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商的算术平方根

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沈丘县志远中学数学导学案 班级 姓名 课题 商的算术平方根 授课时数 1 课时、总第 课时、 主备课人 备课组长签字

一、学习目标：1、理解和掌握商的算术平方根的性质及最简二次根式的定义。 2、掌握并熟练应用化简一个二次根式成最简二次根式的方法 二、课堂练习 1,化去下列各式中根号内的分母：

① 21 ② 32 ③511 ④ 89 ⑤ 30。

2在二次根式72，35a，3，9，2x中，最简二次根式的个数是（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式中，不是最简二次根式的是（ ）． A．30 B．xx2 C．1x D．363 4下列计算中正确的是（ ）．

A．63121 B．3294

C．2322188 D．22817 5把下列二次根式化成最简二次根式． （2）27＝________；（4）412＝________；（10）5.4＝________． 三、巩固提升 1下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．

A．21a B．12a C．ab4 D．ba2 2．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）． A．x5.0 B．22xy C．33yx D．yx99

3、下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由． 70 92x 838 a45

212 24ab )(1722ba 54

4、把下列各式化成最简二次根式． 1133 2282 838 48.0 ba212 121

ab2 ab2

32 b925 25xy 33aaba

5 、 化简 648 346 6、观察下列各式，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121212)12)(12()12(1121，

232323)23)(23()23(1231，

同理可得：321 = （2）已知251x，则xx1的值等于__________. 六、课后反思 沈丘县志远中学数学导学案 班级 姓名

(3) (3-1)2 (4) 23³(61+23) 教师点拨：整式的运算在二次根式中仍然运用 （四）、当堂训练

①311824 ②(20152014)12()12

③ （27)124148 ④ （1-02)132(132)3

五、巩固提升 (100分) 1、(35-2)(35+2) 2、 2)13(12333+43

3、 （3)2332)(322 4、（1+2222)31()21()31()2 5、 先化简，再求值: )2(2ababaaba其中a=3+1，b=3-1 六、课后反思 课题 一元二次方程 授课时数 1 课时 第 1 课时、总第 10 课时、主备课人 赵永刚 备课组长签字 （一）复习引入

（二）学习目标：

（三）自学问题 （四）、当堂训练 1..在下列各式中①x2+3=x; ②2 x2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x2- 4x – 5 ; ④x2=- x1+2 是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 2.①0312xx ②y2-2y=-1 ③ x2-5x+3 y2=0 ④ x2- x1+3=0中是一元二次方程的是（ ）A ① B ② C ③ D ④ 沈丘县志远中学数学导学案 班级 姓名 2.一元二次方程的一般形式是( ) A x2+bx+c=0 B a x2+c=0 (a≠0 ) C a x2+bx+c=0 D a x2+bx+c=0 (a≠0) 4.若一元二次方程x2-4x-3=0的二次项系数，一次项系数，常数项，分别是（ ） A．1，-4 ,3 B 0，-4, -3 C: 0，-4, 3 D : 1，-4, -3 5．方程6 x2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0 6.若关于x方程（k-1）x2-4x-5=0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A k≠0 B: k≠1 C: k≠0且 k≠1 D : k=0 7.若关于x方程（m-2）xm-mx+1=0是一元二次方程，则m的取值是（ ） A±2 B: 2 C: -2 D : 不确定 8.关于x的一元二次方程22110axxa的一个根是0，则a值为（ ） A、1 B、1 C、1或1 D、12 五、巩固提升 (100分) 1、关于x的方程mx2-3x= x2-mx+2是一元二次方程,则m___________． 2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____, 一次项系数是____,常数项是______. 3．关于x的一元二次方程(m+3) x2+4x+ m2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c的关系是______. . 5. 关于x的方程（m-1）x12m-2mx-3=0是一元二次方程，则m= 6.关于x的方程（m+4）xm+5x+3=0是一元二次方程，则m= 7.关于x的方程（m+1）x12m+（m-3）x-1=0 m取何值时是一元二次方程 m取何值时是一元一次方程

