考查方式】考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力.【参考答案】B 【试题解析】π0,sin 12x x <<∴<，故2sin sin x x x x <，结合2sin x x 与sin x x 的取值范围相同，可知答案选B.7.若实数,x y 满足不等式组330,230,10,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则x y +的最大值为（ ） A.9 B.157 C.1 D.715【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出线性规划条件，求最值. 【参考答案】A【试题解析】先根据约束条件画出可行域，设z x y =+，直线z x y =+过可行域内点()4,5A 时z 最大，最大值为9，故选A.8.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 （ ） A.35233cm B.3203 3cm C.22433cm D.16033cm 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】考查了对三视图所表示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算. 【参考答案】B【试题解析】由三视图知该几何体是一个上面是正方体，下面为正四棱台的组合体，对应的长方体的长、宽、高分别为4、4、2，正四棱台上底边长为4，下底边长为8，高为2，那么相应的体积为：222213204422(4488)33⨯⨯+⨯⨯+++=.故选B.9.已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点.若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞,则 （ ） A.1()0f x <,2()0f x < B.1()0f x <，2()0f x > C.12()0,()0f x f x >< D.12()0,()0f x f x >>【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断. 【参考答案】B【试题解析】0x 是1()21xf x x=+-的一个零点，0()0f x ∴=，又1()21x f x x=+-是单调递增函数，且()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，102()()0()f x f x f x ∴<=<，故选B.10.设O 为坐标原点，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠12F PF =60°，∣OP ∣=7a ,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x ±3y 0= B.3x ±y 0= C.x ±2y 0= D.2x ±y 0=【测量目标】双曲线的标准方程及几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程形式，结合双曲线与直线的关系，求渐进线方程. 【参考答案】D【试题解析】假设1,F P x OP =为12FF P △的中线，根据三角形中线定理可知： 222222(2)2(7)(2)5x a x c a x x a c a ++=+⇒+=+，由余弦定理可知： 22222(2)(2)4(2)142x a x x a x c x x a a c ++-+=⇒+=-，，∴渐进线为20y ±=. 故选D.非选择题部分（共100分）二，填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、 . 【测量目标】茎叶图及样本数据的基本的数字特征的提取.【考查方式】考查了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力. 【参考答案】45;46【试题解析】由茎叶图中的样本数据可知答案为45;46.12.函数2π()sin (2)4f x x =-的最小正周期是 .【测量目标】三角函数的几何性质，二倍角.【考查方式】给出正弦函数，借助三角恒等变换降幂求周期. 【参考答案】π2【试题解析】对解析式进行降幂扩角，转化为()1π1cos 4222f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可知其最小正周期为π2. 13.已知平面向量,,1,2,(2),==⊥-αβαβααβ则2+αβ的值是 .【测量目标】平面向量的数量积、加法、减法及数乘运算. 【考查方式】考查了平面向量的四则运算及其几何意义. 【参考答案】10【试题解析】10，由题意可知()20•-=ααβ，结合2214==，αβ，解得12•=αβ，所以22+=αβ22448210+•+=+=ααββ，开方可知答案为10.14.在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行、 第1n +列的数是 .【测量目标】等差数列的性质与通项公式.【考查方式】考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力.【参考答案】2n n +【试题解析】第n 行第一列的数为n ，观察得，第n 行的公差为n ，所以第0n 行的通项公式为()001n n n a n -+=，又因为为第1n +列，故可得答案为n n +2.15.若正实数,x y 满足26x y xy ++=， 则xy 的最小值是 .【测量目标】利用基本不等式求最值.【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法.【参考答案】18【试题解析】运用基本不等式，26226xy x y xy =+++，令2t xy =，可得22260t t --，注意到t ＞0，解得t ≥23,故xy 的最小值为18.16. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值 .【测量目标】利用不等式求最大（小）值.【考查方式】考查了用一元二次不等式解决实际问题的能力. 【参考答案】20【试题解析】由2386050012(1%)2(1%)7000x x ⎡⎤++⋅++⋅+⎣⎦可得x 的最小值为20.17.在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 、分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 . 【测量目标】古典概型的概率.【考查方式】考查了平面向量与古典概型的综合运用. 【参考答案】34【试题解析】由题意知，G 点共有16种取法，而只有E 为P 、M 中一点，F 为Q 、N 中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4个，因此概率为43. 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设S 为ABC △的面积，满足2223()4S a b c =+-. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值.【测量目标】余弦定理、正弦函数的性质、两角差的正弦.【考查方式】根据余弦定理求角的大小，利用三角恒等变换化简，确定最大值.【试题解析】 (Ⅰ)解：由题意可知1sin 2cos 24ab C ab C =⋅.