选修2-2 第二章 §4 课时作业12
一、选择题
1． 函数y ＝(x －a )(x －b )的导数是y ′＝( )
A ．ab
B ．－a (x －b )
C ．－b (x －a )
D ．2x －a －b
解析：∵y ＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ，
∴y ′＝(x 2)′－(a ＋b )·(x )′＋(ab )′＝2x －a －b .
答案：D
2． 函数y ＝sin x cos x 的导数是y ′＝( )
A ．sin 2x
B ．cos 2x
C ．sin2x
D ．cos2x 解析：y ′＝(sin x cos x )′＝(sin x )′cos x ＋sin x (cos x )′＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x .
答案：D 3． 曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12
在点M (π4，0)处的切线的斜率为( ) A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22
解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin2x
，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．
答案：B
4． 经过原点且与曲线y ＝x ＋9x ＋5
相切的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＝0或x 25
＋y ＝0 B ．x －y ＝0或x 25＋y ＝0 C ．x ＋y ＝0或x 25－y ＝0 D ．x －y ＝0或x 25
－y ＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝(x ＋9x ＋5)′＝－4(x ＋5)2，所以切线斜率为－4(x 0＋5)2
，又切
线过原点，所以－4(x 0＋5)2＝y 0x 0＝x 0＋9x 0(x 0＋5)
，即x 20＋18x 0＋45＝0，解得x 0＝－3或x 0＝－15，从而切点为(－3,3)或(－15，35)．所以切线方程为x ＋y ＝0或x 25
＋y ＝0. 答案：A
二、填空题
5． 函数y ＝x －1x ＋1
的导数是________． 解析：法一：y ′＝?
????x －1x ＋1′ ＝
(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2
. 法二：∵y ＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1
， ∴y ′＝????1－2x ＋1′＝???
?－2x ＋1′ ＝－2????1x ＋1′＝－2×－1(x ＋1)2＝2(x ＋1)2
. 答案：2(x ＋1)2
6． 函数f (x )＝sin x －2cos x 3cos x 在x ＝π6
处的导数是________． 解析：y ′＝?
????sin x －2cos x 3cos x ′＝????13tan x －23′ ＝13cos 2x
， ∴f ′????π6＝
13cos 2π6＝13×????322＝49. 答案：49
7． 曲线y ＝x 2x －1
在点(1,1)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2，∴切线的斜率k ＝－1(2×1－1)2
＝－1，∴所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.
答案：y ＝－x ＋2
三、解答题
8． 求下列函数的导数：
(1)y ＝x cos x －e x ＋sin θ(θ为常数)；
(2)y ＝lg x x ＋1
； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．
解：(1)y ′＝(x cos x )′－e x ＋(sin θ)′＝(x )′cos x ＋x (cos x )′－e x ＋0＝cos x －x sin x －e x .
(2)y ′＝(lg x )′(x ＋1)－lg x ·(x ＋1)′(x ＋1)2
＝1x ln10·(x ＋1)－lg x (x ＋1)2＝1x (x ＋1)ln10－lg x (x ＋1)2
. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，
∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝4x e x ln4＋4x e x ＋4x ln4－e x －x e x －1＝e x (4x ln4＋4x －1－x )＋4x ln4－1.
法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln4＋4x －1－x )＋4x ln4－1.
9. [2013·北京高考节选]已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值．
解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．
因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，f (a )＝b ， 解得a ＝0，b ＝1.