21.3 二次根式的加减(2) 学习内容： 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 沈丘县志远中学数学导学案 班级 姓名 学习目标： 1、 运用二次根式、化简解应用题． 2、 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 学习过程 一、 自主学习 （一）、复习引入 上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并， （二）、探索新知 例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值． 解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米． 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得： 求解得： x=35 所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米． PQ= 答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米． 例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度． 解：由勾股定理，得AB= BC= 所需钢材长度为： AB+BC+AC+BD== 二、巩固练习 教材P16 练习3 P18习题7 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 1、 例3．若最简根式343abab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的根式； 解：

首先把根式23226abbb化为最简二次根式： 23226abbb=

由题意得方程组： 解方程组得： 2、本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 四、课堂检测 （一）、选择题 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最

简二次根式） A．52 B．50 C．25 D．以上都不对 2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A．13100

B．1300 C．1013 D．513 （二）、填空题 （结果用最简二次根式） 1．有一长方形鱼塘，已知鱼塘长是宽的2倍，面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．

2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么该等腰直角三角形的周长是____． （三）、综合提高题 1．若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m、n的值．

2．同学们，我们观察下式：（2-1）2=（2）2-2²1²2+12=2-22+1=3-22 反之，3-22=2-22+1=（2-1）2 ∴3-22=（2-1）2 ∴322=2-1 求：（1）322； （2）423； （3）你会算412吗？ 3、教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一个面积为800cm2，另一个面积为450cm2．他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他

现在有1.2米金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗?如果不够用，还需买多长的金彩带?(2

BACQP沈丘县志远中学数学导学案 班级 姓名 ＝1.414，保留整数) 4、已知一个圆的半径是cm,90一个矩形的长是135cm，若该圆的面积与矩形的面积相等，求矩形的宽是多少? 5．如图2，大正方形的边长为515，小正方形的边长为515，求图中的阴影部分的面积． 21.3 二次根式的加减(3) 学习内容： 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 学习目标： 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 学习过程 一、 自主学习 （一）复习引入 1．计算 （1）（2x+y）²zx== （2）（2x2y+3xy2）÷xy=== 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 （二）、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立． 例1．计算: （1）（6+8）³3 （2）（46-32）÷22 例2．计算 （1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7） 二、巩固练习 课本P17练习1、2．P18习题4 三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、例3．已知，X==2 化简11xxxx+11xxxx，并求值．

解：原式==2(1)(1)(1)xxxxxx+2(1)(1)(1)xxxxxx ==2(1)(1)xxxx+2(1)(1)xxxx ==（x+1）+x-2(1)xx+x+1+x+2(1)xx ==4x+2 当X==2时 ∴原式=4³2+2=10 2、、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 四、课堂检测

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二次根式的乘除——知识讲解(教案)

二次根式的乘除——知识讲解(教案)

二次根式的乘除法——知识讲解（教案）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。

要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除法1．(1)×；(2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=；(2)×==；(3)===2；(4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三：【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.2.计算：（1）（2014秋•闵行区校级期中）×（﹣2）÷．（2）（2014春·高安市期中）a 【答案与解析】 解：（1）×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣ =﹣．(2)原式=a2222a a a=÷==【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简. 举一反三：【变式】b ba b a x x b a -÷+⋅-5433622222 【答案】原式=21⨯==3.计算：（1）（2014秋•门头沟区期末） 4÷（﹣）×．（2）（2014秋•松江区校级期中）计算：÷×．【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘除，最终计算结果要化为最简形式.【答案与解析】解：（1）原式=﹣2÷×=﹣×=43 ．（2）原式÷×==．【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.4.计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()× (a＞0).【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.【答案与解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三：【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、最简二次根式5. （2016•自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ．【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【答案】B ． 【解析】解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B ．【总结升华】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 举一反三： 【变式】化简（10,0)a b >>（2【答案】(1)原式2abc（2） 原式=46.已知0<a <b ,【答案与解析】原式a b a b +-=a =成立的条件是a >0;若a <0,a =-.7. （2016•黄石）观察下列等式： 第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣，第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：a n = ； （2）a 1+a 2+a 3+…+a n = ． 【思路点拨】（1）根据题意可知，a 1==﹣1，a 2==﹣，a 3==2﹣，a 4==﹣2，…由此得出第n 个等式：a n ==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案． 【答案与解析】解：（1）∵第1个等式：a 1==﹣1，第2个等式：a 2==﹣，第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2， ∴第n 个等式：a n ==﹣；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n =（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1． 故答案为=﹣；﹣1．【总结升华】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．【变式】的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2=(2原式（又因为整数部分是a ，小数部分是b则a =13，b =6222213136)6)a ab b ∴-+=-⨯+=331-。