∴tan C = （步骤1）0<<πC ，∴π3C =. （步骤2） （Ⅱ)解：由已知得2πsin sin sin sin(π)sin sin()3A B A C A A A +=+--=+-1πsin sin )326A A A A =+=+. （步骤3）当ABC △为正三角形时取等号，∴sin A +sin B . （步骤4）19.（本题满分14分）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=.（Ⅰ）若55S =，求6S 及1a ；（Ⅱ）求d 的取值范围.【测量目标】等差数列的前n 项和与通项，一元二次不等式.【考查方式】由所给条件列求和公式求解，根据求和公式列一元二次不等式求解. 【试题解析】(Ⅰ)解：由题意知65153S S -==-,6658a S S =-=-, （步骤1） ∴115105,58.a d a d +=⎧⎨+=-⎩ （步骤2）解得17a =，∴613,7S a =-=. （步骤3） (Ⅱ)解：56150,S S +=11(510)(615)150,a d a d ∴+++= （步骤4）即2211291010,a da d +++=∴221(49)8,a d d +=- （步骤5）28,d ∴ （步骤6）∴d 的取值范围为22d-或2 2.d （步骤7）20.（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，120ABC ∠=.E 为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成'A DE △，使平面'A DE ⊥平面BCD ，F 为线段'AC的中点. （Ⅰ）求证：BF ∥平面'A DE ；（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE ‘所成角的余弦值.【测量目标】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面角.【考查方式】借助做辅助线，由线线垂直证明线面垂直；借助做辅助线，通过线线垂直得到线面垂直，将线面角转化为三角形中一角，进而求解.【试题解析】 (Ⅰ)证明：取'A D 的中点G ，连接,GF CE ，由条件易知FG ∥CD ，12FG CD =.BE ∥CD ,12BE CD =. （步骤1）∴FG ∥,.BE FG BE = （步骤2）故四边形BEGF 为平行四边形,∴BF ∥EG , （步骤3）又EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE∴BF //平面'A DE （步骤4）（Ⅱ）解：在平行四边形ABCD 中，设BC a =, 则2,,AB CD a AD AE EB a ===== （步骤5） 连接CE ,120ABC ∠=在BCE △中，可得3,CE a =(步骤6)在ADE △中，可得,DE a = （步骤7） 在CDE △中，222,CD CE DE =+CE DE ∴⊥. (步骤8)在正'A DE △中，M 为DE 中点，∴'AM DE ⊥. （步骤9）由平面'A DE ⊥平面BCD ,可知'AM ⊥平面',BCD A M CE ⊥. （步骤10）取'A E 的中点N ，连线NM 、NF ，∴',NF DE NF A M ⊥⊥. （步骤11）DE 交'AM于M ,∴NF ⊥平面'A DE , （步骤12）则FMN ∠为直线FM 与平面'A DE 所成角.在Rt FMN △中，NF a , M N =12a , FM =a , 则1cos 2FMN ∠=， （步骤13） ∴直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值为12. （步骤14）21.（本题满分15分）已知函数2()()f x x a =-()a b -(,R,)a b a b ∈<.（I ）当1,2a b ==时，求曲线()y f x =在点（2，()f x ）处的切线方程.（II ）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠. 证明：存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后的等差数列，并求4x .【测量目标】函数的几何意义、导数的应用、曲线的切线方程、等差数列的等差中项.【考查方式】根据导数的几何意义求切线方程，利用导数与极值关系，求极值点，并根据等差数列的概念证明.【试题解析】(Ⅰ)解：当1,2a b ==时，'()(1)(35)f x x x =--∴'(2)1,(2)0f f ==， （步骤1）∴()f x 在点()2,0处的切线方程为2y x =-. （步骤2）（Ⅱ）证明：'2()3()(),3a bf x x a x +=--由于a b <，.故23a ba +<. ∴()f x 的两个极值点为x ＝a ，x ＝23a b+. （步骤3） 不妨设x 1＝a ，x 2＝23a b+， x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点，∴x 3＝b . （步骤4）又23a b +－a ＝2（b －23a b+），x 4＝12（a ＋23a b +）＝23a b +，∴a ，23a b +，23a b +，b 依次成等差数列， （步骤5）∴存在实数x 4满足题意，且x 4＝23a b+. （步骤6）22.（本题满分15分）已知m 是非零实数，抛物线2:2C y ps =(0)p >的焦点F 在直线2:02m l x my --=上. （I ）若2m =，求抛物线C 的方程（II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B ，2AA F △,1BB F △的重心 分别为,G H .求证：对任意非零实数m ,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外. 【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系. 【考查方式】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解，利用直线与抛物线的位置关系、不等式的综合应用证明. 【试题解析】(Ⅰ)解：焦点(,0)2PF 在直线l 上，∴2p m = （步骤1） 又2m =,∴4p =∴抛物线C 的方程为222y m x = ，则抛物线C 的方程为28y x =. （步骤2）（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由222,22,m x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 得23420,y m y m --=m≠，∴∆64440m m+>=，且有3412122,y y m y y m+==-，（步骤3）设12,M M分别为线段11,AA BB的中点，由于122G,2,M C F M H HF==可知112(,)33x yG，222(,)33x yH，∴2421212(),6636x x m y y m m m+++==+312222,63y y m+=（步骤4）∴GH的中点4222,363m m mM⎛⎫+⎪⎝⎭. （步骤5）设R是以线段GH为直径的圆的半径，则2222211||(4)(1)49R GH m m m==++(步骤6)设抛物线的标准线与x轴交点2(,0)2mN-，则2423222||()2363m m m mMN⎛⎫=+++⎪⎝⎭442422222221(84)91(1)(4)391(1)(4)9m m mm m m mm m m R=++⎡⎤=+++⎣⎦>++=(步骤7)∴N在以线段GH为直径的圆外. （步骤8）。