二次根式除法优秀教案

二次根式除法优秀教案

(2)若根式中的被开方数的分子是多项式，可先分解因式，再应用商的算术平方根的性质和积的算术平方根的性质分别将分子及分母化简。
自主探究，合作交流，当堂训练，让学生感受到成功的喜悦。激发学生的学习兴趣。
例题精讲
3、例题讲解：
例1、化简：
（1） ；（2） ；（3）
例2、化简：
（1） ；（2）
例3、式子 成立的条件是什么
课题：
教案目的
1、使学生掌握商的算术平方根的性质；
2、使学生会用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分数或分式的二次根式（也就是分母开方能开尽）；
3、使学生掌握分母有理化知识，并能利用它进行二次根式的化简及近似计算；
教案难点
商的算术平方根与二次根式的除法的关系与应用；
知重点
商的算术平方根与二次根式的除法的关系与应用；
2020年8月20日
教案过程
教案方法和手段
课程引入
一、知识导向：
从教材的编排看，二次根式的乘除法着重讲乘法，除法给学生自己去探索，有了乘法的经验，应当不难归纳除法运算法则。在教案中主要让学生充分地进行讨论、交流，发表见解，应注重二次根式乘除法公式的对比，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题及时解决。
新课解读
二、新课讲解：
六、每日预题：
1、什么是同类二次根式
2、二次根式的加减法与合并同类项之间有何异同点
本课教育评注（课堂设计理念，实际教案效果及改进设想）
七、教案反馈：
二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的。
二次根式的乘除(2)[上学期]--苏科版

二次根式的乘除(2)[上学期]--苏科版


2a －4 2 2 （2） （1） （3） a＋b 3 7 3 40 注意：要进行根式化简，关键是要搞清 楚分式的分子和分母都乘什么，有时还 要对分母进行化简。
1.被开方数不含分母且分母中不含根号
2.被开方数不含开的尽方的因数或因式
练习二：
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。
解：原式＝－6 ÷ ＝－6 ×（ ＝－6 ＝－6 × ） 2.把下列各式的分母有理化： 48 4 48 9 3 12 × 9 6 3 2 19 19 1 5 2 y 3 2 5a 1 3 － 8 3 解：原式＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝－ （ ＝－ （ 4） 2） 3 （3） （1） 5 3 95 27 19 • 5 10 a 5 4 xy 8
b b
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母 有理化运算。 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能 化简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
思考题：
m－3
m－3 1、等式 ＝ 成立的条件是 __________ __ m－5 m－5
1 2、已知实数a、b满足 4a－b＋11＋ b－4a－3＝0， 3 a b 1 求 2a • （ ÷ ）的值。 b a b
（ ）＝ 4 2 （1 ） 8 • 5 a 5 a 3 3 22 － 34 ＝ 2 － 8 3 － 8 32 解： ＝
3.化简：
（1）－ 19 ÷ 95
1 3 1 （2） 9 ÷ （－ 2 ） 48 2 4
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法： a a （1）利用公式： = (a ≥ 0，b > 0)
2、商的算术平方根的性质的应用 例1：化简下列各式：
八年级数学下册二次根式之化简

八年级数学下册二次根式之化简

八年级数学下册二次根式之化简知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。

①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。

知识点2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。

知识点3、二次根式的性质（1）非负性√a （a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a （a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4、最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5、二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。